湖北省武汉市四美塘中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知抛物线的焦点为F,准线为l,l与x轴的交点为P,点A在抛物线C上,过点A作,垂足为.若,则
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
参考答案:
D
【分析】
过做于,可得,因为,可得,,的关系,进而求出的值.
【详解】解:由题意如图过做于,
因为,设,则可得,由抛物线的性质可得,
所以解得,所以,
故选:D .
【点睛】本题考查余弦值的应用及抛物线的性质,属于中档题.
2. 函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
【分析】
利用函数的奇偶性排除选项,利用特殊值定义点的位置判断选项即可.
【详解】函数是偶函数,排除选项B,当x=2时,f(2)=<0,对应点在第四象限,排除A,C;
故选:D.
【点睛】本题考查函数的图象的判断,考查数形结合以及计算能力.
3. “a>1”是“函数f(x)=ax﹣1﹣2(a>0且a≠1)在区间[1,2]上存在零点”的( )
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
参考答案:
B
略
4.
已知等差数列中,是方程的两根,则 等于
A. B. C. D.
参考答案:
答案:C
5. 已知函数,满足,且在上的导数满足,
则不等式的解为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
6. 函数,若存在唯一的零点,且,则的取值范围为
A. B. C. D.
参考答案:
B
7. 如图所示的程序框图,该算法的功能是
A.计算…的值
B.计算…的值
C.计算……的值
D.计算……的值
参考答案:
C
初始值,第次进入循环体:,;当第次进入
循环体时:,,…,给定正整数,当时,
最后一次进入循环体,则有:…,,
退出循环体,输出……,故选C.
8. 执行如图所示的程序框图,输出的S值是
(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16
参考答案:
【知识点】循环结构.L1
C 解析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加的值,∵,
故选C.
【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加的值,并输出.
9. 已知函数=| ex-1|,满足,则
A. a + b =0 . B. a +b>0 C. a + b <0 D. a + b≥0
参考答案:
C.
10. 已知是R上的偶函数,若将的图像向右平移一个单位后,则得到一个奇函数的图像,若
A.0 B.1 C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图,一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与它相距8n mile.此船的航速是 n mile/h.
参考答案:
32
【考点】解三角形的实际应用.
【分析】由题意及图形在△ABS中,已知∠BAS=30°,∠ASB=45°,又已知三角形ABS中边BS=8,先求出边AB的长,再利用物理知识解出.
【解答】解:因为在△ABS中,已知∠BAS=30°,∠ASB=45°,且边BS=8,利用正弦定理可得: ??AB=16,
又因为从A到S匀速航行时间为半个小时,所以速度应为:(mile/h).
故答案为:32.
12. 已知离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
a
则变量X的数学期望E(X)= ,方差D(X)= .
参考答案:
1,
【考点】CG:离散型随机变量及其分布列.
【分析】先根据概率的和为1求得a的值,再根据期望公式,方差的定义求出对应值.
【解答】解:根据概率和为1,得a++=1,解得a=;
∴变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×=1,
方差D(X)=×(0﹣1)2+×(1﹣1)2+×(2﹣1)2=.
故答案为:1,.
13. 已知双曲线的离心率为2,焦点与椭圆的焦点相同,那么双曲线的渐近线方程为_________
参考答案:
略
14. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b﹣c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为 .
参考答案:
﹣
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c,b=,再由余弦定理求得cosA= 的值.
【解答】解:在△ABC中,
∵b﹣c=a ①,2sinB=3sinC,
∴2b=3c ②,
∴由①②可得a=2c,b=.
再由余弦定理可得 cosA===﹣,
故答案为:﹣.
【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题.
15. 将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半,纵坐标保持不变得到新函数,则的最小正周期是________.
参考答案:
16. 已知实数满足,则的最大值为_______________.
参考答案:
略
17. 若x,y满足则的最大值是 .
参考答案:
【考点】简单线性规划.
【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域,再用角点法,求出目标函数的最大值.
【解答】解:满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示:
则的几何意义表示平面区域内的点
与点(0,0)的斜率的最大值,由
解得A(1,)
显然过A时,斜率最大,最大值是,
故答案为:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知等比数列{an}、等差数列{bn},满足a1>0,b1=a1﹣1,b2=a2,b3=a3且数列{an}唯一.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求数列{an?bn}的前n项和.
参考答案:
【考点】数列的求和;等差数列的通项公式.
【专题】计算题;转化思想;等差数列与等比数列.
【分析】(1)设等比数列{an}的公比为q,从而可得(q﹣1)2=,从而结合数列{an}唯一可得a1=1,q=2;从而解得.
(2)化简an?bn=(2n﹣2)2n﹣1,结合通项公式的形式可知利用错位相减法求其前n项和.
【解答】解:(1)设等比数列{an}的公比为q,
∵b1=a1﹣1,b2=a2,b3=a3,且{bn}为等差数列,
∴2a2=(a1﹣1)+a3,
即2a1q=(a1﹣1)+a1q2,
即(q﹣1)2=,
∵数列{an}唯一,
∴q在{q|q≠0}上只有一个解,
∴(q﹣1)2=中有一个解为q=0,
故=1,此时,a1=1,q=2;
故数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,
数列{bn}是以0为首项,2为公差的等差数列;
故an=2n﹣1,bn=2n﹣2;
(2)an?bn=(2n﹣2)2n﹣1,
Sn=0?1+2?2+4×4+6×8+…+(2n﹣2)2n﹣1,
2Sn=0?2+2?4+4×8+6×16+…+(2n﹣2)2n,
两式作差可得,
Sn=﹣2×2+(﹣2)×4+(﹣2)×8+…+(﹣2)×2n﹣1+(2n﹣2)2n
=(2n﹣2)2n﹣(22+23+24+…+2n)
=(n﹣1)2n+1﹣
=(n﹣2)2n+1+4.
【点评】本题考查了等比数列与等差数列的性质的应用,同时考查了错位相减法的应用及转化思想的应用.
19. 已知函数
(1)若求函数的单调区间;
(2)若且对任意,恒成立,求实数的取值范围;
(3)设函数 求证: .
参考答案:
20. 已知椭圆C的两个焦点为,,且经过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过F1的直线l与椭圆C交于A,B两点(点A位于x轴上方),若,求直线l的斜率k的值.
参考答案:
解:(1)由椭圆定义,有,,,从而.
(2)设直线,有,整理得,
设,,有,,
,,由已知.
21. .如图,在△ABC中,CD是∠ACB的角平分线,△ADC的外接圆交BC于点E,AB=2AC
(Ⅰ)求证:BE=2AD;
(Ⅱ)当AC=3,EC=6时,求AD的长.
参考答案:
【考点】与圆有关的比例线段.
【专题】选作题;立体几何.
【分析】(Ⅰ)连接DE,证明△DBE∽△CBA,利用AB=2AC,结合角平分线性质,即可证明BE=2AD;
(Ⅱ)根据割线定理得BD?BA=BE?BC,从而可求AD的长.
【解答】(Ⅰ)证明:连接DE,
∵ACED是圆内接四边形,
∴∠BDE=∠BCA,
又∠DBE=∠CBA,∴△DBE∽△CBA,即有,
又∵AB=2AC,∴BE=2DE,
∵CD是∠ACB的平分线,∴AD=DE,
∴BE=2AD;…
(Ⅱ)解:由条件知AB=2AC=6,设AD=t,
则BE=2t,BC=2t+6,
根据割线定理得BD?BA=BE?BC,
即(6﹣t)×6=2t?(2t+6),即2t2+9t﹣18=0,
解得或﹣6(舍去),则.…
【点评】本题考查三角形相似,考查角平分线性质、割线定理,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
22. 已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.
(1)若不等式f(x)≤6的解集为[﹣2,3],求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,若存在实数n,使得f(n)≤m﹣f(﹣n)成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】绝对值不等式的解法.
【分析】(1)原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a,解得a﹣3≤x≤3.再根据不等式f(x)≤6的解集为[﹣2,3],可得a﹣3=﹣2,从而求得a的值;
(2)由题意可得|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m,将函数y=|2n﹣1|+|2n+1|+2,写成分段形式,求得y的最小值,从而求得m的范围.
【解答】解:(1)原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a,
∴,
解得a﹣3≤x≤3.
再根据不等式f(x)≤6的解集为[﹣2,3],可得a﹣3=﹣2,
∴a=1.
(2)∵f(x)=|2x﹣1|+1,f(n)≤m﹣f(﹣n),
∴|2n﹣1|+1≤m﹣(|﹣2n﹣1|+1),
∴|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m,
∵y=|2n﹣1|+|2n+1|+2=,
∴ymin=4,
由存在实数n,使得f(n)≤m﹣f(﹣n)成立,
∴m≥4,即m的范围是[4,+∞).