2022-2023学年福建省宁德市福安第五中学高一数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,,则的值是( )
A . B . C. D.
参考答案:
A
由已知,,又,故,所以,选A
2. 已知定义在[0,+∞)上的函数满足,当时,.设在上的最大值为,且{an}的前n项和为Sn,则Sn的取值范围是( ).
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
由题得数列是首项为1、公比为的等比数列,再求的前项和为及其取值范围.
【详解】∵函数满足,
∴,即函数向右平移2个单位,最大值变为原来的,
又∵当时,,
∴,
∴数列是首项为1、公比为的等比数列,
∴.
故选:A
【点睛】本题主要考查函数的性质,考查等比数列的判定和求和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3. 下列给出函数f(x)与g(x)的各组中,是同一个关于x的函数的是( )
A.f(x)=x﹣1,g(x)= B.f(x)=2x﹣1,g(x)=2x+1
C.f(x)=x2,g(x)= D.f(x)=1,g(x)=x0
参考答案:
C
考点: 判断两个函数是否为同一函数.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 分别判断两个函数的定义域和对应法则是否完全相同即可.
解答: 解:A.函数g(x)的定义域为{x|x≠0},两个函数的定义域不相同,不是同一函数.
B.函数f(x)和g(x)的定义域为R,两个函数的定义域相同,但对应法则不相同,不是同一函数.
C.函数g(x)=x2,两个函数的定义域相同,对应法则相同,是同一函数.
D.函数g(x)的定义域为{x|x≠0},两个函数的定义域不相同,不是同一函数.
故选C.
点评: 本题主要考查判断两个函数是否为同一函数,判断的依据是判断两个函数的定义域和对应法则是否完全相同.
4. 已知,,且,则等于---------( )
A.1 B.-9 C.9 D.—1
参考答案:
D
略
5. 函数f(x)=ax﹣b的图象如图,其中a、b为常数,则下列结论正确的是( )
A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0
参考答案:
D
【考点】指数函数的图像变换.
【专题】计算题.
【分析】根据函数的图象,确定函数的单调性,求出a的范围,结合指数函数的图象,推出b的范围,确定选项.
【解答】解:由图象得函数是减函数,
∴0<a<1.
又分析得,图象是由y=ax的图象向左平移所得,
∴﹣b>0,即b<0.从而D正确.
故选D
【点评】本题是基础题,考查学生视图能力,指数函数的图象变换,掌握指数函数的性质,才能正确解题.
6. 函数的图像必经过点( )
A. (0,1) B. (2,1) C. (3,1) D.(3,2)
参考答案:
D
略
7. 设集合M={﹣1,0,1},N={x|x2≤x},则M∩N=( )
A.{0} B.{0,1} C.{﹣1,1} D.{﹣1,0,1}
参考答案:
B
【考点】交集及其运算.
【专题】计算题.
【分析】求出集合N,然后直接求解M∩N即可.
【解答】解:因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1},M={﹣1,0,1},
所以M∩N={0,1}.
故选B.
【点评】本题考查集合的基本运算,考查计算能力,送分题.
8. 已知函数f(x)=2x2+(4﹣m)x+4﹣m,g(x)=mx,若对于任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则实数m的取值范围是( )
A.[﹣4,4] B.(﹣4,4) C.(﹣∞,4) D.(﹣∞,﹣4)
参考答案:
C
【考点】一元二次不等式的应用.
【分析】对函数f(x)判断△=m2﹣16<0时一定成立,可排除D,再对特殊值m=4和﹣4进行讨论可得答案.
【解答】解:当△=m2﹣16<0时,即﹣4<m<4,显然成立,排除D
当m=4,f(0)=g(0)=0时,显然不成立,排除A;
当m=﹣4,f(x)=2(x+2)2,g(x)=﹣4x显然成立,排除B;
故选C.
【点评】本题主要考查对一元二次函数图象的理解.对于一元二次不等式,一定要注意其开口方向、对称轴和判别式.
9. 对任意实数规定取三个值中的最小值,则函数( )
A.有最大值2,最小值1 B.有最大值2,无最小值
C.有最大值1,无最小值 D.无最大值,无最小值
参考答案:
B
略
10. 已知是R上的增函数,那么实数的取值范围是( )
A. B. C.(0,1) D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的值域是_________________________.
参考答案:
12. 已知函数,则 ▲ .
参考答案:
13. 如果一个数列从第2项开始,每一项与它的前一项的和等于同一个常数,那么这个数列就叫做等和数列。已知等和数列的第一项为2,公和为7,求这个数列的通项公式an。
参考答案:
略
14. 在平面直角坐标系中,已知,,点C在第一象限内,,且,
若,则的值是__________.
参考答案:
15. 如图,圆锥中,为底面圆的两条直径,交于,且,,为的中点,则异面直线与所成角的正切值为________
参考答案:
16. 设是定义在上最小正周期为的函数,且在上_________.
,则的值为
参考答案:
略
17. 已知圆内有一点过点的直线交圆于 两点。若,则直线的方程为
参考答案:
或
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 当时,解关于的不等式。
参考答案:
解:因为,不等式可化为,下面对和1的大小讨论:
①当,即时,不等式化为,解集为空集;
②当,即时,不等式解集为;
③当,即时,不等式解集为。
19. 2015年春,某地干旱少雨,农作物受灾严重,为了使今后保证农田灌溉,当地政府决定建一横断面为等腰梯形的水渠(水渠的横断面如图所示),为减少水的流失量,必须减少水与渠壁的接触面,若水渠横断面的面积设计为定值S,渠深为h,则水渠壁的倾斜角α(0<α<)为多大时,水渠中水的流失量最小?
参考答案:
【考点】基本不等式在最值问题中的应用.
【分析】作BE⊥DC于E,令y=AD+DC+BC,由已知可得y=+(0<α<),令u=,求出u取最小值时α的大小,可得结论.
【解答】解:作BE⊥DC于E,
在Rt△BEC中,BC=,CE=hcotα,
又AB﹣CD=2CE=2hcotα,AB+CD=,
故CD=﹣hcotα.
设y=AD+DC+BC,
则y=﹣hcotα+=+(0<α<),
由于S与h是常量,欲使y最小,只需u=取最小值,
u可看作(0,2)与(﹣sinα,cosα)两点连线的斜率,
由于α∈(0,),
点(﹣sinα,cosα)在曲线x2+y2=1
(﹣1<x<0,0<y<1)上运动,
当过(0,2)的直线与曲线相切时,直线斜率最小,
此时切点为(﹣,),
则有sinα=,且cosα=,
那么α=,
故当α=时,水渠中水的流失量最小.
20. 设函数f(x)=x2﹣mlnx,h(x)=x2﹣x+a.
(1)当a=0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)﹣h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围;
(3)是否存在实数m,使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性?若存在,求出m的值,若不存在,说明理由.
参考答案:
【考点】3R:函数恒成立问题;3F:函数单调性的性质;53:函数的零点与方程根的关系.
【分析】(1)当a=0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,即:x2﹣mlnx≥x2﹣x,转化为即:m≤在(1,+∞)上恒成立,从而得出实数m的取值范围.
(2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)﹣h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,即:k(x)=x﹣2lnx﹣a,设y1=x﹣2lnx,y2=a,分别画出它们的图象,由图得实数a的取值范围.
(3)先假设存在实数m,使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性,由图可知,只须函数f(x)=x2﹣mlnx在x=处取得极小值即可.
【解答】解:(1)当a=0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,
即:x2﹣mlnx≥x2﹣x,
mlnx≤x,即:m≤在(1,+∞)上恒成立,
因为在(1,+∞)上的最小值为:e,
∴m≤e.
实数m的取值范围:m≤e
(2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)﹣h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,
即:k(x)=x﹣2lnx﹣a,
设y1=x﹣2lnx,y2=a,分别画出它们的图象,
由图得:
实数a的取值范围(2﹣2ln2,3﹣2ln3];
(3)假设存在实数m,使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性,
由图可知,只须函数f(x)=x2﹣mlnx在x=处取得极小值即可.
∵f(x)=x2﹣mlnx
∴f′(x)=2x﹣m×,将x=代入得:
1﹣2m=0,
∴m=
故存在实数m=,使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性.
21. 已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f()=,求函数f(x)的解析式.
参考答案:
解:∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数.
∴f(0)=0,即=0,∴b=0,
又f ()==,∴a=1,
∴f(x)=.
22. 设函数.
(1)求;
(2)求函数在区间上的值域.
参考答案:
(1);(2).
【分析】
(1)把直接带入,或者先化简
(2)化简得,,根据求出的范围即可解决。
【详解】(1)因为,
,
所以;
(2)当时,,
所以,
所以.