2022年湖南省衡阳市乌此中学高一数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数,其中为实数,若对恒成立,且,则的单调递增区间是
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【详解】因为对任意恒成立,所以,则或,当时,,则(舍去),当时,,则,符合题意,即,令,解得,即的单调递减区间是;故选A.
2. 各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于 ( )
A、80 B、26
C、30 D、16
参考答案:
C
3. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(a)≤2f(1),则a的最小值是( )
A. B.1 C. D.2
参考答案:
C
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行化简,即可得到结论.
【解答】解:∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,
∴,
等价为f(log2a)+f(﹣log2a)=2f(log2a)≤2f(1),
即f(log2a)≤f(1).
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递增,
∴f(log2a)≤f(1)等价为f(|log2a|)≤f(1).
即|log2a|≤1,
∴﹣1≤log2a≤1,
解得≤a≤2,
故a的最小值是,
故选:C
【点评】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用,综合考查函数性质的综合应用.
4.
参考答案:
A
5. 从装有个红球和个黒球的口袋内任取个球,那么互斥而不对立的两个事件是
A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个红球与都是黑球
C. 至少有一个黑球与至少有个红球 D. 恰有个黑球与恰有个黑球
参考答案:
D
6. 如表显示出函数值随自变量变化的一组数据,判断它最可能的函数模型是 ( )
4
5
6
7
8
9
10
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型
参考答案:
A
略
7. 已知全集,且,,则 ( ▲ )
A B C D
参考答案:
C
略
8. 若点,直线l过点且与线段AB相交,则l的斜率k的取值范围是( )
A. 或
B. 或
C.
D.
参考答案:
C
试题分析:画出三点坐标可知,两个边界值为和,数形结合可知为。
9. 若A(-2,3),B(3,-2),C(,m)三点共线 则m的值为( )
A. B. C.-2 D.2
参考答案:
A
略
10. (5分)如图是函数f(x)=ax、g(x)=xb、h(x)=logcx(a、c是不等于1的正实数),则a、b、c的大小关系是()
A. a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.c>b>a
参考答案:
B
考点:指数函数的图像与性质;对数函数的图像与性质.
专题:计算题;数形结合.
分析:由已知中图示的函数f(x)=ax、g(x)=xb、h(x)=logcx的图象,我们结合指数函数的图象与性质,对数函数的图象与性质,幂函数的图象与性质,可以分别判断出参数a,b,c的范围,进而得到答案.
解答:由已知中可得:
函数f(x)=ax中,0<a<1
函数g(x)=xb中,b<0
函数h(x)=logcx中,c>1
故c>a>b
故选B
点评:本题考察的知识点是指数函数的图象与性质,对数函数的图象与性质,幂函数的图象与性质,熟练掌握三个基本函数中参数(底数或指数)对函数图象形状的影响是解答本题的关键.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知 ______.
参考答案:
12. 已知(x,y)在映射f作用下的像是(x+y,xy),则(3,4)的像为 ,(1,﹣6)的原像为 .
参考答案:
(7,12), (﹣2,3)或(3,﹣2).
【考点】映射.
【分析】依据映射的概念,已知原像(x,y),求像(x+y,xy),再依据映射的概念,已知像(x+y,xy),求原像(x,y).
【解答】解:(1)由映射的定义知,x=3,y=4,
∴x+y=7,xy=12,
∴(3,4)在f作用下的像是(7,12);
(2)由x+y=1,且xy=﹣6得
解得:x=﹣2,y=3,或x=3,y=﹣2,
∴(1,﹣6)在f作用下的原像是(﹣2,3)或(3,﹣2).
故答案为:(7,12);(﹣2,3)或(3,﹣2).
13. 设等差数列的前n项和为,若,则=______________.
参考答案:
190
14. 若,,则 .
参考答案:
略
15. 函数的值域是 .
参考答案:
﹣1
略
16. 已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足:x>0,都有f(f(x)﹣log3x)=4成立,则f(9)= .
参考答案:
5
【考点】抽象函数及其应用.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】设f(x)﹣log3x=t,根据条件求出函数f(x)的表达式,继而求出f(9)的值.
【解答】解:设f(x)﹣log3x=t,
则f(x)=log3x+t,且f(t)=4,
∵f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,
∴t是常数,
则f(t)=log3t+t=4,
解得t=3,
即f(x)=log3x+3,
∴f(9)=log39+3=5,
故答案为:5.
【点评】本题考查与对数有关的复合函数的性质,值域求解.利用待定系数法先求出函数f(x)的解析式是解决本题的关键.
17. 函数y=﹣的定义域是 (用区间表示)
参考答案:
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】由函数y的解析式,列出使解析式有意义的不等式组,求出解集即可.
解:∵函数y=﹣,
∴,即,解得;
即0<x<,<x≤3;∴f(x)的定义域是(0,)∪(,3].
故答案为:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分10分) 已知集合。
(1)求,;
(2)已知,求.
参考答案:
(1) , . .2
. .3
(2)=. . 5
19. (本小题满分12分)
由倍角公式,可知可以表示为的二次多项式.
对于,我们有
可见可以表示为的三次多项式。一般地,存在一个次多项式,使得,这些多项式称为切比雪夫多项式.
(I)求证:;
(II)请求出,即用一个的四次多项式来表示;
(III)利用结论,求出的值.
参考答案:
解:(I)证法一:
(4分)
(4分)
(II)
(8分)
(III),
,
(12分)
略
20. (14分)已知向量,且
①用“五点法”作出函数y=f(x)在长度为一个周期的闭区间的图象.
②求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;
③求函数f(x)的最大值,并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?
⑤当x∈[0,π],求函数的值域
(1)列表
(2)作图
参考答案:
考点: 五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
专题: 综合题;三角函数的图像与性质.
分析: ①利用“五点法”得到五点,列出表格,可画图;
②由周期公式可得周期,根据正弦函数的增区间可得结果;
③根据正弦函数的最大值可求;
④根据图象的平移、伸缩变换规律可得结果;
⑤先由x的范围得x﹣的范围,从而可得答案;
解答: ①f(x)=2sin(x﹣),列表如下:
函数f(x)在一个周期内的图象如图所示:
②f(x)的最小正周期为2π,
由,得,
∴f(x)的单调增区间为[,],k∈Z.
③当x﹣=,即x=,k∈Z时,f(x)取得最大值为2,
f(x)取得最大值时x的取值集合为:{x|x=,k∈Z}.
④先把y=sin2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,得到y=sinx的图象,
然后把y=sinx的图象向右平移个单位,得到y=sin(x﹣)的图象,
把y=sin(x﹣)图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标不变,得到f(x)=2sin(x﹣)的图象;
⑤当x∈[0,π]时,x﹣∈[﹣,],
此时函数的值域为:[﹣,2].
点评: 本题考查y=Asin(ωx+φ)的图象作法、图象变换及单调性最值,本题综合性较强,但涉及知识较为基础,应熟练掌握.
21. 某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中()的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:
(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?
(2)求该地上班族S的人均通勤时间的表达式;讨论的单调性,并说明其实际意义.
参考答案:
(1) 时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.
【分析】
(1)由题意知求出f(x)>40时x的取值范围即可;
(2)分段求出g(x)的解析式,判断g(x)的单调性,再说明其实际意义.
【详解】(1)由题意知,当时,
,
即,
解得或,
∴时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;
(2)当时,
;
当时,
;
∴;
当时,单调递减;
当时,单调递增;
说明该地上班族中有小于的人自驾时,人均通勤时间是递减的;
有大于的人自驾时,人均通勤时间是递增的;
当自驾人数为时,人均通勤时间最少.
【点睛】本题考查了分段函数的应用问题,也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力.
22. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价为3元,根据以往的经验售价为4元时,可卖出280桶;若销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶,则这个经营部怎样定价才能获得最大利润?最大利润是多少?
参考答案:
定价为每桶7元,最大利润为440元.
【分析】
若设定价在进价的基础上增加元,日销售利润为元,则,其
中,整理函数,可得取何值时,有最大值,即获得最大利润
【详解】设定价在进价的基础上增加元,日销售利润为元,则
,
由于,且,所以,;
即,.
所以,当时,取最大值.
此时售价为,