河南省商丘市城郊乡中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(l，2)，若P是拋物线 y2=2x上一动点，则P到y轴的距离与P到点A的距离之和的 最小值为  (A)             (B). (C)_      (D) 参考答案： C 略 2. 已知球O，过其球面上A，B，C三点作截面，若O点到该截面的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝2，∠B＝120°，则球O的表面积为   参考答案： A 略 3. 已知函数的零点均在区间内，则圆的面积的最小值是 A．4 B． C．9 D．以上都不正确 参考答案： B ∵，当或时，成立，且∴对恒成立，∴函数在R上单调递增，又∵，，∴函数的唯一零点在[-1,0]内，函数的唯一零点在[-5，-4]内，由题意可知：b-a的最小值为1，∴圆的面积的最小值为。 4. 已知两个非零向量=（a1，b1），=（a2，b2），若条件p：“”，条件q：“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”．则条件p是q的（　　） 　 A． 充分必要条件 B． 非充分非必要条件 　 C． 充分非必要条件 D． 必要非充分条件 参考答案： D 略 5. 已知函数图象如图所示，则下列关于函数的说法中正确的是（    ）． A．对称轴方程是 B．对称中心坐标是 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 参考答案： D 由图知，， ∴． ∵图象过点， ∴，， ∴， ∴， 由正弦函数的对称轴可得， 可得对称轴为，错； 由正弦函数的对称中心可得，， 可得对称中心为，，错， 由正弦函数的性质，当时， 即时，函数单调递增，错； 当，即时， 函数在上单调递减，对． 6. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为,令，则的值为(    ) A．         B．         C．         D． 参考答案： D 略 7. 已知为坐标原点，直线与圆分别交于两点．若，则实数的值为（   ） A．1 B． C． D． 参考答案： D 8. 如图所示的程序框图中，输出的B是（　　） A． B．0 C．﹣ D．﹣ 参考答案： D 【考点】程序框图． 【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，A，B的值，当i=2018时不满足条件i≤2017，退出循环，输出B的值为﹣，即可得解． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 A=， i=1，A=，B=﹣， i=2，满足条件i≤2017，执行循环体，A=π，B=0， i=3，满足条件i≤2017，执行循环体，A=，B=， i=4，满足条件i≤2017，执行循环体，A=，B=﹣， … 观察规律可知，可得： i=2017，满足条件i≤2017，执行循环体，A=，B=sin=sin=﹣， i=2018，不满足条件i≤2017，退出循环，输出B的值为﹣． 故选：D． 【点评】本题考查了求程序框图运行结果的问题，解题时应模拟程序框图运行过程，总结规律，得出结论，属于基础题． 9. 的展开式中的常数项为（    ） A．－6        B．6       C．12         D．18 参考答案： B 10. 一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）                            A．        B．     C．        D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线交椭圆于A，B两点，若，点P到直线l的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是          ． 参考答案： 12. 如图，已知过椭圆的左顶点A(－a,0)作直线1交y轴于点P，交椭圆于点Q.，若△AOP是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为＿＿＿＿ 参考答案： 略 13. 已知复数满足，则=        ； 参考答案： １ 略 14. 已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=____________________时，点B横坐标的绝对值最大. 参考答案： 5 方法一：设，， 当直线斜率不存在时，，. 当直线斜率存在时，设为.联立得，，， . ∵，∴，解得，. ∴（当且仅当时取“”）. ，，得， ∴当时，点横坐标最大. 方法二：设，，则，， ∵，∴， ∴，由得. 将代入，得，∴， ∴当时，取最大值. 15. 从，，，这四个数中随机取出两个数组成一个两位数，则组成的两位数是的倍数的概 率是          ． 参考答案： 16. 在用二分法求方程的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为    ▲     . 参考答案： 17. 用二项式定理估算（精确到0.001） 参考答案： 1.105 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆上的两点，已知向量=（，），=（，），若=0且椭圆的离心率e=，短轴长为2，O为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． 参考答案： 【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】计算题． 【分析】（1）依题意可求得b，进而根据离心率求得a，则椭圆方程可得． （2）先看当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=y2，根据=0代入求得x12﹣=0把点A代入椭圆方程，求得A点横坐标和纵坐标的绝对值，进而求得△AOB的面积的值；当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b与椭圆方程联立消去y，根据伟大定理求得x1+x2和x1x2的表达式代入=0中整理可求得2b2﹣k2=4代入三角形面积公式中求得求得△AOB的面积的值为定值．最后综合可得答案． 【解答】解：（1）依题意知2b=2，∴b=1，e=== ∴a=2，c== ∴椭圆的方程为 （2）①当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=﹣y2， ∵=0 ∴x12﹣=0 ∴y12=4x12 又A（x1，y1）在椭圆上，所以x12+=1 ∴|x1|=，|y1|= s=|x1||y1﹣y2|=1 所以三角形的面积为定值． ②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b 消去y得（k2+4）x2+2kbx+b2﹣4=0 ∴x1+x2=，x1x2=，△=（2kb）2﹣4（k2+4）（b2﹣4）＞0 而=0， ∴x1x2+=0 即x1x2+=0代入整理得 2b2﹣k2=4 S=|AB|===1 综上三角形的面积为定值1． 【点评】本题主要考查了椭圆的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力． 19. 已知    （1）若存在单调递减区间，求的取值范围；    （2）若时，求证成立；    （3）利用（2）的结论证明：若 参考答案： 解：（1）   ， 有单调减区间有解，     有解， ①时合题意 ②时，，即     的范围是 （2）设         0 + 0 -   最大值       有最大值0     恒成立 即成立    （3）            由（2） ， 求证成立 略 20. 已知函数f（x）=（ax2+x﹣1）ex+f'（0）． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）若g（x）=e﹣xf（x）+lnx，h（x）=ex，过O（0，0）分别作曲线y=g（x）与y=h（x）的切线l1，l2，且l1与l2关于x轴对称，求证：﹣＜a＜﹣． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可； （2）求出直线l1的方程，设l1与y=g（x）的切点为（x1，y1），得到，根据函数的单调性求出a的范围即可． 【解答】解：由已知得f'（x）=[ax2+（2a+1）x]ex，f'（0）=0，所以f（x）=（ax2+x﹣1）ex． （1）f'（x）=[ax2+（2a+1）x]ex=[x（ax+2a+1）]ex． ①若a＞0，当或x＞0时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0， 所以f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为． ②若a=0，f（x）=（x﹣1）ex，f'（x）=xex，当x＞0时，f'（x）＞0；当x＜0时，f'（x）＜0， 所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；单调递减区间为（﹣∞，0）． ③若，当或x＜0时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0， 所以f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为． ④若，故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）． ⑤若，当或x＞0时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0， 所以f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为． 当a＞0时，f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为． 当a=0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；单调递减区间为（﹣∞，0）．， 当时，f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为． 当时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）； 当时，f（x）单调递增区间为；单调递减区间为，（0，+∞）； （2）证明：g（x）=e﹣xf（x）+lnx=﹣e﹣x（ax2+x﹣1）ex+lnx=ax2+x﹣1+lnx， 设l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则，所以x2=1，y2=e，k2=e． 由题意知k1=﹣k2=﹣e，所以l1的方程为y=﹣ex，设l1与y=g（x）的切点为（x1，y1）， 则． 又，即，令， 在定义域上，u'（x）＞0，所以（0，+∞）上，u（x）是单调递增函数， 又，所以，即， 令，则，所以， 故． 21. ．(本小题满分10分)设函数 （Ⅰ）若恒成立，求实数的取值范围； （Ⅱ）若不等式（，，）恒成立，求实数的范围． 参考答案： （Ⅰ）（5分） （II）由 ， 得，由，得， 解得或（10分） 22. 已知命题p：方程x2+2x+a=0有两个相异的实根；q：函数f（x）=2x﹣ax﹣2有两个零点，且p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围． 参考答案： 考点：复合命题的真假． 专题：简易逻辑． 分析：命题p：方程x2+2x+a=0有两个相异的实根，可得△＞0，解得a；q：函数f（x）=2x﹣ax﹣2有两个零点，可得函数y=2x与y=ax+2有两个不同的交点，解得a＞0．由于p∨q为真，p∧q为假，可得命题p与q必然一真一假．解出即可． 解答： 解：命题p：方程x2+2x+a=0有两个相异的实根，∴△=4﹣4a＞0，解得a＜1； q：函数f（x）=2x﹣ax﹣2有两个零点，∴函数y=2x与y=ax+2有两个不同的交点，∴a＞0． ∵p∨q为真，p∧q为假，∴命题p与q必然一真一假． ∴当p真q假时，，解得0≤a＜1． 当q真p假时，，解得1≤a． 综上可得：a的取值范围是0≤a