山东省菏泽市牡丹区第二十二中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知实数满足约束条件，则的最小值为 （  ） A. B. C. D. 参考答案： C 2. 给定函数①，②，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数的序号是 （    ）        A．①②                     B．②③               C．③④                      D．①④ 参考答案： B 略 3. 若，且．则下列结论正确的是 A．     B． C．   D． 参考答案： D 4. 为了得到函数的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（　　） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 参考答案： C 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】利用二倍角的正弦公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 【解答】解：函数=sin（2x+）=sin2（x+）， 故把函数y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度， 可得函数的图象， 故选：C． 5. 已知：有极大值和极小值，则的取值范围为        A、或                                   B、               C、                                         D、或   参考答案： D 6. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（　　） ．       ．           ．    ． 参考答案： D 圆的标准方程为，圆心为,因为点弦的中点，所以,AP的斜率为，所以直线的斜率为2，所以弦所在直线方程为，即，选D. 7. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝(　　)．    参考答案： A 8. 参考答案： A 略 9. 函数，若矩形ABCD的顶点A、D在轴上，B、C在函数 的图象上，且，则点D的坐标为 A．(－2,0)      B．      C．(－1,0)      D． 参考答案： B 10. 已知复数z满足iz=|3+4i|﹣i，则z的虚部是（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．﹣5i D．﹣i 参考答案： A 【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念． 【分析】利用了复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出． 【解答】解：复数z满足iz=|3+4i|﹣i， ∴﹣i?iz=﹣i（5﹣i）， ∴z=﹣1﹣5i， 则z的虚部是﹣5． 故选：A． 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知数列中，，，，若对任意的正整数，存在，使不等式成立，则实数的取值范围为          ． 参考答案： 12. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为　　m3． 参考答案： 4 考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 立体几何． 分析： 由题意可知，一个简单的组合体，上面是一个底面是边长为1的正方形，高是2的四棱柱，下面是一个长为2，高为1，宽为1的长方体，根据所给的长度，求出几何体的体积． 解答： 解：由三视图可知， 这是一个简单的组合体， 上面是一个底面是边长为1的正方形，高是2的四棱柱，体积是1×1×2 下面是一个长为2，高为1，宽为1的长方体，体积是1×1×2 ∴几何体的体积是1×1×2+2×1×1=4m3， 故答案为：4 点评： 本题考查由三视图还原直观图，根据图形中所给的数据，求出要求的体积，本题是一个考查简单几何体体积的简单题目． 13. 教育装备中心新到7台同型号的电脑，共有5所学校提出申请，鉴于甲、乙两校原来电脑较少，决定给这两校每家至少2台，其余学校协商确定，允许有的学校1台都没有，则不同的分配方案有          种（用数字作答）． 参考答案： 35 14. 已知函数，则        ． 参考答案： 略 15. 若，则tan2＝＿＿＿ 参考答案：   16. 已知函数的图象由的图象向右 平移个单位得到，这两个函数的部分图象 如图所示，则______________． 参考答案： 略 17. 在△ABC中，若sinA=2sinBcosC则△ABC的形状为________。 参考答案： 等腰三角形 在三角形中，即，所以，所以，即三角形为等腰三角形。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）经过点（0，），E的离心率e= （Ⅰ）求E的标准方程； （Ⅱ）F1（﹣c，0）、F2（c，0）分别是椭圆E的左、右焦点，直线AB过F1交E于点A、B，直线CD过F2交E于点C、D， =，求四边形ABCD面积S取得的最大值时直线AB的方程． 参考答案： 【考点】KL：直线与椭圆的位置关系． 【分析】（Ⅰ）根据题意，将（0，）代入椭圆方程可得b的值，进而由离心率公式可得=，解可得a的值，将a、b的值代入椭圆方程即可得答案； （Ⅱ）根据题意，先设A、B的坐标以及直线AB的方程，联立直线与椭圆的方程可得（3+k2）y2﹣4ky﹣2=0，由根与系数的关系分析可以将|AB|、d用k表示出来，则可得S=d?|AB|=，由基本不等式分析可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆E： +=1（a＞b＞0）经过点（0，）， 即有+=1， ∴b2=2． ∵e=，∴ =，即=． 解得，a2=6． 所以，E的标准方程是+=1． （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（Ⅰ）知c=2，设直线AB的方程为x=ky﹣2． 由方程组得，（3+k2）y2﹣4ky﹣2=0． ∴y1+y2=，y1y2=﹣； ∴|AB|=?=． 直线AB方程可变形为x﹣ky+2=0，∴点F2（2，0）到直线AB的距离d=， ∴S=d?|AB|=，即S=． 由题意，当且仅当=，即k2=1时，S最大， 所以直线AB的方程为x+y+2=0或x﹣y+2=0． 【点评】本题考查椭圆与直线的位置关系，涉及椭圆的几何性质；关键是正确求出椭圆的标准方程． 19. （本小题满分13分） 已知函数. （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明. 参考答案： （Ⅰ）（Ⅱ）见解析. 试题分析：（Ⅰ），对a进行分类讨论：当时，，则函数的单调递减区间是.当时，令，得. 的单调递减区间是，单调递增区间是；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当时，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时， 必须，即，所以 试题解析：（Ⅰ）.                           ………………2分 （ⅰ）当时，，则函数的单调递减区间是.                                                              ………………3分 （ⅱ）当时，令，得. 当变化时，,的变化情况如下表 ↘ 极小值 ↗ 所以 的单调递减区间是，单调递增区间是. ………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知： 当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.                                            ………………6分 当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使，必须，即. 所以 .                                              ………………7分 当时，. 令，则. 当时，，所以，在上是增函数. 所以 当时，. 所以 .                                         ………………9分 因为 ，，， 所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.                                                   ………………11分 因为 在内是减函数，在内是增函数， 所以 . 综上所述，的取值范围是.                         ………………12分 因为 ，， 所以 .                                      ………………13分 考点：导数与函数的综合 20. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=，且直线l经过点F（﹣，0） （ I ）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值． 参考答案： 【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程． 【分析】（ I ）利用ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，将曲线C转化成直角坐标方程；则直线l的普通方程x﹣y=m，将F代入直线方程，即可求得m，求得直线l的普通方程； （Ⅱ）由（ I ）可知：设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点（2cosθ， sinθ），则L=2（4cosθ+2sinθ）=4sin（θ+φ），根据正弦函数的性质，即可求得L的最大值． 【解答】解：（ I ）由曲线C的极坐标方程：ρ2=，即ρ2+ρ2sin2θ=4， 将ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，代入上式，化简整理得：； 直线l的普通方程为x﹣y=m，将F代入直线方程，则m=， ∴直线l的普通方程为x﹣y+=0； （Ⅱ）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点（2cosθ， sinθ），（0＜θ＜）， ∴椭圆C的内接矩形的周长L=2（4cosθ+2sinθ）=4sin（θ+φ），tanφ=， ∴曲线C的内接矩形的周长为L的最值为4． 21. (09 年石景山区统一测试理)(13分) 已知为锐角，向量，，且．    （Ⅰ）求角的大小；    （Ⅱ）求函数的值域． 参考答案： 解析：（Ⅰ）由题意得：，          …………2分 　　∴　，即 ．                 ………………4分 　　∵　为锐角， 　　∴　, 即 ．                              ………………6分 　（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 　　∴  ． 　　　　　　　                                               ………………9分 因为，所以， 因此，当时，有最大值；       当时，有最小值． 所以函数的值域是.                           ………………13分 22. 某校甲、乙两个班级各有5名编号分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表： 学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 5 7 9 8 乙班 4 8 9 7 7 （1）从统计数据看，甲、乙两个班哪个班的同学投篮水平更稳定（用数据说明）？ （2）在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的概率． 参考答案： 考点：极