河北省秦皇岛市土门子中学高三数学理月考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x2+ax+b=0没有实根
B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根
C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根
D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根
参考答案：
A
【考点】反证法与放缩法．
【专题】证明题；反证法．
【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．
【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，
∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根．
故选：A．
【点评】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查．
2. 设为定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A.-1 B.-4 C.1 D.4
参考答案：
B
3. 双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦长为6，则双曲线的离心率为( )
A．2 B． C．4 D．
参考答案：
D
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦长为6，可得=4，即可求出双曲线的离心率．
解答： 解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx+ay=0，
∵渐近线被圆M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦长为6，
∴=4，
∴a2=3b2，
∴c2=4b2，
∴e==．
故选：D．
点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．
4. 在中，，，，且的面积为，则等于（ ）
A、或 B、 C、 D、或
参考答案：
B
5. 已知双曲线E：的两个焦点分别为F1，F2，以原点O为圆心，OF1为半径作圆，与双曲线E相交．若顺次连接这些交点和F1，F2恰好构成一个正六边形，则双曲线E的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D. 3
参考答案：
C
【分析】
设双曲线和圆在第一象限的交点为，根据正六边形可得点的坐标，然后再根据点在双曲线上得到间的关系式，于是可得离心率．
【详解】由题意得，以原点为圆心的圆的半径为．
设双曲线和圆在第一象限的交点为，
由正六边形的几何性质可得，
∴点的坐标为．
又点在双曲线上，
∴，
整理得，
∴，解得或．
又，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
6. 已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若，则公差d等于
A．1 B． C．2 D．3
参考答案：
C
7. 曲线与坐标周围成的面积 （ ）
A．4 B．2 C． D．3
参考答案：
D
8. 集合A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B=（ ）
A．{0，1，2，3，4} B．{0，1，2，3} C．{0，1，2} D．{0，1}
参考答案：
D
【考点】交集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合．
【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由B中不等式解得：﹣2≤x≤1，即B=[﹣2，1]，
∵A={0，1，2，3，4}，
∴A∩B={0，1}，
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
9. 设函数，若互不相等的实数a，b，c满足，则的取值范围是（ ）
A. (16,32) B. (18,34) C. (17,35) D.(6,7)
参考答案：
B
【分析】
画出函数的图象，不妨令，则．结合图象可得，从而可得结果．
【详解】画出函数的图象如图所示．
不妨令，则，则．
结合图象可得，故．
∴．选B．
【点睛】数形结合是根据数量与图形之间对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
10. 若集合，则
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的零点个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
参考答案：
B
【分析】
由题意，判断此函数的零点的个数的问题可转化为两个函数的交点个数结合两个函数的图像得出两个函数图像的交点个数问题，即得解.
【详解】函数的零点个数，即两个函数的交点个数，
由图像知，两个函数仅有一个交点.
故选：B
【点睛】本题考查了函数的零点个数判定问题，考查了学生转化与划归，数形结合的能力，属于基础题.
12. △ABC中，边AB为最大边，且，则cosA·cos B的最大值是______．
参考答案：
13. 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．则曲线与曲线的交点个数为________个．
参考答案：
1
14. 春节期间，某单位安排甲、乙、丙三人于正月初一至初五值班，每人至少值班一天，且每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班，则共有__________种不同的值班安排方案．
参考答案：
28
15. 甲、乙两人需安排值班周一至周四共四天，每人两天，具体安排抽签决定，则不出现同一人连续值班情况的概率是_____
参考答案：
16. 命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围为
参考答案：
略
17. 如图,△ABC的外角平分线AD交外接圆于D,，则 .
参考答案：
4
∵A、B、C、D共圆,∴∠DAE=∠BCD.又∵=,∴∠DAC=∠DBC.
而∠DAE=∠DAC,∴∠DBC=∠DCB.∴CD=.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g（x）=ex，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ） 求f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ） 求满足f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0的实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】奇偶性与单调性的综合；函数解析式的求解及常用方法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）根据条件便可得到﹣f（x）+g（x）=e﹣x，这样联立f（x）+g（x）=ex即可解出f（x）=，g（x）=；
（Ⅱ）根据f（x）的解析式便可看出f（x）为增函数，从而由f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，及f（x）的单调性和奇偶性即可得到1﹣m＜m2﹣1，解该不等式即可得出m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）f（﹣x）+g（﹣x）=e﹣x，f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数；
∴﹣f（x）+g（x）=e﹣x，联立f（x）+g（x）=ex可得：
f（x）=，；
（Ⅱ），x增大时，显然f（x）增大，∴在R上单调递增，且为奇函数；
∴f（1﹣m）＜f（m2﹣1）；
∴1﹣m＜m2﹣1；
解得m＜﹣2，或m＞1；
∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．
【点评】考查奇函数、偶函数的定义，增函数的定义，以及指数函数的单调性，根据函数单调性和奇偶性解不等式，解一元二次不等式．
19. 某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别不少于45个与55个，所用原料为A、B两种规格金属板，每张面积分别为与。用A种规格金属板每张可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格金属板每张可造甲、乙两种产品各6个，问A、B两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？
参考答案：
设A、B两种金属板各取张、张，用料面积为，则约束条件为
,目标函数;…………………………………(5分)
作出上不等式组所表示的可行域，如下图阴影阴影部分所示:
……………………(7分)
作直线，把直线向右上方平移至的位置时，即直线经过可行域上的点M时，此时取最小值；
解方程组 ，得M点的坐标为（5，5）
此时；………（13分）
答：两种金属板各取5张时，用料面积最省为25 。……………………(14分)
20. (12分)在△ABC中，角A、B、C对应边分别是a、b、c，c=2,
.
（1）若，求△ABC面积；
（2）求边上的中线长的取值范围.
参考答案：
（1）（2）【知识点】解三角形C8
①由题意知
由sinC+sin(B-A)=2sin(2A) => sinBcosA=2sinAcosA
（1）若cosA=0
（2）若cosA≠0 b=2a
② 故=
又cosC=,=4, =>1
,故
【思路点拨】根据余弦定理求出边角求出面积，根据范围求出CD的范围。
21. 同时抛掷4枚均匀的硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ．
(Ⅰ) 求抛掷4枚硬币，恰好2枚正面向上，2枚反面向上的概率；
(Ⅱ) 求的数学期望和方差．
参考答案：
解：(Ⅰ) 设“抛掷4枚硬币，恰好2枚正面向上”为事件A，所以抛掷4枚硬币的基本事件总数是=16 ，其中事件A含=6个基本事件，所以 ,所以抛掷4枚硬币，恰好2枚正面向上，2枚反面向上的概率为； (Ⅱ)随机变量的取值为0,1，2,3，…，80，由(1)得：抛掷4枚硬币，恰好2枚正面向上，2枚反面向上的概率为，又因为所抛掷的80次之间相互独立，所以ξ ，则 ，所以
略
22. （本小题满分12分） 如图，在三棱柱中，侧面底面，， ，，为中点．
（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在上是否存在一点，使得平面?若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由
参考答案：
(1) ，且O为中点，
，又侧面底面，交线为，，
平面. (4分)
(2) 如图，以O为原点，分别以OB、OC、所在直线为x、y、z轴，建立空 间直角坐标系，则由题可知，，，.
，令平面的法向量为，则，而，，可求得一个法向量，所以
，
故直线与平面所成角的正弦值为. (8分)
(3) 存在点为线段的中点.
证明：连结交于点，连结、，则为的中点，从而是的一条中位线，，而平面，平面，所以平面，故的中点即为所求的点. (12分)