2021-2022学年山西省长治市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案及部分解析)
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________
一、单选题(20题)
1.
A.A.xy
B.yxy
C.(x+1)yln(x+1)
D.y(x+1)y-1
2.设f(x)=e-2x,则f'(x)=( )。
A.-e-2x
B.e-2x
C.-(1/2)e-2x
D.-2e-2x
3.摇筛机如图所示,已知O1B=O2B=0.4m,O1O2=AB,杆O1A按
规律摆动,(式中∮以rad计,t以s计)。则当t=0和t=2s时,关于筛面中点M的速度和加速度就散不正确的一项为( )。
A.当t=0时,筛面中点M的速度大小为15.7cm/s
B.当t=0时,筛面中点M的法向加速度大小为6.17cm/s2
C.当t=2s时,筛面中点M的速度大小为0
D.当t=2s时,筛面中点M的切向加速度大小为12.3cm/s2
4.
5.当x→0时,sinx是sinx的等价无穷小量,则k=( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6. 若y=ksin2x的一个原函数是(2/3)cos2x,则k=
A.-4/3 B.-2/3 C.-2/3 D.-4/3
7.
8.
9.
A.A.1/3 B.3/4 C.4/3 D.3
10.
A.A.e-x+C B.-e-x+C C.ex+C D.-ex+C
11.
12.
13.
14.下列命题正确的是( )
A.A.
B.
C.
D.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
二、填空题(20题)
21.设,则y'=______。
22.
23.
24.
25.
26.y"+8y=0的特征方程是________。
27.
28.
29. 设f'(1)=2.则
30.
31.
32.设函数z=f(x,y)存在一阶连续偏导数,则全微分出dz=______.
33. 曲线y=1-x-x3的拐点是__________。
34.
35.
36.
37.
38.
39.方程cosxsinydx+sinxcosydy=0的通解为___________.
40.
三、计算题(20题)
41.
42.
43. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.
44.证明:
45.
46. 求曲线在点(1,3)处的切线方程.
47.
48.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.
49.
50.
51.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.
52.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量,则
53. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.
54.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
55.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为
S(x).
(1)写出S(x)的表达式;
(2)求S(x)的最大值.
56. 求微分方程的通解.
57.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?
58. 求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.
59.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.
60.
四、解答题(10题)
61.设
62.
63. 求∫xlnx dx。
64. 求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解。
65.
66.求函数f(x,y)=e2x(x+y2+2y)的极值.
67.求微分方程xy'-y=x2的通解.
68.
69.
70.
五、高等数学(0题)
71.
是函数
的( )。
A.连续点 B.可去间断点 C.跳跃间断点 D.第二类问断点
六、解答题(0题)
72.求在区间[0,π]上由曲线y=sinx与y=0所围成的图形的面积A及该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积Vx。
参考答案
1.C
2.D
3.D
4.B
5.B
由等价无穷小量的概念,可知=1,从而k=1,故选B。也可以利用等价无穷小量的另一种表述形式,由于当x→0时,有sinx~x,由题设知当x→0时,kx~sinx,从而kx~x,可知k=1。
6.D解析:
7.C
8.A解析:
9.B
10.B
11.A
12.C
13.D
14.D
15.C
16.D
17.B
18.C
19.D
20.B解析:
21.本题考查的知识点为导数的运算。
22.
23.
24.本题考查的知识点为偏导数的运算。
由于z=x2+3xy+2y2-y,可得
25.
26.r2+8r=0本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程特征方程的概念。y"+8y"=0的特征方程为r2+8r=0。
27.3yx3y-1
28.
29.11 解析:本题考查的知识点为函数在一点处导数的定义.
由于f'(1)=2,可知
30. 解析:
31.
本题考查的知识点为:参数方程形式的函数求导.
32.依全微分存在的充分条件知
33.(0 1)
34.
35.22 解析:
36.
37.
38.00 解析:
39.sinx·siny=C
sinx·siny=C
本题考查了可分离变量微分方程的通解的知识点.
由cosxsinydx+sinxcosydy=0,知sinydsinx+sinxdsiny=-0,即d(sinx·siny)=0,两边积分得sinx·siny=C,这就是方程的通解.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
则
46.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点
(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为
47.
48.由二重积分物理意义知
49.
50.
51.
52.由等价无穷小量的定义可知
53. 函数的定义域为
注意
54.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,
55.
56.
57.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%
58.
59.
列表:
说明
60. 由一阶线性微分方程通解公式有
61.
62.
63.
64.
65.
本题考查的知识点为被积函数为分段函数的定积分.
当被积函数为分段函数时,应将积分区间分为几个子区间,使被积函数在每个子区间内有唯一的表达式.
66.
67.将方程化为标准形式
本题考查的知识点为求解一阶线性微分方程.
求解一阶线性微分方程常可以采用两种解法:
68.
69.(11/3)(1,1/3) 解析:
70.
71.B无定义是间断点又是可去间断点。
72.