河北省保定市龙门村中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数f（x）=ex﹣ax有两个零点x1，x2，x1＜x2，则下面说法正确的是（　　） A．x1+x2＜2 B．a＜e C．x1x2＞1 D．有极小值点x0，且x1+x2＜2x0 参考答案： D 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】对于A：根据对数的运算性质判断即可， 对于B：利用导数判断函数的单调性，以及结合零点定理即可求出a＞e； 对于C：f（0）=1＞0，0＜x1＜1，x1x2＞1不一定， 对于D：f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增即可得出结论． 【解答】解：∵x1+x2=ln（a2x1x2）=2lna+ln（x1x2）＞2+ln（x1x2）， 取a=，f（2）=e2﹣2a=0， ∴x2=2，f（0）=1＞0， ∴0＜x1＜1， ∴x1+x2＞2，A不正确； ∵f（x）=ex﹣ax， ∴f′（x）=ex﹣a，令f′（x）=ex﹣a＞0， ①当a≤0时，f′（x）=ex﹣a＞0在x∈R上恒成立， ∴f（x）在R上单调递增． ②当a＞0时，∵f′（x）=ex﹣a＞0，∴ex﹣a＞0，解得x＞lna， ∴f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增． ∵函数f（x）=ex﹣ax有两个零点x1＜x2， ∴f（lna）＜0，a＞0， ∴elna﹣alna＜0， ∴a＞e，B不正确； f（0）=1＞0， ∴0＜x1＜1，x1x2＞1不一定，C不正确； f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增， ∴有极小值点x0=lna，且x1+x2＜2x0=2lna，D正确． 故选：D． 2. 函数 的定义域为---------------------------------（    ） A.           B.          C.         D. 参考答案： D 3. 已知a为实数，设函数f（x）=，则f（2a+2）的值为（　　） A．2a B．a C．2 D．a或2 参考答案： B 【考点】函数的值． 【分析】根据函数的解析式求出函数值即可． 【解答】解：∵函数f（x）=， ∴f（2a+2）=log2（2a+2﹣2）=a， 故选：B． 4. 榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。榫卯结构中凸出部分叫榫（或叫榫头），已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是(　　) A. 36 B. 45 C. 54 D. 63 参考答案： C 【分析】 根据三视图还原该几何体，得到该几何体为两个相同的四棱柱拼接而成，再由题中数据，即可求出结果. 【详解】由三视图还原该几何体如下: 可得，该几何体可看作两个相同的四棱柱拼接而成，且四棱柱底面为直角梯形， 由题中数据可得，底面的上底为3，下底为6，高为3，四棱柱的高为3. 因此，该几何体的体积为. 故选C 【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求几何体的体积问题，熟记棱柱的体积公式即可，属于常考题型. 5. 某次文艺汇演，要将A、B、C、D、E、F这六个不同节目编排成节目单，如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 节目             如果A、B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有（  ） A．192种             B．144种 C．96种 D．72种 参考答案： 答案：B 6. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（    ） A. 10 B. －6 C. 3 D. －15 参考答案： A 略 7. 若函数则的值域是   (   ) A.          B.          C.        D. 参考答案： C 8. 已知中，点是的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，若，，则的最小值是（    ） A.      B.     C.     D. 参考答案： D 略 9. （    ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 将1拆解为，和利用二倍角公式拆开，使得根号下的式子变成完全平方的形式，再根据符号整理. 【详解】 本题正确选项： 【点睛】本题考查二倍角公式、同角三角函数关系，易错点在于开完全平方时，要注意符号. 10. “”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 直线过抛物线的焦点,且与抛物线交于两点,若,则弦的中点到轴的距离为________   参考答案： 12. 由曲线所围成的图形的面积是                 . 参考答案： 3 13. （几何证明选讲选做题）如图，是⊙的直径，是延长线上的一点，过作⊙的切线，切点为，，若，则⊙的直径__________     参考答案： 4 14. 已知函数，且 ，那么__________. 参考答案： -26 15. 设等比数列的前项和为，若，则      ． 参考答案： 16. 某志愿者小组一共有6人，某一天中需要排成上午、下午两个班去参加服务，每班2人，则不同的排法的种数为            。 参考答案： 答案:90 17. 如果函数在区间上有且仅有一条平行于轴的对称轴，则的取值范围是　　　　　　． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分） 已知定义在上的奇函数满足：当时，． （1）求的解析式和值域； （2）设，其中常数． ①试指出函数的零点个数； ②若当是函数的一个零点时，相应的常数记为，其中．证明：（）． 参考答案： （1）的值域为． （2）①当时，函数在上有两个零点，且这两个零点均在内，因此函数有四个零点． 当时，函数在上没有零点，因此函数没有零点． ②见解析 【知识点】导数的应用   （1）为奇函数，． 当时，，则， 时，，，， 的值域为． （2）①函数的图象如图所示，   当时，方程 有三个实根；当或时，方程只有一个实 根；当或时，方程有两个实根． 由，解得， 的值域为，只需研究函数在上的图象特征． 设，，， 令，得，． 当时，，当时，， 又，即，由，，得， 的大致图象如图所示．     图b 根据图象可知，当时， 直线与函数的图像仅有一个交点，则函数 在上仅有一个零点，记零点为，则分别在区间、 、上，根据图像，方程有两个交点，因此 函数有两个零点． 类似地，当时，函数在上仅有零点，因此函数有、、这三个零点． 当时，函数在上有两个零点，一个零点是，另一个零点在内，因此函数有三个零点． 当时，函数在上有两个零点，且这两个零点均在内，因此函数有四个零点． 当时，函数在上没有零点，因此函数没有零点． ②因为是函数的一个零点，所以有，，， ， ，． 记，， 当时，， 当时，，即． 故有，则． 当时，； 当时， ， …… ． 综上，有…，． 【思路点拨】时，，，， 的值域为,当时，函数在上有两个零点，且这两个零点均在内，因此函数有四个零点．当时，， 当时，，即． 故有，则． 19. 已知z1=5+10i，z2=3-4i，，求z. 参考答案： 略 20. （本小题满分12分） 已知等差数列的前项和为，公差成等比数列． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和. 参考答案： （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意得                  …………………………………………2分 解得，                                  …………………………………………4分 ．……………………………6分 (Ⅱ)，           …………………………………………7分 ……………………9分 ∴                  ………………………………………12分 略 21. 在平面直角坐标系中，椭圆(＞＞0)的离心率为，以O为圆心，为半径作圆M，再过作圆M的两条切线PA、PB，则=                     ． 参考答案： 22. 已知某产品的历史收益率的频率分布直方图如图所示． （1）试估计该产品收益率的中位数； （2）若该产品的售价x（元）与销量y（万份）之间有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如表5组x与y的对应数据： 售价x（元） 25 30 38 45 52 销量y（万份） 7.5 7.1 6.0 5.6 4.8 根据表中数据算出y关于x的线性回归方程为，求的值； （3）若从表中五组销量数据中随机抽取两组，记其中销量超过6万份的组数为X，求X的分布列及期望． 参考答案： （1）依题意，设中位数为，，解得． （2），， ∴． （3）的可能取值为0,1,2，故，，， 故的分布列为 0 1 2 故．