河南省南阳市全兴双语实验学校高三数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设复数z满足,则( )
A. 1 B. C. 3 D. 5
参考答案:
B
【分析】
由可得,再利用复数模的公式可得结果.
【详解】,
,
,故选B.
【点睛】复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.
2. 由曲线y=,直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为( )
A. B.4 C. D.6
参考答案:
C
【考点】定积分在求面积中的应用.
【专题】计算题.
【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键,要确定出曲线y=,直线y=x﹣2的交点,确定出积分区间和被积函数,利用导数和积分的关系完成本题的求解.
【解答】解:联立方程得到两曲线的交点(4,2),
因此曲线y=,直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为:
S=.故选C.
【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题,考查学生分析问题解决问题的能力和意识,考查学生的转化与化归能力和运算能力,考查学生对定积分与导数的联系的认识,求定积分关键要找准被积函数的原函数,属于定积分的简单应用问题.
3. 若集合,则实数的取值个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
4. 已知,若关于的方程没有实根,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
5. 如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100] ,则图中的值等于
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
C
略
6. ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
根据复数乘除运算法则即可得解.
【详解】解: , ,
故选:A
【点睛】本题考查复数的运算法则,属于基础题.
7. 已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到
直线l1和直线l2的距离之和的最小值是
A.2 B.3 C. D.
参考答案:
A
设动点P到直线l1和直线l2的距离之和为d,直线l2:x=-1为抛物线y2=4x的准线,由抛物线的定义知,P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离,故本题转化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小,最小值为F(1,0)到直线l1:4x-3y+6=0的距离,即dmin==2.
8. 设曲线在其上任一点处的切线的斜率为,则函数的部分图象可以为 ( )
参考答案:
A
9. 设双曲线()的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线分别交双曲线左右两支于点M,N,连结MF2,NF2,若,,则双曲线C的离心率为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
B
结合题意可知,设
则结合双曲线的性质可得,
代入,解得,所以,
对三角形运用余弦定理,得到
,解得
故选B.
10. 函数是定义在上的偶函数,且满足,当时,,若方程
恰有三个不相等的实数根,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如下图,四边形OABC是边长为1的正方形,点D在OA的延长线上,且OD=2,点P为BCD内(含边界)的动点,设,则的最大值等于
参考答案:
12. 如果实数x,y满足条件,那么目标函数z=2x-y的最小值为______.
参考答案:
-3
13. 在各项均为正数的等比数列中,若,则=_________.
参考答案:
略
14. 将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数,则直线与圆有公共点的概率为_______.
参考答案:
依题意,将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组有(1,1), (1,2),(1,3),…,(6,6),共 36种,其中满足直线与圆有公共点,即,的数组有(1,1),(1,2),(1,3),(1 ,4),……,(6,6),共种,因此所求的概率等于.
15. 若满足约束条件,则的最大值是 。[
参考答案:
16. 抛物线y2=8x上到顶点和准线距离相等的点的坐标为 .
参考答案:
( 1,±2)
【考点】抛物线的简单性质.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】根据抛物线方程设P点坐标,分别表示出其到准线方程和到原点的距离,使其相等进而求得a,则P的坐标可得.
【解答】解:设点P坐标为(a2,a)
依题意可知抛物线的准线方程为x=﹣2
a2+2=,求得a=±2
∴点P的坐标为( 1,±2)
故答案为:( 1,±2).
【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质,属基础题.
17. 如图,为测量竖直旗杆CD高度,在旗杆底部C所在水平地面上选取相距m的两点A,B,在A处测得旗杆底部C在西偏北10°的方向上,旗杆顶部D的仰角为60°;在B处测得旗杆底部C在东偏北20°方向上,旗杆顶部D的仰角为45°,则旗杆CD高度为 m.
参考答案:
12
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
(Ⅰ)若,证明:函数在上单调递减;
(Ⅱ)是否存在实数,使得函数在内存在两个极值点?若存在,求实数的取值范围;若不存在,请说明理由. (参考数据:,)
参考答案:
(Ⅰ)函数的定义域是.
求导得.
设,则与同号.
所以,若,则对任意恒成立.
所以函数在上单调递减.
又,
所以当时,满足.即当时,满足.
所以函数在上单调递减.
(Ⅱ)①当时,函数在上单调递减.
由,又,时,,
取,则,
所以一定存在某个实数,使得.
故在上,;在上,.
即在上,;在上,.
所以函数在上单调递增,在上单调递减.此时函数只有1个极值点,不合题意,舍去;
②当时,令,得;令,得,
所以函数在上单调递减,在上单调递增.
故函数的单调情况如下表:
0
+
极小值
要使函数在内存在两个极值点,则需满足,即,
解得又,,
所以.
此时,,
又,;
综上,存在实数,使得函数在内存在两个极值点.
19. (本小题满分12分)
在中,角A、B、C所对的边分别为,且
(I)求角C的大小;
(II)若的面积,求的值.
参考答案:
20. 已知函数,
曲线在点处的切线方程为.
(I)求、的值;
(II)如果当,且时,,求的取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ)
由于直线的斜率为,且过点,故即
解得,………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以。
考虑函数,则
。ks5u
(i)设,由知,当时,。而,故
当时,,可得;ks5u
当x(1,+)时,h(x)<0,可得h(x)>0
从而当x>0,且x1时,f(x)-(+)>0,即f(x)>+.
(ii)设00,故(x)>0,而
h(1)=0,故当x(1,)时,h(x)>0,可得h(x)<0,与题设矛盾。
(iii)设k1.此时(x)>0,而h(1)=0,故当x(1,+)时,h(x)>0,可得h(x)<0,与题设矛盾。
综合得,k的取值范围为(-,0]……………………14分
21. 若数列{an}的前n项和为Sn,首项,且
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若,令,求数列{bn}的前n项和Tn.
参考答案:
(1)或;(2).
【分析】
(1)令,根据,由,求出,当
由可求数列的通项公式;
(2)由,可得,利用裂项相消法可求数列的前项和.
【详解】(1)且
,
,
,
,
(2)由
,
,
【点睛】本题考查数列的求和,着重考查等差关系的确定与裂项法求和,考查分类讨论思想与推理运算及证明能力,属于中档题.
22. (本小题满分12分)
数列{xn}由下列条件确定:x1=a>0, ,n∈N*.
(1)证明:对n≥2,总有xn≥; (2)证明:对n≥2,总有xn≥xn+1.
参考答案:
解题提示:解答本题要充分利用解决不等式问题的基本方法:基本不等式,作差法,放缩法等.
证明:(1)由x1=a>0,及,可知xn>0,从而有(n∈N*),所以,对n≥2,总有;
(2)当n≥2时,因为,,所以,故对n≥2,总有xn≥xn+1成立.