河南省周口市太康县第四中学2022-2023学年高三数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知=1+i(i为虚数单位),则复数z在复平面内的对应点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
C
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,求得z的坐标得答案.
【解答】解:由=1+i,得,
∴复数z在复平面内的对应点的坐标为(﹣1,﹣1),在第三象限.
故选:C.
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查复数代数形式的乘除运算,是基础题.
2. 下列函数中,在上具有零点的函数是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
3. 设函数,将的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则的最小值等于 ( )
A. B. 3 C. 6 D. 9
参考答案:
C
略
4. 在等腰△中,,,在角内部作射线交边于点,则线段的概率为( )
参考答案:
D
略
5. 在中,分别为角所对边,若,则此三角形一定是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形
参考答案:
C
在中,若,则即
.故选.
6. 已知关于的不等式的解集为. 若,则实数的取值范围为( )
(). (). (). ().
参考答案:
D
7. 在 ABC中,若对任意的,都有,则 ( )
A.一定为锐角三角形 B.一定为钝角三角形
C.一定为直角三角形 D.可以为任意三角形
参考答案:
C
AB=c,AC=b,BC=a,将两边平方得即关于λ的不等式在R上恒成立,因此△≤0,整理为,再由正弦定理得,则角C为直角.
8. 方程上有解,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 已知的值是
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
10.
打开“几何画板”进行如下操作:
①用画图工具在工作区画一个圆C;(C为圆心)
②用取点工具分别在圆C上和圆外各取一点A、B;
③用构造菜单下对应命令作出线段AB的垂直平分线;
④作直线AC
设直线AC与相交于点P,当A在圆C上运动时,P点的轨迹是
A、抛物线 B、椭圆 C、双曲线 D、直线
参考答案:
答案:C
解析:由题意画出如图:∵线段AB的垂直平分线为 ∴
∴(定值) ∴由双曲线的定义知P点的轨迹是双曲线 故选C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (坐标系与参数方程)己知圆C的极坐标方程为则圆心C的一个极坐标为 。
参考答案:
12. 在平行四边形ABCD中,,,,且,则平行四边形ABCD的面积的最大值为 .
参考答案:
13. 已知圆锥和圆柱的底面半径均为,高均为,则圆锥和圆柱的表面积之比是 ▲ .
参考答案:
圆锥的母线长,
,,
.
故答案为:.
14. 已知,,则_____________.
参考答案:
略
15. 函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为, ,数列的通项公式为 .
参考答案:
5,
略
16. 若,则或的否命题是
参考答案:
若,则且
17. 在△ABC中,已知角,a2+b2=4(a+b)﹣8,则边c= .
参考答案:
2
【考点】余弦定理的应用.
【专题】计算题;方程思想;综合法;解三角形.
【分析】利用a2+b2=4(a+b)﹣8,求出a,b,再利用余弦定理求出c即可.
【解答】解:∵a2+b2=4(a+b)﹣8,
∴(a﹣2)2+(b﹣2)2=0,
∴a=2,b=2
由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcos=4+4﹣4=4,
∴c=2.
故答案为:2.
【点评】本题考查余弦定理,考查学生的计算能力,比较基础.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
如图,已知四棱锥S-ABCD中,△SAD是边长为a的正三角形,平面SAD平面ABCD,四边形ABCD是菱形,,P是AD的中点,Q是SB的中点。
(I)求证:PQ∥平面SCD;
(II)求二面角B-PC-Q的余弦值。
参考答案:
19. 如图,四棱锥中,底面是边长为2的正方形,其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形,为的中点.
(1)在侧棱上找一点,使平面,并证明你的结论;
(2)在(1)的条件下求三棱锥的体积.
参考答案:
(1)为的中点.
取的中点为,连、,
∵为正方形,为的中点,
∴平行且等于,∴,
又∵,
∴平面平面,
∴平面.
(2)∵为的中点,,
∴,
∵为正四棱锥,
∴在平面的射影为的中点,
∵,,∴,
∴,
∴.
20.
过双曲线的上支上一点作双曲线的切线交两条渐近线分别于点.
(1) 求证:为定值;
(2) 若,求动点的轨迹方程.
参考答案:
解析:设,则,
由求导得
切线方程为 即
设切线与交于,与交于
得
得
= ==2
(2)设,
又
另解:(1)设直线AB:
由得
(2),所以四边形BOAM是平行四边形
①
②
由①②及
21. (本小题满分12分)
已知函数的图象经过点,且相邻两条对称轴的距离为.
(1)求函数的解析式及其在上的单调递增区间;
(2)在分别是A,B,C的对边,若,,求的值.
参考答案:
(1)[﹣+kπ,+kπ];(2)
【知识点】余弦定理;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性C3 C4 C8
(1)把(0,)代入解析式得:sinφ=,∵0<φ<,∴φ=,
∵相邻两条对称轴间的距离为,∴函数的周期为π,即ω=2,
∴函数f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+),
令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得到﹣+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
则f(x)的单调递增区间为[﹣+kπ,+kπ],k∈Z;
当k=0时,f(x)的一个单调递增区间是,
当k=1时,f(x)的一个单调递增区间是。
故函数f(x) 在上的单调递增区间。
(2)由第一问得:f()=sin(A+),
代入得:sin(A+)﹣cosA=sinA+cosA﹣cosA=sinA﹣cosA=sin(A﹣)=,
∴A﹣=或,即A=或A=π(舍去),∵bc=1,b+c=3,
∴由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=(b+c)2﹣3bc=9﹣3=6,则a=.
【思路点拨】(1)把已知点坐标代入求出φ的值,根据题意确定出周期,利用周期公式求出ω的值,即可确定出函数f(x)的解析式,利用正弦函数的单调性确定出单调递增区间即可;(2)由第一问确定出的解析式,表示出f(),代入已知等式求出A的度数,利用余弦定理列出关系式,把cosA的值代入,变形后将bc与b+c的值代入即可求出a的值.
22. (本小题12分)等边三角形的边长为3,点、分别是边、上的点,且满足(如图1).将△沿折起到△的位置,使二面角为直二面角,连结、 (如图2).
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由.
参考答案:
(1)等边三角形的边长为3,且
,又
又二面角为直二面角, 平面平面
平面
(2) 设在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,且
过作于,由(1)知,平面平面
平面平面,平面
连接, 为直线与平面所成的角,,
在中,
在中,
在中,,解得
故,在线段上存在点(),使直线与平面所成的角为