安徽省合肥市肥东撮镇第二中学(高中部)高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设变量满足约束条件,且目标函数的最小值为-7,则 的值为
A.-2 B.-4 C.-1 D.1
参考答案:
A
2. 已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
3. 在等差数列中,,,则椭圆:的离心率为
(A); (B); (C); (D).
参考答案:
D
略
4. 已知,,则A∩B=( )
A. B. 或
C. D.
参考答案:
A
【分析】
求出B中不等式解集确定出B,求出A与B的交集即可.
【详解】,由B中不等式变形得: ,
解得: ,即 ,
∴A∩B=,
故选:A.
【点睛】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
5. 设函数,若有且仅有三个解,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
A
6. 复数(i是虚数单位)的共轭复数是
A. B. C. D.
参考答案:
C
,则
7. 如图所示的程序框图输出的结果为30,则判断框内的条件是( )
A.? B. C. D.
参考答案:
B
当S=0,n=1时,不满足退出循环的条件,执行循环体后,S=2,n=2;
当S=2,n=2时,不满足退出循环的条件,执行循环体后,S=6,n=3;
当S=6,n=3时,不满足退出循环的条件,执行循环体后,S=14,n=4;
当S=14,n=4时,不满足退出循环的条件,执行循环体后,S=30,n=5;
当S=30,n=5时,满足退出循环的条件,
故判断框内的条件是n<5?,
故选:B.
8. 已知关于的不等式的解集为,则的最小值为( )
A. B. 2 C. D.4
参考答案:
D
等号.故选D.
考点:二次函数的性质,基本不等式.
【名师点睛】二次函数、二次不等式、二次方程之间有着密切关系.
(1)一元二次不等式解集的端点就是对应的一元二次方程的解.
(2)不等式的解集结构与二次项系数有直接的关系.
(3)二次函数的图象能直观反映一元二次不等式解集的情况.
记住三个“二次”之间的关系,在解题时可以做事半功倍,如本题不等式的解集为,说明二次函数图象是开口向上的抛物线,在与最多相切,也就是二次方程无解或有两个相等实根.
9. 已知=(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ),则( )
A. ⊥ B. ∥ C. (+)⊥(-) D. 、的夹角为α+β
参考答案:
C
10. 在等差数列中,若,公差,那么等于( )
A.4 B.5 C.9 D.18
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若,则常数 .
参考答案:
1
12. 已知,为抛物线的焦点,是抛物线上一个动点,,则的最小值为______________.
参考答案:
3
13. 关于函数,有下列命题:
①其图象关于轴对称;
②当时,是增函数;当时,是减函数;
③的最小值是;
④在区间上是增函数;
⑤无最大值,也无最小值.
其中所有正确结论的序号是 .
参考答案:
①,③,④
14. 如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”,那么从长方体八个顶点中任取四个顶点,则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为 .
参考答案:
15. 已知,,则的最小值为
参考答案:
16. 已知函数在处有极值为10,则的值等于
参考答案:
18
17. 已知等比数列,,,则_____________.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某公司一年需要一种计算机元件8000个,每天需同样多的元件用于组装整机,该元件每年分n次进货,每次购买元件的数量均为x,购一次货需手续费500元.已购进而未使用的元件要付库存费,假设平均库存量为件,每个元件的库存费为每年2元,如果不计其他费用,请你帮公司计算,每年进货几次花费最小?
参考答案:
解:设购进8000个元件的总费用为S,一年总库存费用为E,手续费为H.
则,,
所以
当且仅当,即n=4时总费用最少,故以每年进货4次为宜
19. (本小题满分13分)
在中,内角分别对应的边是,已知,.
(Ⅰ)若的面积等于,求;
(Ⅱ)若,求的面积.
参考答案:
解:(Ⅰ)由余弦定理及已知条件得,,
又因为的面积等于,所以,得. 2分
联立方程组解得,. 6分
所以的面积. 13分
20. 定义在上的函数同时满足以下条件:
①在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;
②是偶函数;
③在x=0处的切线与直线y=x+2垂直.
(1)求函数=的解析式;
(2)设g(x)=,若存在实数x∈[1,e],使<,求实数m的取值范围。
参考答案:
解: (1)f′(x)=3ax2+2bx+c,∵f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,
∴f′(1)=3a+2b+c=0①……………………………………………1分
由f′(x)是偶函数得:b=0②……………………………………………2分
又f(x)在x=0处的切线与直线y=x+2垂直,f′(0)=c=-1③…………3分
由①②③得:a=,b=0,c=-1,即f(x)=x3-x+3. ……………4分
(2)由已知得:存在实数x∈[1,e],使lnx-xlnx-x3+x …………………………6分
设M(x)=xlnx-x3+x x∈[1,e],则M′(x)=lnx-3x2+2……………7分
设H(x)=lnx-3x2+2,则H′(x)=-6x= ……………8分
∵x∈[1,e],∴H′(x)<0,即H(x)在[1,e]上递减
于是,H(x)≤H(1),即H(x)≤-1<0,即M′(x)<0 ……………10分
∴M(x)在[1,e]上递减,∴M(x)≥M(e)=2e-e3……………12分
于是有m>2e-e3为所求.
略
21. (本小题满分6分)
已知直线,直线和直线.
(Ⅰ)求直线和直线交点的坐标;
(Ⅱ)求以点为圆心,且与直线相切的圆的标准方程.
参考答案:
解:(Ⅰ)由得
所以直线和直线交点的坐标为. ……………2分
(Ⅱ)因为圆与直线相切,
所以圆的半径, ……………4分
所以圆的标准方程为. ……………6分
略
22. 已知曲线C上任意一点P到两定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离之和为4.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)设曲线C与x轴负半轴交点为A,过点M(-4,0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点(B在M、C之间),N为BC中点.
(ⅰ)证明:k·kON为定值;
(ⅱ)是否存在实数k,使得F1N⊥AC?如果存在,求直线l的方程,如果不存在,请说明理由.
参考答案:
解:(Ⅰ) .
(Ⅱ)设过点M的直线l的方程为y=k(x+4),设B(x1, y1),C(x2, y2) (x2>y2).
(ⅰ)联立方程组,得,
则,故,,
所以,所以k?kON=为定值.
(ⅱ)若F1N⊥AC,则kAC?kFN= -1,
因为F1 (-1,0),故,
代入y2=k(x2+4)得x2=-2-8k2,y2=2k -8k3,而x2≥-2,故只能k=0,显然不成立,所以这样的
直线不存在.…………………………………………………………………… 15分
略