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河北省保定市龙门村中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数f(x)=ex﹣ax有两个零点x1,x2,x1<x2,则下面说法正确的是(  ) A.x1+x2<2 B.a<e C.x1x2>1 D.有极小值点x0,且x1+x2<2x0 参考答案: D 【考点】函数零点的判定定理. 【分析】对于A:根据对数的运算性质判断即可, 对于B:利用导数判断函数的单调性,以及结合零点定理即可求出a>e; 对于C:f(0)=1>0,0<x1<1,x1x2>1不一定, 对于D:f(x)在(﹣∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增即可得出结论. 【解答】解:∵x1+x2=ln(a2x1x2)=2lna+ln(x1x2)>2+ln(x1x2), 取a=,f(2)=e2﹣2a=0, ∴x2=2,f(0)=1>0, ∴0<x1<1, ∴x1+x2>2,A不正确; ∵f(x)=ex﹣ax, ∴f′(x)=ex﹣a,令f′(x)=ex﹣a>0, ①当a≤0时,f′(x)=ex﹣a>0在x∈R上恒成立, ∴f(x)在R上单调递增. ②当a>0时,∵f′(x)=ex﹣a>0,∴ex﹣a>0,解得x>lna, ∴f(x)在(﹣∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增. ∵函数f(x)=ex﹣ax有两个零点x1<x2, ∴f(lna)<0,a>0, ∴elna﹣alna<0, ∴a>e,B不正确; f(0)=1>0, ∴0<x1<1,x1x2>1不一定,C不正确; f(x)在(﹣∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增, ∴有极小值点x0=lna,且x1+x2<2x0=2lna,D正确. 故选:D. 2. 函数 的定义域为---------------------------------(    ) A.           B.          C.         D. 参考答案: D 3. 已知a为实数,设函数f(x)=,则f(2a+2)的值为(  ) A.2a B.a C.2 D.a或2 参考答案: B 【考点】函数的值. 【分析】根据函数的解析式求出函数值即可. 【解答】解:∵函数f(x)=, ∴f(2a+2)=log2(2a+2﹣2)=a, 故选:B. 4. 榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明,它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。榫卯结构中凸出部分叫榫(或叫榫头),已知某“榫头”的三视图如图所示,则该“榫头”的体积是(  ) A. 36 B. 45 C. 54 D. 63 参考答案: C 【分析】 根据三视图还原该几何体,得到该几何体为两个相同的四棱柱拼接而成,再由题中数据,即可求出结果. 【详解】由三视图还原该几何体如下: 可得,该几何体可看作两个相同的四棱柱拼接而成,且四棱柱底面为直角梯形, 由题中数据可得,底面的上底为3,下底为6,高为3,四棱柱的高为3. 因此,该几何体的体积为. 故选C 【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求几何体的体积问题,熟记棱柱的体积公式即可,属于常考题型. 5. 某次文艺汇演,要将A、B、C、D、E、F这六个不同节目编排成节目单,如下表: 序号 1 2 3 4 5 6 节目             如果A、B两个节目要相邻,且都不排在第3号位置,那么节目单上不同的排序方式有(  ) A.192种             B.144种 C.96种 D.72种 参考答案: 答案:B 6. 执行如图所示的程序框图,输出的S值为(    ) A. 10 B. -6 C. 3 D. -15 参考答案: A 略 7. 若函数则的值域是   (   ) A.          B.          C.        D. 参考答案: C 8. 已知中,点是的中点,过点的直线分别交直线、于、两点,若,,则的最小值是(    ) A.      B.     C.     D. 参考答案: D 略 9. (    ) A. B. C. D. 参考答案: B 【分析】 将1拆解为,和利用二倍角公式拆开,使得根号下的式子变成完全平方的形式,再根据符号整理. 【详解】 本题正确选项: 【点睛】本题考查二倍角公式、同角三角函数关系,易错点在于开完全平方时,要注意符号. 10. “”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 参考答案: A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 直线过抛物线的焦点,且与抛物线交于两点,若,则弦的中点到轴的距离为________   参考答案: 12. 由曲线所围成的图形的面积是                 . 参考答案: 3 13. (几何证明选讲选做题)如图,是⊙的直径,是延长线上的一点,过作⊙的切线,切点为,,若,则⊙的直径__________     参考答案: 4 14. 已知函数,且 ,那么__________. 参考答案: -26 15. 设等比数列的前项和为,若,则      . 参考答案: 16. 某志愿者小组一共有6人,某一天中需要排成上午、下午两个班去参加服务,每班2人,则不同的排法的种数为            。 参考答案: 答案:90 17. 如果函数在区间上有且仅有一条平行于轴的对称轴,则的取值范围是      . 参考答案: 略 三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 18. (本小题满分14分) 已知定义在上的奇函数满足:当时,. (1)求的解析式和值域; (2)设,其中常数. ①试指出函数的零点个数; ②若当是函数的一个零点时,相应的常数记为,其中.证明:(). 参考答案: (1)的值域为. (2)①当时,函数在上有两个零点,且这两个零点均在内,因此函数有四个零点. 当时,函数在上没有零点,因此函数没有零点. ②见解析 【知识点】导数的应用   (1)为奇函数,. 当时,,则, 时,,,, 的值域为. (2)①函数的图象如图所示,   当时,方程 有三个实根;当或时,方程只有一个实 根;当或时,方程有两个实根. 由,解得, 的值域为,只需研究函数在上的图象特征. 设,,, 令,得,. 当时,,当时,, 又,即,由,,得, 的大致图象如图所示.     图b 根据图象可知,当时, 直线与函数的图像仅有一个交点,则函数 在上仅有一个零点,记零点为,则分别在区间、 、上,根据图像,方程有两个交点,因此 函数有两个零点. 类似地,当时,函数在上仅有零点,因此函数有、、这三个零点. 当时,函数在上有两个零点,一个零点是,另一个零点在内,因此函数有三个零点. 当时,函数在上有两个零点,且这两个零点均在内,因此函数有四个零点. 当时,函数在上没有零点,因此函数没有零点. ②因为是函数的一个零点,所以有,,, , ,. 记,, 当时,, 当时,,即. 故有,则. 当时,; 当时, , …… . 综上,有…,. 【思路点拨】时,,,, 的值域为,当时,函数在上有两个零点,且这两个零点均在内,因此函数有四个零点.当时,, 当时,,即. 故有,则. 19. 已知z1=5+10i,z2=3-4i,,求z. 参考答案: 略 20. (本小题满分12分) 已知等差数列的前项和为,公差成等比数列. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列的前项和. 参考答案: (本小题满分12分) 解:(Ⅰ)依题意得                  …………………………………………2分 解得,                                  …………………………………………4分 .……………………………6分 (Ⅱ),           …………………………………………7分 ……………………9分 ∴                  ………………………………………12分 略 21. 在平面直角坐标系中,椭圆(>>0)的离心率为,以O为圆心,为半径作圆M,再过作圆M的两条切线PA、PB,则=                     . 参考答案: 22. 已知某产品的历史收益率的频率分布直方图如图所示. (1)试估计该产品收益率的中位数; (2)若该产品的售价x(元)与销量y(万份)之间有较强线性相关关系,从历史销售记录中抽样得到如表5组x与y的对应数据: 售价x(元) 25 30 38 45 52 销量y(万份) 7.5 7.1 6.0 5.6 4.8 根据表中数据算出y关于x的线性回归方程为,求的值; (3)若从表中五组销量数据中随机抽取两组,记其中销量超过6万份的组数为X,求X的分布列及期望. 参考答案: (1)依题意,设中位数为,,解得. (2),, ∴. (3)的可能取值为0,1,2,故,,, 故的分布列为 0 1 2 故.
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