四川省宜宾市隆兴乡中学校高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F,且EF=,则下列结论中错误的是 ( )
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A-BEF的体积为定值
D.△AEF的面积与△BEF的面积相等
参考答案:
D
略
2. 设P是双曲线上一点,分别是双曲线左右两个焦点,若,则=( )
A.1 B.17 C.1或17 D.以上答案均不对
参考答案:
B
略
3. △ABC中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC为( )
A直角三角形 B等腰直角三角形 C等边三角形 D等腰三角
参考答案:
A
4. 下图是《集合》的知识结构图,如果要加入“子集”,则应该放在
A.“集合的概念”的下位 B. “基本关系”的下位
C.“集合的表示”的下位 D.“基本运算”的下位
参考答案:
B
略
5. 已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是( )
A.?x∈R,f(x)≤f(x0) B.?x∈R,f(x)≥f(x0)
C.?x∈R,f(x)≤f(x0) D.?x∈R,f(x)≥f(x0)
参考答案:
C
【考点】四种命题的真假关系.
【分析】由x0满足关于x的方程2ax+b=0得出x=x0是二次函数的对称轴,由a>0可知二次函数有最小值.
【解答】解:∵x0满足关于x的方程2ax+b=0,∴
∵a>0,∴函数f(x)在x=x0处取到最小值是
等价于?x∈R,f(x)≥f(x0),所以命题C错误.
答案:C.
6. 在等差数列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7﹣a8的值为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
参考答案:
C
【考点】等差数列的性质.
【专题】整体思想.
【分析】利用等差数列的性质先求出a6的值,再用a1与d表示出a7﹣?a8,找出两者之间的关系,求解即可.
【解答】解:由已知得:(a2+a10)+(a4+a8)+a6=5a6=80,
∴a6=16,
设等差数列{an}首项为a1,公差为d,
则a7﹣a8=a1+6d﹣(a1+7d)=(a1+5d)=a6=8.
故选C.
【点评】本题考查了等差数列的性质和通项公式,应用了基本量思想和整体代换思想.
等差数列的性质:{an}为等差数列,当m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)时,am+an=ap+aq.
特例:若m+n=2p(m,n,p∈N+),则am+an=2ap.
7. 已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 如图,以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:
①;
②∠BAC=60°;
③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥;
④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.
其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
参考答案:
B
【考点】棱锥的结构特征;向量的数量积判断向量的共线与垂直.
【专题】常规题型.
【分析】①由折叠的原理,可知BD⊥平面ADC,可推知BD⊥AC,数量积为零,②因为折叠后AB=AC=BC,三角形为等边三角形,所以∠BAC=60°;③又因为DA=DB=DC,根据正三棱锥的定义判断.④平面ADC和平面ABC不垂直.
【解答】解:BD⊥平面ADC,?BD⊥AC,①错;
AB=AC=BC,②对;
DA=DB=DC,结合②,③对④错.
故选B.
【点评】本题是一道折叠题,主要考查折叠前后线线,线面,面面关系的不变和改变,解题时要前后对应,仔细论证,属中档题.
9. 已知(3,1)和(﹣4,6)在直线3x﹣2y+a=0的两侧,则a的取值范围是( )
A.a<1或a>24 B.a=7或a=24 C.﹣7<a<24 D.﹣24<a<7
参考答案:
C
【考点】二元一次不等式(组)与平面区域.
【专题】计算题;转化思想.
【分析】将两点坐标分别代入直线方程中,只要异号即可.
【解答】解:因为(3,1)和(﹣4,6)在直线3x﹣2y+a=0的两侧,
所以有(3×3﹣2×1+a)<0,
解得﹣7<a<24
故选C.
【点评】本题考查线性规划知识的应用.一条直线把整个坐标平面分成了三部分,让其大于0的点,让其大于0的点以及让其小于0的点.
10. 某大学数学专业一共有位学生,现将学生随机编号后用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本,已知号、号、号同学在样本中,那么样本中还有位同学的编号应该为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知满足,若目标函数的最大值为10,则的最小值为____________.
参考答案:
5
考点:线性规划
试题解析:作可行域:
当目标函数线过B时,目标函数值最大,为
解得:m=5.
所以所以的最小值为:
故答案为:5
12. 矩阵M=,则
参考答案:
13. 命题“存在 , ”的否定是______
参考答案:
任意 ,
略
14. 点为圆的弦的中点,则该弦所在直线的方程是 .
参考答案:
15. 如果a、b∈(0,+∞),a≠b且a+b=1,那么的取值范围是 .
参考答案:
(4,+∞)
【考点】基本不等式.
【分析】依题意, +=(+)(a+b),利用基本不等式即可解决问题.
【解答】解:∵a、b∈(0,+∞),a≠b且a+b=1,
∴+=(+)(a+b)
=1+1++>2+2=4.
故么的取值范围是(4,+∞).
故答案为:(4,+∞).
16. 如图,在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M、N分别是BB1,BC的中点,则图中阴影部分在平面ADD1A1上的投影的面积为 .
参考答案:
考点: 平行投影及平行投影作图法.
专题: 计算题;空间位置关系与距离.
分析: 根据正方体的性质,可以分别看出三个点在平面ADD1A1上的投影,有一个特殊点D,它的投影是它本身,另外两个点的投影是通过垂直的性质做出的,连接三个投影点,得到要求的图形,即可求出图中阴影部分在平面ADD1A1上的投影的面积.
解答: 解:由题意知D点在投影面上,它的投影就是它本身,N在平面上的投影是AD棱的中点,M在平面上的投影是AA1的中点,
∴图中阴影部分在平面ADD1A1上的投影的面积为=.
故答案为:.
点评: 本题考查平行投影及平行投影作图法,考查面面垂直的性质,考查正方体的特点,是一个基础题,也是一个容易得分的题目.
17. 已知点是抛物线上的动点,点在轴上射影是,点,则的最小值是___________________.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设,,为的三边长,求证:.
参考答案:
证明:∵,,∴,,
要证明
只需证
即证
即证
∵,,是的三边长
∴,,且,,
∴成立
∴成立
19. 如图,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且AC=AB=BC=2,PA⊥平面ABCD,E,F分别是BC,PC的中点.
(1)证明:AE⊥PD;
(2)若H为PD上一点,且AH⊥PD,EH与平面PAD所成角的正切值为求二面角E-AF-C的余弦值.
参考答案:
略
20. 已知椭圆C的方程为,双曲线的两条渐近线为,过椭圆C的右焦点F作直线,使,又与交于P,
设与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B(如图).
(1)当与的夹角为,且△POF的面积为时,求椭圆C的方程;
(2)当时,求当取到最大值时椭圆的离心率.
参考答案:
解:
(1)的斜率为,的斜率为,由与的夹角为,得.
整理,得. ①
由得.由,得.
∴ . ②
由①②,解得,.∴ 椭圆C方程为:.
(2)由,及,得.
将A点坐标代入椭圆方程,得.
整理,得,
∴ 的最大值为,此时.
略
21. 已知,,.
若∥,求的值;若求的值
参考答案:
解:(Ⅰ)因为∥,所以.
则. ……………………………6分
(Ⅱ)因为所以
即 …………………………8分
因为,所以,
则.
……………………14
22. (12分)在△ABC中,a=,b=2,c=+1,求A、B、C及S△ABC。
参考答案:
略