河南省周口市太康县第四中学2022-2023学年高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知=1+i（i为虚数单位），则复数z在复平面内的对应点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： C 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z的坐标得答案． 【解答】解：由=1+i，得， ∴复数z在复平面内的对应点的坐标为（﹣1，﹣1），在第三象限． 故选：C． 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数代数形式的乘除运算，是基础题． 2. 下列函数中，在上具有零点的函数是         （     ） A.         B.    C.        D. 参考答案： D 略 3. 设函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于  （        ） A.               B.  3                 C.   6                       D.  9 参考答案： C 略 4. 在等腰△中，，，在角内部作射线交边于点，则线段的概率为(     )                                         参考答案： D 略 5. 在中，分别为角所对边，若，则此三角形一定是(    )   A．等腰直角三角形   B．直角三角形      C．等腰三角形       D．等腰或直角三角形 参考答案： C 在中，若，则即   ．故选． 6. 已知关于的不等式的解集为. 若，则实数的取值范围为（   ） （）.  （）.    （）. （）. 参考答案： D 7. 在 ABC中，若对任意的，都有，则     （     ）   A.一定为锐角三角形                 B.一定为钝角三角形   C.一定为直角三角形                 D.可以为任意三角形 参考答案： C AB=c,AC=b,BC=a，将两边平方得即关于λ的不等式在R上恒成立，因此△≤0，整理为，再由正弦定理得，则角C为直角. 8. 方程上有解，则的取值范围是（    ） A．        B．          C．          D． 参考答案： C 9. 已知的值是 A． B． C． D． 参考答案： B 略 10. 打开“几何画板”进行如下操作： ①用画图工具在工作区画一个圆C；（C为圆心） ②用取点工具分别在圆C上和圆外各取一点A、B； ③用构造菜单下对应命令作出线段AB的垂直平分线； ④作直线AC 设直线AC与相交于点P，当A在圆C上运动时，P点的轨迹是 A、抛物线           B、椭圆           C、双曲线           D、直线 参考答案： 答案:C 解析：由题意画出如图：∵线段AB的垂直平分线为  ∴   ∴（定值） ∴由双曲线的定义知P点的轨迹是双曲线   故选C     二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （坐标系与参数方程）己知圆C的极坐标方程为则圆心C的一个极坐标为          。 参考答案： 12. 在平行四边形ABCD中，，，，且，则平行四边形ABCD的面积的最大值为                   ． 参考答案： 13. 已知圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为，则圆锥和圆柱的表面积之比是   ▲    ． 参考答案： 圆锥的母线长， ，， . 故答案为：.   14. 已知，，则_____________. 参考答案： 略 15. 函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为，             ，数列的通项公式为         ． 参考答案： 5， 略 16. 若，则或的否命题是                         参考答案： 若，则且    17. 在△ABC中，已知角，a2+b2=4（a+b）﹣8，则边c=　　． 参考答案： 2 【考点】余弦定理的应用． 【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形． 【分析】利用a2+b2=4（a+b）﹣8，求出a，b，再利用余弦定理求出c即可． 【解答】解：∵a2+b2=4（a+b）﹣8， ∴（a﹣2）2+（b﹣2）2=0， ∴a=2，b=2 由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcos=4+4﹣4=4， ∴c=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）     如图，已知四棱锥S-ABCD中，△SAD是边长为a的正三角形，平面SAD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，，P是AD的中点，Q是SB的中点。 (I)求证：PQ∥平面SCD; (II)求二面角B-PC-Q的余弦值。 参考答案： 19. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，为的中点． （1）在侧棱上找一点，使平面，并证明你的结论； （2）在（1）的条件下求三棱锥的体积． 参考答案： （1）为的中点． 取的中点为，连、， ∵为正方形，为的中点， ∴平行且等于，∴， 又∵， ∴平面平面， ∴平面． （2）∵为的中点，， ∴， ∵为正四棱锥， ∴在平面的射影为的中点， ∵，，∴， ∴， ∴． 20. 过双曲线的上支上一点作双曲线的切线交两条渐近线分别于点. （1）       求证：为定值； （2）       若，求动点的轨迹方程. 参考答案： 解析：设，则， 由求导得                                                      切线方程为 即                                 设切线与交于，与交于    得     得   = ==2                  （2）设，                    又 另解：（1）设直线AB： 由得 （2），所以四边形BOAM是平行四边形 　　　① 　　② 由①②及 21. （本小题满分12分） 已知函数的图象经过点，且相邻两条对称轴的距离为. （1）求函数的解析式及其在上的单调递增区间； （2）在分别是A,B,C的对边，若，，求的值. 参考答案： （1）[﹣+kπ，+kπ]；（2）   【知识点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性C3 C4 C8 （1）把（0，）代入解析式得：sinφ=，∵0＜φ＜，∴φ=， ∵相邻两条对称轴间的距离为，∴函数的周期为π，即ω=2， ∴函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+）， 令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 则f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z； 当k=0时，f(x)的一个单调递增区间是， 当k=1时，f(x)的一个单调递增区间是。 故函数f(x) 在上的单调递增区间。 （2）由第一问得：f（）=sin（A+）， 代入得：sin（A+）﹣cosA=sinA+cosA﹣cosA=sinA﹣cosA=sin（A﹣）=， ∴A﹣=或，即A=或A=π（舍去），∵bc=1，b+c=3， ∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=9﹣3=6，则a=． 【思路点拨】（1）把已知点坐标代入求出φ的值，根据题意确定出周期，利用周期公式求出ω的值，即可确定出函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性确定出单调递增区间即可；（2）由第一问确定出的解析式，表示出f（），代入已知等式求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入，变形后将bc与b+c的值代入即可求出a的值． 22. （本小题12分）等边三角形的边长为3,点、分别是边、上的点,且满足(如图1).将△沿折起到△的位置,使二面角为直二面角,连结、 (如图2). （Ⅰ）求证:平面; （Ⅱ）在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由.             参考答案： （1）等边三角形的边长为3,且 ,又 又二面角为直二面角， 平面平面 平面 （2）    设在线段上存在点,使直线与平面所成的角为，且 过作于，由（1）知，平面平面 平面平面，平面 连接, 为直线与平面所成的角，， 在中， 在中， 在中，，解得 故，在线段上存在点（）,使直线与平面所成的角为