2022年山西省长治市王庄矿中学高二数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 双曲线的焦距是( )
A.8 B.4 C. D.2
参考答案:
A
2. 一个简单几何体的主视图、俯视图如图所示,则其左视图不可能为( )
A.正方形 B.圆 C.等腰三角形 D.直角梯形
参考答案:
D
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】分别令几何体为正四棱柱,圆柱和底面为等腰直角三角形的三棱柱,可判断A,B,C的真假,令底面是直角梯形,结合三视图的定义,可判断正视图和俯视图中有一个应该是矩形中有一条实线(或虚线)的情况,可判断D的真假.
【解答】解:如果该几何体是一个正四棱柱,则其左视图必为正方形,故A错误
如果该几何体是一个圆柱,则其左视图必为圆,故B错误
如果该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱柱,则其左视图必为等腰三角形形,故C错误
如果该几何体的左视图为直角梯形,则其正视图和俯视图中有一个矩形中应该有一条实线(或虚线),故D正确
故选D
3. 在△ABC中,若a=7,b=3,c=8,则其面积等于( )
A.12 B. C.28 D.6
参考答案:
D
略
4. 若抛物线的焦点坐标为,则抛物线的标准方程是( ).
A. B. C. D.
参考答案:
A
5. 设随机变量X的分布列如表,则E(X) 等于( )
X
-1
0
1
P
p
A. B. C. D. 不确定
参考答案:
A
【分析】
根据随机变量的分布列求出,再求
【详解】根据随机变量的分布列可知,解得
所以
故选A.
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列,属于简单题。
6. 已知复数的实部为-1,虚部为2,则的共轭复数是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
7. 在复平面内,复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
参考答案:
B
【分析】
运用复数乘法的运算法则,化简复数,最后确定复数所对应的点所在的象限.
【详解】,因此复数对应点的坐标为,在第二象限,故本题选B.
【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则,以及复数对应点复平面的位置.
8. 过直线y=2x上一点P作圆M: (x-3)2+(y-2)2=的两条切线l1,l2,A,B为
切点,当直线l1,l2关于直线y=2x对称时,则∠APB等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
参考答案:
C
9. 用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )
A.方程x3+ax+b=0没有实根
B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根
参考答案:
A
【考点】R9:反证法与放缩法.
【分析】直接利用命题的否定写出假设即可.
【解答】解:反证法证明问题时,反设实际是命题的否定,
∴用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是:方程x3+ax+b=0没有实根.
故选:A.
10. 观察下列不等式
……
照此规律,第五个不等式为______________.
参考答案:
<
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 曲线与坐标轴围成的面积是___________.
参考答案:
B
略
12. 若,则的值为 .
参考答案:
-1
13. 从1,2,……,9这九个数中,随机抽取3个不同的数,则这3个数的和为偶数的概率是 .
参考答案:
略
14. 已知点M(2,2),点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点P是该抛物线上的一个动点.若|PF|+|PM|的最小值为5,则p的值为 .
参考答案:
2或6
【考点】直线与抛物线的位置关系.
【分析】分类讨论,利用|PF|+|PM|的最小值为5,求出p的值.
【解答】解:M在抛物线的内部时,∵抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离,
∴|PM|+|PF|=|PM|+P到准线的距离≤M到到准线的距离l=2+=5,
解得p=6,
M在抛物线的外部时,|MF|=5, =5,∴p=2
综上所述,p=2或6.
故答案为:2或6.
【点评】本题考查抛物线的方程与定义,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.
15. 用火柴棒按图的方法搭三角形:
按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数an 与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是 .
参考答案:
an=2n+1
【考点】归纳推理.
【分析】由题设条件可得出三角形的个数增加一个,则火柴棒个数增加2个,所以所用火柴棒数an 是一个首项为3,公差为2的等差数列,由此易得火柴棒数an 与所搭三角形的个数n之间的关系式
【解答】解:由题意,三角形的个数增加一个,则火柴棒个数增加2个,
所以所用火柴棒数an 与是一个首项为3,公差为2的等差数列
所以火柴棒数an 与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是an=3+2(n﹣1)=2n+1
故答案为 an=2n+1
16. 与双曲线有共同渐近线,且过点的双曲线方程是_________.
参考答案:
略
17. 设函数定义在上,,导函数,.则的最小值是 .
参考答案:
1
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)某高中有高级教师96人,中级教师144人,初级教师48人,为了进一步推进高中课程改革,邀请甲、乙、丙、丁四位专家到校指导。学校计划从所有教师中采用分层抽样办法选取6名教师分别与专家一对一交流,选出的6名教师再由专家随机抽取教师进行教学调研。
(1)求应从高级教师、中级教师、初级教师中分别抽取几人;
(2)若甲专家选取了两名教师,这两名教师分别是高级教师和中级教师的概率;
(3)若每位专家只抽一名教师,每位教师只与其中一位专家交流,求高级教师恰有一人被抽到的概率。
参考答案:
(1)从高级教师、中级教师、初级教师中分别抽数目之比为:96:144:48=2:3:1
得:从高级教师、中级教师、初级教师中分别抽数目分别为2,3,1…………2分.
(2)设抽取的6人中高级教师为,中级教师为,初级教师为;
则甲抽取2两名教师所有可能的结果为:,,
,,,,,,,,
,,,共种;
其中甲抽取到一名高级教师和一名中级教师结果为:,
,,,共6种
所以甲抽取到一名高级教师和一名中级教师的概率为
(3)抽取4名教师所有可能的结果为
,,,,,
其中高级教师恰有一人被抽到的结果有8种,则高级教师恰有一人被抽到的概率是
19. 已知数列{an}满足an=3an﹣1+3n﹣1(n∈N*,n≥2)且a3=95.
(1)求a1,a2的值;
(2)求实数t,使得bn=(an+t)(n∈N*)且{bn}为等差数列;
(3)在(2)条件下求数列{an}的前n项和Sn.
参考答案:
【考点】数列的求和;等差数列的通项公式.
【分析】(1)当n=2时,a2=3a1+8,当n=3时,a3=3a3+33﹣1=95,可得a2=23,代入即可求得a1=5;
(2)由等差数列的性质可知:bn﹣bn﹣1=(an+t)﹣(an﹣1+t)=(an+t﹣3an﹣1﹣3t)=(3n﹣1﹣2t).可知:1+2t=0,即可求得t的值;
(3)由等差数列的通项公式可得bn=+(n﹣1)=n+,求得an=(n+)3n+,采用分组求和及“错位相减法”即可求得数列{an}的前n项和Sn.
【解答】解:(1)当n=2时,a2=3a1+8,
当n=3时,a3=3a3+33﹣1=95,
∴a2=23,
∴23=3a1+8,
∴a1=5;
(2)当n≥2时,bn﹣bn﹣1=(an+t)﹣(an﹣1+t)=(an+t﹣3an﹣1﹣3t)=(3n﹣1﹣2t).
要使{bn}为等差数列,则必须使1+2t=0,
∴t=﹣,
即存在t=﹣,使数列{bn}为等差数列.
(3)∵当t=﹣,时,数列{bn}为等差数列,且bn﹣bn﹣1=1,b1=,
∴bn=+(n﹣1)=n+,
∴an=(n+)3n+,
于是,Sn=×3+32+…+?3n+×n,
令S=3×3+5×32+…+(2n+1)?3n,①
3S=3×32+5×33+…+(2n+1)?3n+1,②
①﹣②得﹣2S=3×3+3×32+2×33+…+2?3n﹣(2n+1)?3n+1,②
化简得S=n?3n+1,
∴Sn=+=,
数列{an}的前n项和Sn,Sn=.
20. 已知函数且,若函数的图象过点(2,24).
(1)求a的值及函数的零点;
(2)求的解集.
参考答案:
(1)a=3 ,零点为0; (2)[1,+∞).
【分析】
(1)将点代入函数,可求得a的值,直接求f(x)=0的根,即得f(x)的零点;
(2)根据函数y=3u-3,u=x+1是增函数,可知是增函数,根据函数的单调性,求解满足不等式得x的解集.
【详解】因为函数且,图象过点,
所以,即,得.
函数,得,.
所以函数的零点是0.
由得,即,
所以.
则的解集为.
【点睛】本题考查了求函数的零点问题,考查了与指数函数有关的不等式的解法,涉及了指数函数的单调性和简单的复合函数的单调性;复合函数的单调性满足“同增异减”原则,
若指数不等式的类型为 ,则当时, ,当时,.
21. 已知是一次函数,且满足
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若F(x)为奇函数且定义域为R,且x>0时,F(x)=f(x),求F(x)的解析式.
参考答案:
解 (Ⅰ)设,则
……………3分
故, 解得,
∴ ……………………………………………6分
(Ⅱ) ∵ F(x)为奇函数,∴F(-x)=-F(x) …………………………………8分
当x=0时,F(-0)=-F(0),即F(0)=0………………………………10分
当x<0时,-x>0
F(x)=-F(-x)=-[2(-x)+7]=2x-7,…………………………………13分
故,F(x)=. ………………………………………14分
22. 已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.
(Ⅰ)求证:BD⊥A1C;
(Ⅱ)求二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值;
(Ⅲ)在线段CC1上是否存在点P,使得平面A1CD1⊥平面PBD,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
参考答案:
【考点】与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面平行的性质;直线与平面垂直的性质.
【分析】(Ⅰ)由已知条件推导出BD⊥AA1,BD⊥AC,从而得到BD⊥平面A1AC,由此能证明BD⊥A1C.
(Ⅱ) 以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz,利用向量法能求出二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值.
(Ⅲ)设P(x2,y2,z2)为线段CC1上一点,且=,0≤λ≤1.利用向量法能求出当=时,平面A1CD1⊥平面PBD.
【解答】(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:∵ABCD﹣A1B1C1D1为