湖南省娄底市走马学区秧冲中学高三数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的图象是 ( )
参考答案:
C
2. 函数y=(x﹣x3)?2|x|在区间[﹣3,3]上的图象大致是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】函数的图象.
【分析】利用函数的奇偶性,排除选项,然后利用特殊值判断函数的图形即可.
【解答】解:函数y=(x﹣x3)?2|x|在区间[﹣3,3]上是奇函数,排除:C,
又x=时,y=()×=>0.即(,)在函数的图象上,排除B,D,
故选:A.
3. 已知定义在R上的函数分别满足:,则下列函数中,一定为奇函数的是
A. B. C. D.
参考答案:
B
4. 用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值。设(x0),
则的最大值是 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
参考答案:
C
分别作出函数的图象,由图象可知,点的函数值最大,此时由,解得,所以选C.
5. 在中,团, , ,,为的三等分点,则·=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 已知函数f(x)的图像是连续不断的,有如下的x,f(x)的对应表
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.13
15.552
-3.92
10.88
-52.488
-232.064
则函数f(x)存在零点的区间有( )
(A)区间[1,2]和[2,3] (B)区间[2,3]和[3,4]
(C)区间[2,3]、[3,4]和[4,5] (D)区间[3,4]、[4,5]和[5,6]
参考答案:
C
因为f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,所以在区间[2,3]、[3,4]和[4,5]内有零点, 选C.
7. 设,若函数,,有大于零的极值点,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
令有大于0的实根,即(),
由得,,从而,选A。
8. 已知点P是边长为1的正三角形内一点,该点到三角形三边的距离分别是a,b,c(a,b,c>0),则ab+bc+ca的取值范围是( )
A.(0,] B.(0,] C.(0,] D.[,1]
参考答案:
A
【考点】余弦定理.
【分析】利用三角形的面积计算公式可得=,即a+b+c=.再利用(a+b+c)2≥3(ab+ac+bc),即可得出.
【解答】解:∵=,
∴a+b+c=.
∵(a+b+c)2≥3(ab+ac+bc),
∴ab+bc+ca≤=.
又ab+bc+ca>0.
∴ab+bc+ca的取值范围是.
故选;A.
9. 已知集合,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
10. 在正三棱锥A一BCD中,E,F分别是AB,BC的中点,EF⊥DE,且BC=1,则正三棱锥A一BCD的体积等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若,,则m+n的取值范围为 .
参考答案:
[2,+∞)
【考点】平面向量的基本定理及其意义.
【分析】由三点共线时,以任意点为起点,这三点为终点的三向量,其中一向量可用另外两向量线性表示,其系数和为1得到+=1,然后利用基本不等式求最值
【解答】解:∵△ABC中,点O是BC的中点,
∴=(+),
∵,,
∴=+,
又∵O,M,N三点共线,
∴+=1,
∴m+n=(m+n)(+)=(2++)≥(2+2)=2,当且仅当m=n=1时取等号,
故m+n的取值范围为[2,+∞),
故答案为:[2,+∞)
12. △ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,
若,则b= 。
参考答案:
3
略
13. 在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体,如果任意转动该正方体,液面的形状都不可能是三角形,那么液体体积的取值范围是 .
参考答案:
14. 已知、满足条件:,则的最大值为 .
参考答案:
3
15. 在中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知,则__________.
参考答案:
4
16. 已知P是双曲线 上的点,F1,F2是其焦点,双曲线的离心率是,且·=0,若△PF1F2的面积为9,则a+b的值为________.
参考答案:
9
略
17. 已知是钝角,,则_________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分l2分)中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母,“辽宁”号以4台蒸汽轮机为动力,为保证航母的动力安全性,科学家对蒸汽轮机进行了170余项技术改进,增加了某项新技术,该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测.假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为、、。指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分;若某项指标不合格,则该项指标记0分,各项指标检测结果互不影响.
(I)求该项技术量化得分不低于8分的概率;
(II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.
参考答案:
解:(Ⅰ)该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件、、,
则事件“得分不低于8分”表示为+. 与为互斥事件,且、、为彼此独立+=()+() =()()()+()()(=. ……………………4分
(Ⅱ)该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数的取值为0,1,2,3.
=()==,
=(++)=++=, ……………6分
=(++)=++=,
=()==, …………………………………………………………8分
随机变量的分布列为
0
1
2
3
=+++=. ………………………………………………
略
19. 如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形,侧面PAD是等边三角形,平面PAD⊥平面ABCD,M,N分别是棱PC,AB的中点,且MN⊥CD.
(Ⅰ)求证:AD⊥CD;
(Ⅱ)若AB=AD,求直线MN与平面PBD所成角的正弦值.
参考答案:
解:(Ⅰ)证明:如图,
取PD中点E,连AE,EM,则EM∥AN,且EM=AN;
∴四边形ANME是平行四边形,MN∥AE;
∵MN⊥CD,∴AE⊥CD,即CD⊥AE;
取AD中点O,连PO,△PAD是等边三角形,则PO⊥AD;
又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD;
∴PO⊥平面ABCD,PO⊥CD,即CD⊥PO;
故CD⊥平面PAD,AD?平面PAD;
∴CD⊥AD,即AD⊥CD;
(Ⅱ)由AB=AD,AD⊥CD,得?ABCD是正方形;
取BC边的中点F,连接OF,则分别以OA,OF,OP所在直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系;
设AB=2,则A(1,0,0),B(1,2,0),D(﹣1,0,0),P(0,0,),E(﹣,0,);
=(2,2,0),=(1,0,);
设平面PBD的法向量,则:
;
∴;
∴,取z=1,∴;
==(,0,﹣);
设直线MN与平面PBD所成的角为θ,则:
sinθ=|cos<,>|==.
考点: 直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系.
专题: 空间位置关系与距离;空间角;空间向量及应用.
分析: (Ⅰ)取PD边中点E,连接AE,EM,根据MN⊥CD容易得到CD⊥AE,而根据已知条件可以说明PO⊥平面ABCD,从而得到CD⊥PO,这样CD就垂直于平面PAD内两条相交直线,由线面垂直的判定定理从而得到AD⊥CD;
(Ⅱ)取BC中点F,连接OF,由(Ⅰ)便可知道OA,OF,OP三条直线两两垂直,从而可分别以这三条直线为x,y,z轴,可设AB=2,这样即可求得图形中一些点的坐标.从而求出向量的坐标,这时候设平面PBD的法向量为,根据即可求出的坐标,若设MN和平面PBD所成角为θ,从而根据sinθ=即可求得答案.
解答: 解:(Ⅰ)证明:如图,
取PD中点E,连AE,EM,则EM∥AN,且EM=AN;
∴四边形ANME是平行四边形,MN∥AE;
∵MN⊥CD,∴AE⊥CD,即CD⊥AE;
取AD中点O,连PO,△PAD是等边三角形,则PO⊥AD;
又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD;
∴PO⊥平面ABCD,PO⊥CD,即CD⊥PO;
故CD⊥平面PAD,AD?平面PAD;
∴CD⊥AD,即AD⊥CD;
(Ⅱ)由AB=AD,AD⊥CD,得?ABCD是正方形;
取BC边的中点F,连接OF,则分别以OA,OF,OP所在直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系;
设AB=2,则A(1,0,0),B(1,2,0),D(﹣1,0,0),P(0,0,),E(﹣,0,);
=(2,2,0),=(1,0,);
设平面PBD的法向量,则:
;
∴;
∴,取z=1,∴;
==(,0,﹣);
设直线MN与平面PBD所成的角为θ,则:
sinθ=|cos<,>|==.
点评: 考查面面垂直的性质定理,线面垂直的判定定理,以及建立空间直角坐标系,利用向量解决直线和平面所成角的问题,能求空间点的坐标,注意线面角和直线和平面法向量所成角的关系,以及向量夹角余弦的坐标公式
20. F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点,点P在椭圆上,且|PF1|﹣|PF2|=2,则△PF1F2的面积为( )
A. 24 B. 24 C. 48 D. 48
参考答案:
B
略
21. 已知动圆P过定点A(﹣3,0),且与圆B:(x﹣3)2+y2=64相切,点P的轨迹为曲线C;设Q为曲线C上(不在x轴上)的动点,过点A作OQ的平行线交曲线C于M,N两点.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)是否存在常数λ,使?=λ2总成立,若存在,求λ;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)求△MNQ的面积S的最大值.
参考答案:
考点:直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程.
专题:圆锥曲线中的最值与范围问题.
分析:(Ⅰ)由已知条件推导出点P到两定点A(﹣3,0)和B(3,0)距离之和等于定圆B的半径,由此能求出曲线C的方程.
(Ⅱ)设直线OQ:x=my,直线MN:x=my﹣3,M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x3,y3),联立方程组,得:(7m2+16)y2﹣42my﹣49=0,由此能求出存在符合条件的常数λ.
(Ⅲ)由MN∥OQ,知S=S△MNQ=S△MNO=|OA|?|y1﹣y2|=|y1﹣y2|,由此利用均值不等式能求出最大值.
解答: 解:(Ⅰ)∵动圆P过定点A(﹣3,0),且与圆B:(x﹣3)2+y