2022年河南省南阳市唐河县实验中学高三数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,i是虚数单位,则在复平面内复数对应的点在( )
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
参考答案:
A
2. 函数在区间上的图象大致为
参考答案:
D
3. 折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段,已知在折叠“爱心”活动中,会产生如右上图所示的几何图形,其中四边形为正方形,为线段的中点,四边形与四边形也为正方形,连接、,则向多边形中投掷一点,则该点落在阴影部分的概率为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
设,则,,故多边形的面积,
∵,∴,
故所求概率为.故应选C.
4. 已知集合,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. 已知等比数列{an}的首项,前n项和为Sn,若,则数列的最大项等于( )
A.-11 B. C. D.15
参考答案:
D
由已知得,,
所以,由函数的图像得到,当时,数列的最大项等于15.
故选:D
6. 某程序框图如图所示,若输出的S =57,则判断框内为
A.k>4? B.k>5?
C.k>6? D.k>7?
参考答案:
7. 给出下列图象
其中可能为函数的图象是
A.①③ B.①② C.③④ D.②④
参考答案:
A
8. 设复数,若为纯虚数,则实数( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. 已知双曲线左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若双曲线右支上存在点P使得,则该双曲线离心率的取值范围为
A.(0,) B.(,1) C.(1,) D.(,)
参考答案:
C
略
10. 己知x0=﹣是函数f(x)=sin(2x+φ)的一个极小值点,则f(x)的一个单调递减区间是( )
A.(,) B.(,) C.(,π) D.(,π)
参考答案:
A
【考点】正弦函数的图象.
【分析】由极值点可求得φ的值,再求2kπ+<2x﹣<2kπ+中x的取值范围,可得函数f(x)的单调递减区间,结合选项求出答案.
【解答】解:x0=﹣是函数f(x)=sin(2x+φ)的一个极小值点,
∴sin[2×(﹣)+φ]=﹣1,
∴﹣+φ=2kπ﹣,
解得φ=2kπ﹣,k∈Z,
不妨取φ=﹣,
此时f(x)=sin(2x﹣),
令2kπ+<2x﹣<2kπ+,
可得kπ+<x<kπ+,
∴函数f(x)的单调递减区间为(kπ+,kπ+)k∈Z,
结合选项可知当k=0时,函数的一个单调递减区间为(,).
故选:A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知全集,集合,,则A∪B中所有元素的和是 .
参考答案:
2006或2007或-2
【分析】
首先化简集合,然后分:①A中有两个相等的实数根,②,③A中有两个不相等的实数根,三种情况进行讨论即可求得结果.
【详解】由题意可知,
(1)若A中有两个相等的实数根,则,此时,所有元素之和为2007;
(2)若,则,由韦达定理可知,所有元素之和为-2;
(3)若A中有两个不相等的实数根,且,则由韦达定理可知,所有元素之和为2008+(-2)=2006.
故答案为:2006或2007或-2.
【点睛】本题考查元素与集合关系的判断,解题时要认真审题,仔细解答,注意分类讨论思想的灵活运用.
12. 对任意两个实数,定义若,则的最小值为 .
参考答案:
-1
略
13. 甲、乙两人将参加某项测试,他们能达标的概率都是0.8,设随机变量为两人中能达标的人数,则的数学期望为 .
参考答案:
1.6
14. 已知中,角A,B,C所对的边分别为,若,则角C=__________.
参考答案:
15. 已知,则 .
参考答案:
-4
函数的导数为,所以,解得,所以,所以,所以。
16. 已知圆C的圆心为(0,1),直线与圆C相交于A,B两点,且,则圆C的半径为 .
参考答案:
圆心到直线的距离。∴。∴所求圆的半径为.
17. 甲、乙两种水稻试验品种连续4年的单位面积平均产量如下:
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
甲
9.8
9.9
10.2
10.1
乙
9.7
10
10
10.3
其中产量比较稳定的水稻品种是 .
参考答案:
甲
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)已知圆C的圆心C(m, 0), m<3,半径为,圆C与椭圆E: 有一个公共点A(3,1),F1,F2 分别是椭圆的左、右焦点.
(Ⅰ)求圆C的标准方程;
(Ⅱ)若点P的坐标为(4, 4),试探求斜率为k的直线PF1与圆C能否相切,若能,求出椭圆E和直线PF1的方程,若不能,请说明理由.
参考答案:
(1)由已知可设圆C的方程为(x-m)2+y2=5(m<3),
将点A的坐标代入圆C的方程,得(3-m)2+1=5,
即(3-m)2=4,解得m=1或m=5,
∵m<3,∴m=1.
∴圆C的方程为(x-1)2+y2=5.(4分)
(2)直线PF1能与圆C相切.
依题意设直线PF1的方程为y=k(x-4)+4,即kx-y-4k+4=0,
∴c=4,F1(-4,0),F2(4,0),
∴由椭圆的定义得:2a=|AF1|+|AF2|=+=5+=6,
∴a=3,即a2=18,∴b2=a2-c2=2,
直线PF1能与圆C相切,直线PF1的方程为x-2y+4=0,椭圆E的方程为.(12分)
19. [选修4-4:坐标系与参数方程](共1小题,满分10分)
(10分)已知在平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程是(θ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ.
(Ⅰ) 求曲线C1与C2交点的平面直角坐标;
(Ⅱ) 点A,B分别在曲线C1,C2上,当|AB|最大时,求△OAB的面积(O为坐标原点).
参考答案:
【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.
【分析】(Ⅰ)由消去θ化为普通方程,由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,得x2+y2=2y,联立求出交点的直角坐标,化为极坐标得答案;
(Ⅱ) 由平面几何知识可知,A,C1,C2,B依次排列且共线时|AB|最大,求出|AB|及O到AB的距离代入三角形的面积公式得答案.
【解答】解:(Ⅰ)由得
则曲线C1的普通方程为(x+1)2+y2=1.
又由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,得x2+y2=2y.
把两式作差得,y=﹣x,代入x2+y2=2y,
可得交点坐标为为(0,0),(﹣1,1).
(Ⅱ) 由平面几何知识可知,
当A,C1,C2,B依次排列且共线时,|AB|最大,此时,
直线AB的方程为x﹣y+1=0,则O到AB的距离为,
所以△OAB的面积为.(10分)
【点评】本题考查了参数方程化普通方程,极坐标与直角坐标的互化,考查学生的计算能力,是中档题.
20. 已知△ABC的面积为,.
(1)求AC的长;
(2)设,若,求sinA.
参考答案:
【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦定理.
【分析】(1)由三角形面积公式可以得到sinB=,由余弦定理即可得到AC的长.
(2)由三角恒等变换及等式得到B=.由正弦定理得到sinA=.
【解答】解:(1)∵△ABC的面积为=AB?BC?sinB,.
∴sinB=,
∵0<B<π,∴B=或
由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AC?BC?cosB,
即AC2=1或5,
∴当B=时AC=1;
当B=时AC=.
(Ⅱ)化简得f(x)=cos2x+2sinxcosx﹣sin2x=cos2x+sin2x=2sin(+2x).
由f(B)=﹣,得sin(+2B)=﹣.
由(Ⅰ)知B=或,代入上式验证可得B=.
由,得,
解得sinA=.
21. 已知数列{an}中,an>0,a1=2,a4=16,且有an2=an﹣1an+1
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=log2an,cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
参考答案:
【考点】数列的求和.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】(1)利用已知条件判断数列是等比数列,求出公比,然后求数列{an}的通项公式;
(2)利用bn=log2an,求出通项公式,化简cn=,利用裂项法求数列{cn}的前n项和Tn.
【解答】(本小题12分)
解:(1)由得数列{an}为等比数列,则
∵a1=2,a4=16∴16=2q3得q=2…
故数列{an}的通项公式为…
(2)由,得…
则…
【点评】本题考查数列的求和裂项法的应用,等比数列的判断对数的运算性质,考查计算能力.
22. (本小题满分12分)设函数
(1) 求的最小正周期及其图像的对称轴方程;
(2) 将函数的图像向右平移个单位长度,得到函数的图像,求在区间的值域.
参考答案:
(1) ……….6分