云南省大理市市第一职业中学高一数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知实数,满足线性约束条件,则的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
C
2. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°腰和上底边卫1的等腰梯形的面积是
A. B. C.1+ D.
参考答案:
B
3. 计算sin75°cos15°﹣cos75°sin15°的值等于( )
A.0 B. C. D.
参考答案:
D
【考点】三角函数的化简求值.
【分析】直接利用两角差的正弦化简求值.
【解答】解:sin75°cos15°﹣cos75°sin15°=sin(75°﹣15°)=sin60°=.
故选:D.
4. 中,角A,B,C的对边分别为,若( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
5. 若f(x)为偶函数,且x0是的y=f(x)+ex一个零点,则﹣x0一定是下列哪个函数的零点( )
A.y=f(﹣x)ex﹣1 B.y=f(x)ex+1 C.y=f(x)ex﹣1 D.y=f(x)e﹣x+1
参考答案:
B
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据函数零点的定义和性质结合偶函数的对称性即可得到结论.
【解答】解:x0是的y=f(x)+ex一个零点,
∴f(x0)+=0,即f(x0)=﹣,
∵f(x)为偶函数,∴f(﹣x0)=f(x0),
∴当x=﹣x0时,
A.y=f(x0)﹣1=f(x0)﹣1=﹣1﹣1=﹣2,
B.y=f(﹣x0)+1=f(x0)+1=﹣1+1=0,
C.y=f(x0)﹣1=f(x0)﹣1=﹣1﹣1=﹣2,
D.y=f(﹣x0)+1=f(x0)+1≠0,
故选:B
【点评】本题主要考查函数零点的判断,利用函数偶函数的对称性以及指数幂的运算法则是解决本题的关键.
6. 若函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围为( )
A.(1,+∞) B.(1,8) C.[4,8) D.(4,8)
参考答案:
C
【考点】3F:函数单调性的性质;5B:分段函数的应用.
【分析】让两段都单调递增,且让x=1时ax≥(4﹣)x+2,解关于a的不等式组可得.
【解答】解:∵函数f(x)=是R上的增函数,
∴,解得4≤a<8
故选:C
7. 下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
试题分析:由茎叶图中的数据得,
甲的5次综合测评中的成绩分别为88,89,90,91,92,
则甲的平均成绩.甲=(88+89+90+91+92)=90;
设污损数字为x,
则乙的5次综合测评中的成绩分别为83,83,87,99,90+x,
则乙的平均成绩.乙=[83+83+87+99+(90+x)]=88.4+,
当x=8或9时,.甲≤.乙,
即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为;
则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率.
考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率
8. ,为非零向量,且|+|=||+||,则( )
A. = B.,是共线向量且方向相反
C.∥,且与方向相同 D.,无论什么关系均可
参考答案:
C
【考点】96:平行向量与共线向量.
【分析】由已知条件推导出,从而得到∥,且与方向相同.
【解答】解:∵,为非零向量,且|+|=||+||,
∴|+|2=(||+||)2,
∴=,
∴,
∴∥,且与方向相同.
故选:C.
【点评】本题考查两个向量的位置关系的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意平面向量的性质的合理运用.
9. 函数 的部分图象如图所示,则 b的值等于( )
A. 2 B.b
C. D.
参考答案:
C
10. 奇函数在是增函数,且,若函数对所有的,都成立,求实数的取值范围 ( )
B. C. 或 D. 或或
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知的三个内角所对的边分别是,且,则 .
参考答案:
略
12. 已知函数对任意的实数满足:,且当时,,当时,,则象与的图象的交
点个数为___________。
参考答案:
10
13. (5分)已知幂函数y=xm﹣3(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,则m= .
参考答案:
1
考点: 幂函数的性质.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 由幂函数y=xm﹣3的图象关于y轴对称,可得出它的幂指数为偶数,又它在(0,+∞)递减,故它的幂指数为负,由幂指数为负与幂指数为偶数这个条件,即可求出参数m 的值.
解答: 幂函数y=xm﹣3的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)递减,
∴m﹣3<0,且m﹣3是偶数
由 m﹣3<0得m<3,又由题设m是正整数,故m的值可能为1或2
验证知m=1时,才能保证m﹣3是偶数
故m=1即所求.
故答案为:1.
点评: 本题考查幂函数的性质,已知性质,将性质转化为与其等价的不等式求参数的值属于性质的变形运用,请认真体会解题过程中转化的方向.
14. ∠ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4cm,点P到角的两边AC、BC的距离都等于2 cm,那么PC与平面ABC所成角的大小为 .
参考答案:
45°
【考点】直线与平面所成的角.
【分析】设P点在ABC平面投影点为O,过P点作BC边的垂线垂足为D,连接OP,OC,OD,根据,∠ACB=90°,平面ABC外一点P满足PC=4,P到两边AC,BC的距离都是2 cm,我们分别求出CD,OD,OP的长,进而解出∠PCO的大小,即可得到PC与平面ABC所成角的大小.
【解答】解:设P点在ABC平面投影点为O,过P点作BC边的垂线垂足为D,
连接OP,OC,OD,如图所示:
则∠PCO即为PC与平面ABC所成角的平面角
∵P到两边AC,BC的距离都是2cm,
故O点在∠ACB的角平分线上,即∠OCD=45°
由于PC为4cm,PD为2cm,则CD为2cm.
则△PCD在底面上的投影△OCD为等腰直角三角形.
则OD=CD=2,然后得CO=2cm,
根据勾股定理得PO=2cm=CO,
∴∠PCO=45°.
故答案为:45°.
15. 已知函数,若对于任意的,均有,则实数的取值范围是__________.
参考答案:
[-1,1]
解:若,对于任意的,均有,
则,
解得:,
故:实数的取值范围是[-1,1].
16. 已知|a|=3,|b|=5,如果a∥b,则a·b= 。
参考答案:
答案:。±15。
错因:容易忽视平行向量的概念。a、b的夹角为0°、180°。
17. 住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4.00-5:00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜,他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为__________.
参考答案:
【分析】
将甲、乙到达时间设为(以4:00为0时刻,单位为分钟).则相见需要满足: 画出图像,根据几何概型公式得到答案.
【详解】根据题意:将甲、乙到达时间设为(以4:00为0时刻,单位为分钟)
则相见需要满足: 画出图像:
根据几何概型公式:
【点睛】本题考查了几何概型的应用,意在考查学生解决问题的能力.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (14分)定义在R上的函数f(x),满足对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2).
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)如果f(4)=1,f(x﹣1)<2,且f(x)在
参考答案:
考点: 抽象函数及其应用.
专题: 函数的性质及应用.
分析: (1)令x1=x2=0,得f(0)=0,令x1=x,x2=﹣x,推出f(﹣x)与f(x)的关系,即可判断判断函数f(x)的奇偶性;
(2)通过f(4)=1,求出f(8),化简f(x﹣1)<2,利用f(x)在上是增函数,求实数λ的取值范围.
19. (本小题满分12分)
如图是函数的部分图像,M,N是它与x轴的两个不同交点,D是M,N之间的最高点且横坐标为,点是线段DM的中点.
(1)求函数f(x)的解析式及[π,2π]上的单调增区间;
(2)若时,函数的最小值为,求实数a的值.
参考答案:
解:
(1)取中点为,则,
因为为中点,且在轴上,则,
所以,,则, ……1分
,又因为,则 ……2分
所以,由
又因为,则
所以 ……3分
令 ……5分
又因为
则单调递增区间为. ……6分
(2)因为 ……7分
所以 ……9分
令,则
对称轴为
①当时,即时,; ……10分
②当时,即时, (舍)
……11分
③当时,即时,(舍)
综上可得:. ……12分
20. (8分)证明函数f(x)=﹣1在(0,+∞)上是减函数.
参考答案:
考点: 函数单调性的判断与证明.
专题: 证明题;函数的性质及应用.
分析: 运用单调性的定义证明,注意取值、作差、变形和定符号、下结论几个步骤.
解答: 证明:设x1,x2是(0,+∞)上的两个任意实数,且x1<x2,
f (x1)﹣f (x2)=﹣1﹣(﹣1)
=﹣=.
因为x2﹣x1>0,x1x2>0,所以f (x1)﹣f (x2)>0.即f (x1)>f (x2),
因此 f (x)=﹣1是(0,+∞)上的减函数.
点评: 本题考查函数的单调性的证明,考查定义法的运用,考查运算能力,属于基础题.
21. 已知集合,又A∩B={x|x2+ax+b<0},求a+b的值。
参考答案:
解:∵, …(6分)
∴A∩B={x|x2+ax+b<0}=, ………………(8分)
∴和即为方程x2+ax+b=0的两根,∴ ∴a+b=.………(12分)
略
22. (14分)已知函数f(x)=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)设α、β∈[0,],f(+)=,f(+π)=,求sin(α+β)的值.
参考答案:
考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的化简求值;二倍角的余弦;正弦函数的单调性.
专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质.
分析: (1)由倍角