湖北省襄阳市襄樊第十六中学高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 关于函数,下列说法正确的是
A.是奇函数且x=-1处取得极小值
B.是奇函数且x=1处取得极小值
C.是非奇非偶函数且x=-1处取得极小值
D.是非奇非偶函数且x=1处取得极小值
参考答案:
D
略
2. 已知集合=( )。
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 设函数是定义在上的偶函数, 对任意,都有,且当时, ,若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根, 则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
试题分析:作出在区间图像,可知,选B.
考点:函数图像
【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时,先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容,熟悉图象所能够表达的函数的性质.
(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系,结合图象研究.
4. “”是“”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
略
5. 若定义在R上的函数,则对于任意的,都有的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
C
略
6. 已知定义在(0,)上的函数f(x),f′(x)为其导函数,且f(x)<f′(x)?tanx恒成立,则( )
A. f()>f() B. f()<f() C. f()>f() D.f(1)<2f()?sin1
参考答案:
B
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用.
【分析】把给出的等式变形得到f′(x)sinx﹣f(x)cosx>0,由此联想构造辅助函数g(x)=,由其导函数的符号得到其在(0,)上为增函数,则g()<g()<g(1)<g(),整理后即可得到答案.
【解答】解:解:因为x∈(0,),所以sinx>0,cosx>0,
由f(x)<f′(x)tanx,得f(x)cosx<f′(x)sinx,
即f′(x)sinx﹣f(x)cosx>0.
令g(x)=,x∈(0,),则g′(x)=>0.
所以函数g(x)=在x∈(0,)上为增函数,
则g()<g()<g(1)<g(),即
,
对照选项,A.应为>,C.应为<f(),
D.应为f(1)2f()sin1,B正确.
故选B.
7. 若函数f(x)=a|2x﹣4|(a>0,a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )
A.(﹣∞,2] B.[2,+∞) C.[﹣2,+∞) D.(﹣∞,﹣2]
参考答案:
B
【考点】4B:指数函数的单调性与特殊点.
【分析】由f(1)=,解出a,求出g(x)=|2x﹣4|的单调增区间,利用复合函数的单调性,求出f(x)的单调递减区间.
【解答】解:由f(1)=,得a2=,于是a=,因此f(x)=()|2x﹣4|.
因为g(x)=|2x﹣4|在[2,+∞)上单调递增,
所以f(x)的单调递减区间是[2,+∞).
故选B
8. 定义在R上的偶函数满足:对任意的,有.则( )
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
A
9. 已知是定义在R上的偶函数,且对于任意的R都有若当时,则有( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
10. 某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班,每人4天.
甲说:我在1日和3日都有值班;
乙说:我在8日和9日都有值班;
丙说:我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是
A. 2日和5日 B. 5日和6日 C. 6日和11日 D. 2日和11日
参考答案:
C
试题分析:这12天的日期之和,,甲、乙、丙的各自的日期之和是,对于甲,剩余2天日期之和22,因此这两天是10日和12日,故甲在1日,3日,10日,12日;对于乙,剩余2天日期之和是9,可能是2日,7日,可能是4日,5日,因此丙必定值班的日期是6日和11日,故答案为C.
考点:等差数列的前项和.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若,,则_______.
参考答案:
【分析】
用基本量法,求出首项和公比,再求。
【详解】设首项,公比,易知,
∴,由于均为正,∴,
∴。
故答案:。
【点睛】本题考查等比数列的前项公式和通项公式,解题方法是基本量法,即由已知首先求出首项和公比,然后再求通项公式和前项和公式。
12. 设点(x,y)是不等式组表示的平面区域内的点,则过点(x,y)和点(-2,-4)的直线的斜率的取值范围是_____.
参考答案:
【分析】
作出不等式组表示的平面区域,结合图象可得所求斜率的取值范围.
【详解】作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,.
记,过点和点的直线的斜率为,
由图象可得,而,
所以,即过点和点的直线的斜率的取值范围为.
【点睛】本题考查线性约束条件下可行域内的点与定点连线斜率的取值范围,解题关键是作出平面区域.
13. 设和都是元素为向量的集合,则M∩N= .
参考答案:
略
14. 如图,F1,F2是双曲线C: 的左、右焦点,过F1的直线与的左、右两支分别交于A,B两点.若为等边三角形,则双曲线的离心率为_______
参考答案:
15. 已知离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
a
则变量X的数学期望E(X)= ,方差D(X)= .
参考答案:
1,
【考点】CG:离散型随机变量及其分布列.
【分析】先根据概率的和为1求得a的值,再根据期望公式,方差的定义求出对应值.
【解答】解:根据概率和为1,得a++=1,解得a=;
∴变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×=1,
方差D(X)=×(0﹣1)2+×(1﹣1)2+×(2﹣1)2=.
故答案为:1,.
16. 设变量满足约束条件:,则目标函数的最小值为 .
参考答案:
17. 定义在上的函数满足,则等于 .
参考答案:
-3
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)某校共有400名高一学生,期中考试之后,为了解学生学习情况,用分层抽样方法从中抽出c名学生的数学期中成绩,按成绩分组,制成如下的频率分布表:(低于20分0人)
组号
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
第六组
第七组
第八组
合计
分组
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100)
频数
2
2
4
6
15
14
3
c
频率
0.04
0.04
0.08
b
0.3
0.08
0.28
0.06
1
(Ⅰ)求的值,并估计该校本次考试的数学平均分;
(Ⅱ)教导处为了解数学成绩在60分以下的学生在学习数学时存在的问题,现决定从第四组中,利用分层抽样抽取7人,再从这7人中随机抽取两人谈话,求这两人都来自同一组的概率.
参考答案:
19. 已知函数f(x)=x2﹣a2lnx(a>0).
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若f(x)在[1,e]上没有零点,求a的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
【分析】
Ⅰ求出,解不等式,,即可求出的单调区间;
Ⅱ用导数求出函数在区间上没有零点,只需在上或,分类讨论,根据导数和函数的最值得关系即可求出.
【详解】Ⅰ,
令,解得;
令,解得,
函数的单调增区间为,单调减区间为
Ⅱ要使在上没有零点,
只需在上或,
又,只需在区间上,.
当时,在区间上单调递减,
则,
解得与矛盾.
当时,在区间上单调递减,在区间上单调递增,
,
解得,
,
当时,在区间上单调递增,
,满足题意,
综上所述,实数a的取值范围是:.
【点睛】本题是导数在函数中的综合运用,考查运用导数求单调区间,求极值,求最值,考查分类讨论的思想方法,同时应注意在闭区间内只有一个极值,则一定为最值的结论的运用.
20. 已知函数.
(1)当时,解不等式;
(2)若存在满足,求实数a的取值范围.
参考答案:
(1);(2).
(1)当时,,
当时,不等式等价于,解得,∴;
当时,不等式等价于,解得,∴;
当时,不等式等价于,解得,∴,
综上所述,原不等式的解集为.
(2)由,得,
而,
(当且仅当时等号成立,)
由题可知,,即,
解得实数的取值范围是.
21. 在四棱锥中,平面平面,,在锐角中,并且 ,
(1)点是上的一点,证明:平面平面;
(2)若与平面成角,当面面时,求点到平面的距离.
参考答案:
法一(1)∵BD=2AD=8,AB=4,由勾股定理得BD⊥AD,
∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD?面ABCD,
∴BD⊥平面PADBD?面MBD,∴平面MBD⊥平面PAD
(2)如图,∵BD⊥平面PAD,∴平面PBD⊥平面PAD,∴∠APD=60°,
做PF⊥AD于F,∴PF⊥面ABCD,PF=2,
设面PFC∩面MBD=MN,面MBD⊥平面ABCD∴面PF∥面MBD,∴PF∥MN,
取DB中点Q,得CDFQ为平行四边形,由平面ABCD边长得N为FC中点,
∴MN=PF=
法二(1)同一
(2)在平面PAD过D做AD垂线为z轴,由(1),以D为原点,DA,DB为x,y轴建立空间直角坐标系,
设平面PBD法向量为=(x,y,z),设P(2,0,a),
锐角△PAD∴a>2,
由?=0,?=0,
解得=(-a,0,2),=(2,0,-a),
|cos<,>|==,解得a=2或a=<2(舍)
设=λ,解得M(2-4λ,4λ,2-2λ)
∵面MBD⊥平面ABCD,AD⊥BD,∴面MBD法向量为=(0,0,4),∴?=0,
解得λ=,∴M到平面ABD的距离为竖坐标.
略
22. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(I)求B;
(II)若a+c=5,△ABC的面积为,求b.
参考答案:
【考点】HT:三角形中的几何计算.
【分析】(Ⅰ)根据正弦定理以及余弦定理可得,
(Ⅱ)根据三角形的面积公式和余弦定理即可求出.
【解答】解:(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理,得==,
∴b2﹣c2=a2﹣ac,
∴a2+c2﹣b2=ac,
由余弦定理,得cosB==,
∵B∈(0,π),
∴B=,
(Ⅱ)∵△ABC的面积为,
∴S△ABC=acsinB=ac=,
∴ac=6,
由余弦定理知b2=a2+c2﹣2accosB=(a+c)2﹣2ac(1+cosB)=25﹣2×6×=7,
∴b=.