山东省淄博市光被中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设命题p：函数y= cos2ｘ的最小正周期为；命题q：函数f（ｘ）＝sin（ｘ一）的图象的一条对称轴是，则下列判断正确的是                       （    ）   A．p为真              B．ｑ为假         C．p∧q为真        D．p∨ q为假 参考答案： B 2. 椭圆C的两个焦点分别为和，若该椭圆C与直线有公共点，则其离心率的最大值为（     ） A.         B.       C.        D. 参考答案： C 3. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（3，1）、B（—1，3）若点C满足，其中、，且，则点C的轨迹方程为     A．          B．     C．                D． 参考答案： D 略 4. 一只蚂蚁从正方体的顶点处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是(   ) A． ①②     B．①③      C．  ②④        D．③④ 参考答案： C 5. 如图是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是（    ） A．        B．      C.        D． 参考答案： A 由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体 则   6. 已知的充分不必要条件，则实数的取值范围 A. B. C. D. 参考答案： C 7. 已知，命题，则(  ) A．是假命题;     B．是假命题; C．是真命题; D.是真命题;   参考答案： D 【知识点】命题的真假的判断；命题的否定 解析：恒成立,则在上单调递减,,则恒成立,所以是真命题,,故选D. 【思路点拨】先对原函数求导，再利用单调性判断可知是真命题,然后再写出其否定命题即可。   8. 对于函数f(x)=x3cos3(x+)，下列说法正确的是   （    ）     A．f(x)是奇函数且在（）上递减 B． f(x)是奇函数且在（）上递增 C． f(x)是偶函数且在（）上递减   D．f(x)是偶函数且在（）上递增 参考答案： C 9. “?x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】由于“?x＞0，使a+x＜b”与“a＜b”成立等价，即可判断出关系． 【解答】解：“?x＞0，使a+x＜b”?“a＜b”， ∴“?x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的充要条件． 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（     ）   A. 向右平移     B. 向右平移    C. 向左平移     D.向左平移 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，且，则的值为___________． 参考答案： 略 12. 设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则__________。 参考答案： 答案：0 13. 函数的最小正周期         . 参考答案： ,所以，即函数的最小周期为。 14. 已知函数f（x）= ,g（x）=3lnx,其中a>0。若两曲线y=f（x）,y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同。则a的值为          。 参考答案： 15. 若x、y满足条件，则z=x+3y的最大值是        . 参考答案： 略 16. 在数列中，，且，则这个数列的前30项的绝对值之和为       __________ .  参考答案： 答案：765 17. 已知锐角满足，则的最大值为           。 参考答案： 因为，所以，即，因为，所以。所以，当且仅当，即，时，取等号，所以的最大值是。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程是，圆C的极坐标方程为． （I）求圆心C的直角坐标； （II）由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值． 参考答案： 解：（I）， ，                           ………（2分） ，          …………（3分） 即，．…………（5分） （II）：直线上的点向圆C 引切线长是 ，                                                    …………（8分） ∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是           …………（10分） ∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是  …………（10分） 19. 如图，平面平面， 四边形为矩形，．为的中点， ． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若与平面所成的角为， 求二面角的余弦值．   参考答案： （Ⅰ）证明：连结，因，是的中点， 故．                                                        又因平面平面， 故平面，         …………2分 于是．                                                 又， 所以平面，                                             所以， …………4分 又因， 故平面， 所以． …………6分 （Ⅱ）解法一：由（I），得．不妨设，．       …………7分 因为直线与平面所成的角， 故， 所以，为等边三角形．                     …………9分 设，则，分别为，的中点，也是等边三角形． 取的中点，连结，，则，， 所以为二面角的平面角．                  …………12分 在中，，，                   …………13分 故， 即二面角的余弦值为．                         …………14分   解法二：取的中点，以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．不妨设，，则，，，，                                              …………8分 从而，.                                  设平面的法向量为， 由，得， 可取．         …………10分 同理，可取平面的一个法向量为   ．               ………12分 于是，  ……13分 易见二面角的平面角与互补， 所以二面角的余弦值为．                     …………14分   略 20. 如图，直线经过⊙上的点，并且 ⊙交直线于，，连接． （I）求证：直线是⊙的切线； （II）若⊙的半径为，求的长． 参考答案： 略 21. （本小题满分12分） 已知函数，且其导函数的图像过原点. (1)当时，求函数的图像在处的切线方程; (2)若存在，使得，求的最大值； (3)当时，求函数的零点个数。 参考答案： 解: , 由得  ,.                (1) 当时, ,，, 所以函数的图像在处的切线方程为,即- (2) 存在,使得,   ，， 当且仅当时，所以的最大值为.     f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增  (3) 当时，的变化情况如下表：         的极大值， 的极小值 又，. 所以函数在区间内各有一个零点， 故函数共有三个零点。 22. （本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且.（1） 求的方程； （2）平面上的点满足，直线，且与交于两点，若，求直线的方程. 参考答案： 解：（I）由 知   设，，解得，   在上，且椭圆的半焦距，于是， 消去并整理得，   解得（不合题意，舍去）。   故椭圆的方程为.                                         -------- 6分 （II）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，      因为，所以与的斜率相同，故的斜率。 设。由 设，所以  因为，所以， 解得  ， 故所求直线的方程为或.    ------------- 14分