重庆人民路中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设函数在上可导,其导函数,且函数在处取得极小值,则函数的图象可能是 ( )
参考答案:
C
2. 记不等式 所表示的平面区域为D,若对任意(x0,y0)∈D,不等式x0﹣2y0+c≤0恒成立,则c的取值范围是( )
A.(﹣∞,4] B.(﹣∞,2] C.[﹣1,4] D.(﹣∞,﹣1]
参考答案:
D
【考点】简单线性规划.
【分析】首先画出平面区域,由对任意(x0,y0)∈D,不等式x0﹣2y0+c≤0恒成立,即求﹣x+2y的最小值,利用其几何意义求得即可.
【解答】解:由已知得到可行域如图:由图可知,对任意(x0,y0)∈D,不等式x0﹣2y0+c≤0恒成立,即c≤﹣x+2y恒成立,即c≤(﹣x+2y)min,当直线z=﹣x+2y经过图中A(1,0)时z最小为﹣1,所以c≤﹣1;
故选D.
3. 已知某几何体的三视图如图,其中正(主)视图中半圆的半径为1,则该几何体的体积为
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
4. 已知函数,(),若对,,使得,则实数,的取值范围是( )
(A), (B),
(C), (D),
参考答案:
D
略
5. 集合U=R,A={x|x2﹣x﹣2<0},B={x|y=ln(1﹣x)},则图中阴影部分表示的集合是( )
A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2} C.{x|0<x≤1} D.{x|x≤1}
参考答案:
B
【考点】Venn图表达集合的关系及运算.
【专题】数形结合;综合法;集合.
【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断.
【解答】解:由Venn图可知,阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素构成,所以用集合表示为A∩(?UB).
A={x|x2﹣x﹣2<0}={x|﹣1<x<2},B={x|y=ln(1﹣x)}={x|1﹣x>0}={x|x<1},
则?UB={x|x≥1},
则A∩(?UB)={x|1≤x<2}.
故选:B.
【点评】本题主要考查Venn图表达 集合的关系和运算,比较基础.
6. 设,是虚数单位,则“”是“复数为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
C
略
7. 设是虚数单位,复数,则等于( )
A. B. C.-1 D.1
参考答案:
A
8. 执行如图所示的程序框图,输出的结果是
(A)11 (B)12 (C)13 (D)14
参考答案:
9. 已知的图象如右图,则函数的图象可能为
参考答案:
B
由函数图象知,所以选B.
10. 在如图所示的框图中,若输出S=2,那么判断框中应填入的关于k的判断条件是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
运行程序,当时,退出循环,输出的值,由此判断出所填写的条件.
【详解】运行程序,,判断否,,判断否,,判断否,,判断否,,判断否,,判断是,输出.故选B.
【点睛】本小题主要考查根据循环结构输出结果来填写条件,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在△中,,为线段上一点,若,则△的周长的取值范围是 .
参考答案:
12. 已知的三边长为,内切圆半径为
(用),则;类比这一结论有:若三棱锥的内切球半径为,则三棱锥体积 .
参考答案:
13. 如图,已知是圆的切线,切点为,交圆于两点,
,,则线段的长为 .
参考答案:
1
14. 在等差数列中,,,若此数列的前10项和,前18项和,则数列的前18项和___________.
参考答案:
15. 我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”如果此物数量在100至200之间,那么这个数 .
参考答案:
128
16. 在等比数列中,已知,则_______.
参考答案:
17. 在区间[﹣π,π]内随即取一个数记为x,则使得sinx≥的概率为 .
参考答案:
考点: 几何概型.
专题: 概率与统计.
分析: 由于在区间[﹣π,π]内随机取一个数,故基本事件是无限的,而且是等可能的,属于几何概型,求出满足sinx≥的区间长度,即可求得概率.
解答: 解:本题考查几何概型,其测度为长度
∵sinx≥,x∈[﹣π,π],
∴x∈[]
∴在区间[﹣π,π]上随机取一个数x,满足sinx≥的概率P=;
故答案为:.
点评: 本题考查了几何概型的运用;关键是找到sinx≥,x∈[﹣π,π],的x的范围,利用区间长度的比,得到所求概率.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知圆C:(x+1)2+y2=8,过D(1,0)且与圆C相切的动圆圆心为P,
(1)求点P的轨迹E的方程;
(2)设过点C的直线l1交曲线E于Q,S两点,过点D的直线l2交曲线E于R,T两点,且l1⊥l2,垂足为W.(Q,S,R,T为不同的四个点)
①设W(x°,y°),证明:;
②求四边形QRST的面积的最小值.
参考答案:
(1)解:设动圆半径为r,
则,
由椭圆定义可知,点P的轨迹E是椭圆,
其方程为.
(2)①证明:由已知条件可知,垂足W在以CD为直径的圆周上,
则有,
又因Q,S,R,T为不同的四个点,
.
②解:若l1或l2的斜率不存在,四边形QRST的面积为2.
若两条直线的斜率存在,设l1的斜率为k1,
则l1的方程为y=k1(x+1),
联立,
得(2k2+1)x2+4k2x+2k2﹣2=0,
则,
同理得,
∴,
当且仅当2k2+1=k2+1,即k=±1时等号成立.
综上所述,当k=±1时,四边形QRST的面积取得最小值为.
略
19. (本小题满分14分)已知函数,()
(1)若函数存在极值点,求实数b的取值范围;
(2)求函数的单调区间;
(3)当且时,令,(),()为曲线y=上的两动点,O为坐标原点,能否使得是以O为直角顶点的直角三角形,且斜边中点在y轴上?请说明理由
参考答案:
(Ⅰ),若存在极值点,
则有两个不相等实数根。所以, ……………2分
解得 ……………3分
(Ⅱ) ……………4分
当时,,函数的单调递增区间为; ……………5分
当时,,函数的单调递减区间为,单调递增区间为。
……………7分
(Ⅲ) 当且时,假设使得是以O为直角顶点的直角三角形,且斜边中点在y轴上。则且。 ……………8分
不妨设。故,则。
,该方程有解 ……………………………9分
当时,,代入方程得
即,而此方程无实数解; …………………………10分
当时,则; …………11分
当时,,代入方程得
即, …………………………………12分
设,则在上恒成立。
∴在上单调递增,从而,则值域为。
∴当时,方程有解,即方程有解。 …………13分
综上所述,对任意给定的正实数,曲线上总存在两点,使得是以O为直角顶点的直角三角形,且斜边中点在y轴上。 ………………………………14分
20. 已知函数.
(1)解不等式;
(2)若恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案:
(1).(2)
【分析】
(1)将f(x)分段表示,分段求解不等式即可;
(2)令,表示过定点的一条直线,数形结合即得解a的范围.
【详解】(1)
当时原不等式可化为,解得,解集为
当时,原不等式可化为,解得,解集为
当时,原不等式可化为,解得,解集为
综上所述,原不等式得解集为
(2)令,表示过定点的一条直线,
分别作出,的图象如下:
由图象可知,
∴a的取值范围是
【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题,考查了学生综合分析,分类讨论,数形结合的能力,属于中档题.
21. 如图,在底面是正三角形的直三棱柱中,,D是BC的中点.
(1)求证:平面;
(2)求三棱锥的体积.
参考答案:
(1)连接交于点O由题意知O为的中点,D为BC中点,所以,因为平面, 平面,所以 平面 …………6分
(2)。 …………12分
22. 某中学从甲乙两个教师所教班级的学生中随机抽取100人,每人分别对两个教师进行评分,满分均为100分,整理评分数据,将分数以10为组距分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].得到甲教师的频率分布直方图,和乙教师的频数分布表:
乙教师分数频数分布表
分数区间
频数
[40,50)
3
[50,60)
3
[60,70)
15
[70,80)
19
[80,90)
35
[90,100]
25
(1)在抽样的100人中,求对甲教师的评分低于70分的人数;
(2)从对乙教师的评分在[40,60)范围内的人中随机选出2人,求2人评分均在[50,60)范围内的概率;
(3)如果该校以学生对老师评分的平均数是否大于80分作为衡量一个教师是否可评为该年度该校优秀教师的标准,则甲、乙两个教师中哪一个可评为年度该校优秀教师?(精确到0.1)
参考答案:
(1)32人;(2);(3)乙可评为年度该校优秀教师
【分析】
(1)根据频率分布直方图求出70分以上的频率,总频率之和为1可得70分以下的频率,由频率即可求解.
(2)根据频数分布表有3人,有3人,分别进行标记,利用列举法求出随机选出2人的基本事件个数,然后再求出评分均在范围内的基本事件个数,根据古典概型的概率计算公式即可求解.
(3)利用平均数=小矩形的面积×小矩形底边中点横坐标之和,求出甲的平均分,再利用平均数的公式求出乙的平均分即可得出结果.
【详解】(1)由频率分布直方图可知,70分以上的频率为,
70分以下的频率为,
所以对甲教师的评分低于70分的人数:.
(2)由频数分布表有3人,有3人,
记的3人为A、B、C,的3人为、、,
随机选出2人:,,,,,,
, ,,, ,,,
,,共种;
评分均在的抽取方法:, ,,共3种;
所以2人评分均在范围内的概率.
(3)由频率分布直方图可得的频率为:
甲教师的平均数为:
,
乙教师的平均数为:
,
由于乙教师的平均数大于80分,故乙可评为年度该校优秀教师.
【点睛】本题考查了频率分布直方图求平均数、频数分布表、古典概型的概率计算公式,考查了学生的数据分析处理能力,属于基础题.