2021-2022学年湖北省荆门市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________
一、单选题(20题)
1.
2.
A.e-1dx
B.-e-1dx
C.(1+e-1)dx
D.(1-e-1)dx
3. 函数等于( ).
A.0 B.1 C.2 D.不存在
4.
A.A.
B.
C.
D.
5. 下列函数在指定区间上满足罗尔中值定理条件的是
A.
B.f(x)=(x-4)2, x∈[-2,4]
C.
D.f(x)=|x|, x∈[-1,1]
6.
7.用待定系数法求微分方程y"-y=xex的一个特解时,特解的形式是(式中α、b是常数)。
A.(αx2+bx)ex
B.(αx2+b)ex
C.αx2ex
D.(αx+b)ex
8.
A.A.1
B.3
C.
D.0
9.
A.必定收敛 B.必定发散 C.收敛性与α有关 D.上述三个结论都不正确
10.
11.
( )
A.x2 B.2x2 C.x D.2x
12.
13.
14.图示悬臂梁,若已知截面B的挠度和转角分别为vB和θB,则C端挠度为( )。
A.vC=2uB
B.uC=θBα
C.vC=uB+θBα
D.vC=vB
15.
A.A.4π B.3π C.2π D.π
16.∫-11(3x2+sin5x)dx=( )。
A.-2 B.-1 C.1 D.2
17.
18.
19.
20.方程y"+3y'=x2的待定特解y*应取( ).
A.A.Ax B.Ax2+Bx+C C.Ax2 D.x(Ax2+Bx+C)
二、填空题(20题)
21.
22.
23.若f(ex)=1+e2x,且f(0)=1,则f(x)=________。
24.
25.
26.
27.设z=x3y2,则
28.设区域D由曲线y=x2,y=x围成,则二重积分
29.
30.广义积分.
31.
32.
33.微分方程y'+9y=0的通解为______.
34.
35. 函数f(x)=2x2-x+1,在区间[-1,2]上满足拉格朗日中值定理的ξ=_________。
36.y=ln(1+x2)的单调增加区间为______.
37.
38.
39.已知∫01f(x)dx=π,则∫01dx∫01f(x)f(y)dy=________。
40.
三、计算题(20题)
41.
42.
43.
44. 求曲线在点(1,3)处的切线方程.
45.
46.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.
47.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?
48. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.
49.证明:
50.
51. 求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.
52. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.
53. 求微分方程的通解.
54.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.
55.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.
56.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
57.
58.
59.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为
S(x).
(1)写出S(x)的表达式;
(2)求S(x)的最大值.
60.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量,则
四、解答题(10题)
61.
62.求,其中区域D是由曲线y=1+x2与y=0,x=0,x=1所围成.
63.计算其中D是由y=x,x=0,y=1围成的平面区域.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.求函数f(x,y)=e2x(x+y2+2y)的极值.
五、高等数学(0题)
71.
求y(2)。
六、解答题(0题)
72.
参考答案
1.B
2.D
本题考查了函数的微分的知识点。
3.C解析:
4.D
本题考查的知识点为二阶常系数线性非齐次微分方程特解y*的取法:
5.C
6.B
7.A
y"-y=0的特征方程是r2-1=0,特征根为r1=1,r2=-1
y"-y=xex中自由项f(x)=xex,α=1是特征单根,应设y*=x(ax+b)ex=(αx2+bx)ex。
所以选A。
8.B
本题考查的知识点为重要极限公式.
可知应选B.
9.D 本题考查的知识点为正项级数的比较判别法.
10.A解析:
11.A
12.B
13.A
14.C
15.A
16.D
17.C解析:
18.A
19.B
20.D
本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程特解y*的取法.
由于相应齐次方程为y"+3y'0,
其特征方程为r2+3r=0,
特征根为r1=0,r2=-3,
自由项f(x)=x2,相应于Pn(x)eαx中α=0为单特征根,因此应设
故应选D.
21.±1.
本题考查的知识点为判定函数的间断点.
22.1/(1-x)2
23.
因为f"(ex)=1+e2x,则等式两边对ex积分有
24.本题考查的知识点为定积分的基本公式。
25.2
本题考查的知识点为二重积分的几何意义.
由二重积分的几何意义可知,所给二重积分的值等于长为1,宽为2的矩形的面积值,故为2.或由二重积分计算可知
26.ln2
27.12dx+4dy ;本题考查的知识点为求函数在一点处的全微分.
由于z=x3y2可知,均为连续函数,因此
28.本题考查的知识点为计算二重积分.
积分区域D可以表示为:0≤x≤1,x2≤y≤x,因此
29.
本题考查的知识点为不定积分的换元积分法.
30.1
本题考查的知识点为广义积分,应依广义积分定义求解.
31.
本题考查的知识点为二元函数的偏导数.
32.(e-1)2
33.y=Ce-9x
本题考查的知识点为求解可分离变量微分方程.
分离变量
两端分别积分
lny=-9x+C1,y=Ce-9x.
34.2.
本题考查的知识点为二阶导数的运算.
35.1/2
36.(0,+∞)
本题考查的知识点为利用导数符号判定函数的单调性.
由于y=ln(1+x2),其定义域为(-∞,+∞).
又由于,令y'=0得唯一驻点x=0.
当x>0时,总有y'>0,从而y单调增加.
可知y=ln(1+x2)的单调增加区间为(0,+∞).
37.2
38.2/3
39.π2因为∫01f(x)dx=π,所以 ∫01dx∫01(x)f(y)dy=∫01f(x)dx∫01f(y)dy =(∫01f(x)dx)2=π2。
40.
41.
42.
43.
44.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点
(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为
45.
46.由二重积分物理意义知
47.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%
48.
49.
50. 由一阶线性微分方程通解公式有
51.
52. 函数的定义域为
注意
53.
54.
55.
列表:
说明
56.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,
57.
则
58.
59.
60.由等价无穷小量的定义可知
61.
62.积分区域D如图1-4所示。
D可以表示为 0≤x≤1,0≤y≤1+x2
本题考查的知识点为计算二重积分,选择积分次序。
如果将二重积分化为先对x后对y的积分,将变得复杂,因此考生应该学会选择合适的积分次序。
63.
本题考查的知识点为二重积分运算和选择二次积分次序.
由于不能用初等函数形式表示,因此不能先对y积分,只能选取先对x积分后对y积分的次序.
通常都不能由初等函数形式表示,即不可积分,考生应该记住这两个常见的形式.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.