上海历城中学高一数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 将正奇数1,3,5,7,…按右表的方式进行排列,记aij表示第i行第j列的数,若aij=2015则i+j的值为( )
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
1
3
5
7
第2行
15
13
11
9
第3行
17
19
21
23
第4行
31
29
27
25
第5行
39
37
35
33
…
…
…
…
…
…
A. 505 B. 506
C. 254 D. 253
参考答案:
D
2. 已知,,,则的大小关系是( )。
A、 B、 C、 D、
参考答案:
D
略
3. 已知角为第四象限角,且,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
4. 若圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为,则a的值为( )
A.﹣2或2 B.或 C.2或0 D.﹣2或0
参考答案:
【考点】IT:点到直线的距离公式.
【分析】把圆的方程化为标准方程后,找出圆心坐标,利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离,根据此距离等于列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值.
【解答】解:把圆x2+y2﹣2x﹣4y=0化为标准方程为:(x﹣1)2+(y﹣2)2=5,所以圆心坐标为(1,2),
∵圆心(1,2)到直线x﹣y+a=0的距离为,
∴,即|a﹣1|=1,可化为a﹣1=1或a﹣1=﹣1,
∴解得a=2或0.
故选C.
5. 已知幂函数f(x)的图象经过点,则f(4)的值为( )
A.16 B. C. D.2
参考答案:
C
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域;函数的值.
【分析】设幂函数f(x)=xa,由幂函数f(x)过点,列出关于a的方程,求解即可得到f(x)的解析式,再将x=4代入,即可求得答案.
【解答】解:设幂函数f(x)=xa,
∵幂函数f(x)的图象经过点,
∴=2a,即2a=,
∴a=,
故f(x)=,
∴f(4)==.
故选:C.
6. .下列函数中,最小正周期为π的是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
试题分析:根据周期公式,可得B选项的最小正周期为,故选B。
考点:三角函数的周期性
7. 已知,则的最小值是( )
A. B. C. 5 D. 4
参考答案:
A
【分析】
二元变量求最值,可以利用基本不等式求最值,
考虑连续多次使用不等式等号条件不一致,所以将化成,
代入运算,即可求出最值。
【详解】解:∵a>0,b>0,a+b=2,
∴y()(a+b)(1+4)(5+2),
当且仅当b=2a时等号成立,
故选:A.
【点睛】本题主要考查了基本不等式的基本应用,要熟悉“1”的代换技巧。
8. 已知向量, 且O为△ABC的重心, 则的值为( )
A.-1 B. C. D.不能确定
参考答案:
B
略
9. 表达式化简后为
A. B.
C. D.
参考答案:
B
10. 在等比数列{an}中,a1=4,公比q=3,则通项公式an等于( )
A.3n B.4n C.3·4n-1 D.4·3n-1
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 给出下列五个命题:
①函数的一条对称轴是;
②函数的图象关于点对称;
③正弦函数在第一象限为增函数;
④若锐角终边上一点的坐标为,则;
⑤函数有3个零点;
以上五个命题中正确的有 ▲ (填写正确命题前面的序号).
参考答案:
①②④
略
12. 已知,则= ;
参考答案:
略
13. 若cos(65°+α)=,其中α为第三象限角,则cos+sin(α﹣115°)= .
参考答案:
【考点】两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数.
【分析】由题意可得65°+α为第四象限角,再利用诱导公式、角三角函数的基本关系求得所给式子的值.
【解答】解:∵cos(65°+α)=,其中α为第三象限角,
∴65°+α为第四象限角.
∴可得:cos+sin(α﹣115°)
=﹣cos(65°+α)﹣sin(65°+α)
=﹣﹣(﹣)
=﹣+
=.
故答案为:.
14. (2016秋?建邺区校级期中)已知函数f(x)=﹣(x∈R),区间M=[a,b](a<b),集合N={y|y=f (x),x∈M}.若M=N,则b﹣a的值是 .
参考答案:
2
【考点】函数的值域;函数的定义域及其求法.
【专题】函数思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】由题设知对于集合N中的函数f(x)的定义域为[a,b],对应的f(x)的值域为N=M=[a,b].根据M=N,找到a,b关系,可求b﹣a的值.
【解答】解:函数f(x)=﹣(x∈R),
化简得:f(x)=,可知函数f(x)是单调递减,
∵x∈M,M=[a,b],
则对于集合N中的函数f(x)的定义域为[a,b],
故得N=[,]
对应的f(x)的值域为N=M=[a,b].
则有:=a,=b,
解得:b=1,a=﹣1,
故得b﹣a=2,
故答案为:2.
【点评】本题考查集合相等的概念,解题时要注意绝对值的性质和应用
15. 下列命题中:
①若集合中只有一个元素,则;
②已知函数的定义域为,则函数的定义域为;
③函数在上是增函数;
④方程的实根的个数是2.
所有正确命题的序号是 (请将所有正确命题的序号都填上)
参考答案:
③④.对于①,也符合题意;对于②,的定义域应该是;对于③,画出的图象,或利用定义可判定在上是增函数;对于④在同一坐标系中做出的图象,由图可知有两个交点.故方程的实根的个数为2.
16. 若,则= .
参考答案:
;
略
17. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币一次,则两枚硬币都是正面向上的概率是__________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题14分)
(1)已知角是第二象限角,且求的值;
(2)已知,①求的值;②求的值。
参考答案:
(1) ……4分
……2分
(2)方法一:①……3分
②
……5分
方法二:由解得或 ……4分
①原式= ②原式=……4分
略
19. 如图, =(6,1), ,且 。
(1)求x与y间的关系; (2)若 ,求x与y的值及四边形ABCD的面积。
参考答案:
(1)∵ ,
∴ 由 ,得x(y-2)=y(4+x), x+2y=0.
(2) 由 =(6+x, 1+y), 。
∵ , ∴(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0,
又x+2y=0, ∴ 或
∴当 时, , 当 时, 。
故 同向,
略
20. 10分)求圆C:被直线所截的弦的长度。
20.(12分)已知方程表示一个圆。
(1)求实数m的取值范围;
(2)求该圆半径r的取值范围。
参考答案:
略
21. (12分)
已知函数
(1)在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象,并根据图象写出的单调区间;
(2)若函数有四个零点,求实数m的取值范围.
参考答案:
解:(1)函数的图象如图所示,由图象可得函数的单调递增区间为和,单调递减区间为和;
(2)由函数的图象可知,当且仅当时,函数有四个零点,
∴实数的取值范围为.
22. (本题满分10分).已知+1.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及其图像对称中心的坐标和对称轴的方程;
(Ⅱ)当时,求f(x)的值域.
参考答案:
解:∵+1
=+1=+1
(1)f(x)的最小正周期为;
令得(k∈Z)
∴f(x)图像的对称中心为, (k∈Z)
对称轴方程为。
(2)∵∴
∴
∴f(x)的值域为
略