安徽省蚌埠市铁路中学2022年高二数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是( )
A.4 B. C. D.8
参考答案:
C
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程,进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标,再由AK⊥l,垂足为K,可求得K的坐标,根据三角形面积公式可得到答案.
【解答】解:∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线为l:x=﹣1,
经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3,2),
AK⊥l,垂足为K(﹣1,2),
∴△AKF的面积是4
故选C.
2. 已知双曲线(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2﹣6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( )
A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1
参考答案:
A
【考点】双曲线的简单性质;双曲线的标准方程.
【分析】先利用圆的一般方程,求得圆心坐标和半径,从而确定双曲线的焦距,得a、b间的一个等式,再利用直线与圆相切的几何性质,利用圆心到渐近线距离等于圆的半径,得a、b间的另一个等式,联立即可解得a、b的值,从而确定双曲线方程
【解答】解:∵圆C:x2+y2﹣6x+5=0的圆心C(3,0),半径r=2
∴双曲线(a>0,b>0)的右焦点坐标为(3,0),即c=3,∴a2+b2=9,①
∵双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线方程为bx﹣ay=0,
∴C到渐近线的距离等于半径,即=2 ②
由①②解得:a2=5,b2=4
∴该双曲线的方程为
故选 A
3. 的展开式中的系数为
A. 4 B. 6
C. 10 D. 20
参考答案:
B
解析:由通项公式得
4. 过点(0,1)的直线与x2+y2=4相交于A、B两点,则|AB|的最小值为( )
A.2 B.2
C.3 D.2
参考答案:
B
略
5. 已知命题p:,;命题q:,,则下列说法中正确的是
A. 是假命题 B. 是真命题
C. 是真命题 D. 是假命题
参考答案:
C
【分析】
先判断命题的真假,进而求得复合命题真假判断真值表得到答案.
【详解】命题p,,即命题p为真,
对命题q,去 ,所以命题q为假,为真
所以是真命题
故选:C.
【点睛】(1)对于一些简单命题,判断为真,许推理证明,若判断为假,只需找出一个反例即可;
(2)对于复合命题的真假判断应利用真值表;
(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性,通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.
6. 已知复数,其中.若z是纯虚数,则m=
(A)1 (B)-1 (C)1或-1 (D)0
参考答案:
A
7. 个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
8. 从椭圆上一点向轴作垂线,垂足恰为右焦点,是椭圆与轴负半轴的交点,是椭圆与轴正半轴的交点,且(是坐标原点),则该椭圆的离心率是
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. 函数的图象一定过点 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 定义运算则符合条件的复数z对应的点在( )
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若抛物线的焦点是,准线是,则经过点、(4,4)且与相切的圆共有 *** 个.
参考答案:
2
12. 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若三角形的面积S=(a2+b2-c2),则∠C的度数是_______.
参考答案:
45°13. 抛物线系在平面上不经过的区域是________,其面积等于_________。
参考答案:
;
14. 不等式的解集为_________________.
参考答案:
15. 已知实数满足,若在处取得最小值,则此时__________。
参考答案:
(-1,0)
16. 已知某圆的极坐标方程为,若点在该圆上,则的最大值是_______
参考答案:
17. 下列四个命题:①当a为任意实数时,直线恒过定点P,则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是;②已知双曲线的右焦点为(5,0),一条渐近线方程为 ,则双曲线的标准方程是;③抛物线的准线方程为;④已知双曲线 ,其离心率,则m的取值范围是 (-12,0).
其中正确命题的序号是___________.(把你认为正确命题的序号都填上)
参考答案:
①②③④
【分析】
①先由直线方程求出点P坐标,进而可得出所求抛物线方程;即可判断①的真假;
②根据双曲线的焦点坐标,以及渐近线方程得到的值,进而可得出所求双曲线方程;判断出②的真假;③由抛物线方程直接得到准线方程,从而可得③的真假;④根据双曲线方程与离心率范围,求出的取值范围,即可判断出④的真假.
【详解】①因为直线可化为,由得,即,设焦点在轴上的抛物线的标准方程为,由抛物线过点,可得,所以,故所求抛物线的方程为;故①正确;
②因为双曲线的右焦点为,一条渐近线方程为 ,所以,又,所以,故所求双曲线的方程为;故②正确;
③抛物线的标准方程为,所以其准线方程为;故③正确;
④因为为双曲线,所以,又离心率为,
所以,解得,故④正确.
故答案为①②③④
【点睛】本题主要考查圆锥曲线综合,熟记圆锥曲线的方程与简单性质即可,属于常考题型.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)
设椭圆的左、右焦点分别为、,点是椭圆短轴的一个端点,且焦距为6,的周长为16.求:
(1)椭圆C的方程;
(2)过点且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标.
参考答案:
(1)设椭圆的半焦距为,则由题设得,解得,
所以,过椭圆的方程为4分
(2)过点且斜率为的直线方程为,将之代入的方程,得
,即6分
设直线与的交点为,,因为,所以线段中点横坐标为,纵坐标为9分
故所求线段中点坐标为10分
19. 一汽车4S店新进A,B,C三类轿车,每类轿车的数量如下表:
类别
A
B
C
数量
4
3
2
同一类轿车完全相同,现准备提取一部分车去参加车展.
(Ⅰ)从店中一次随机提取2辆车,求提取的两辆车为同一类型车的概率;
(Ⅱ)若一次性提取4辆车,其中A,B,C三种型号的车辆数分别记为a,b,c,记ξ为a,b,c的最大值,求ξ的分布列和数学期望.
参考答案:
【考点】离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式.
【分析】(Ⅰ)设提取的两辆车为同一类型的概率为P,直接利用古典概型求解即可.
(Ⅱ)随机变量ξ的取值为2,3,4,求出概率得到分布列,然后求解期望即可.
【解答】(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)设提取的两辆车为同一类型的概率为P,﹣﹣﹣﹣
(Ⅱ)随机变量ξ的取值为2,3,4.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴,
∴,
∴,
∴其分布列为:
ξ
2
3
4
p
数学期望为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
20. 已知定点,,点P为 椭圆=1(a>b>0)上一个动点,求面积的最大值及此时点P的坐标.
参考答案:
解析:,,,
;
,,这时,.
21. 已知双曲线C:离心率是,过点,且右支上的弦过右焦点。.
(1)求双曲线C的方程;
(2)求弦的中点的轨迹E的方程;
(3)是否存在以为直径的圆过原点O?,若存在,求出直线的斜率k 的值.若不存在,则说明理由.
参考答案:
(1).
(2),()-------6分 注:没有扣1分
(3)假设存在,设,
由已知得:
--------- ①
所以--------②
联立①②得:无解
所以这样的圆不存在.-----------------------12分
略
22. 一束光线从点出发,经直线上一点反射后,恰好穿过点,
(1)求以、为焦点且过点的椭圆的方程;
(2)从椭圆上一点M向以短轴为直径的圆引两条切线,切点分别为A、B,直线AB与x轴、y轴分别交于点P、Q. 求的最小值.
参考答案:
解析:设点关于直线的对称点,
则,解得,∴
∵,根据椭圆的定义,得===,
∴,,.
∴椭圆的方程为.
(2)设,,,
则,切线AM、BM方程分别为,,
∵切线AM、BM都经过点,∴,.
∴直线AB方程为,
∴、,
,
当且仅当时,上式等号成立.
∴的最小值为.