云南省曲靖市会泽县大海乡中学2022-2023学年高一数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若直线不平行于平面,且,则下列结论成立的是
A. 内所有的直线与异面. B. 内不存在与平行的直线.
C. 内存在唯一的直线与平行. D. 内的直线与都相交.
参考答案:
B
略
2. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为1,E为A1B1 的中点,则下列四个命题:
①点E到平面ABC1D1 的距离为;
②直线BC与平面ABC1D1 所成的角等于45°
③空间四边形ABCD1 在正方体六个面内形成六个射影,其面积最小值是
④AE与DC所成角的余弦值为
其中真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
C
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】在①中,E到面ABC1D1的距离等于B1到面ABC1D1的距离为B1C;在②中,BC与面ABC1D1所成的角即为∠CBC1;在③中,在四个面上的投影或为正方形或为三角形.最小为三角形;在④中,∠EAB是AE与DC所成角.
【解答】解:在①中,E∈A1B1,A1B1∥面ABC1D1,∴E到面ABC1D1的距离等于B1到面ABC1D1的距离为B1C=.故①错误;
在②中,BC与面ABC1D1所成的角即为∠CBC1=45°,故②正确;
在③中,在四个面上的投影或为正方形或为三角形.最小为三角形,面积为,故③正确;
在④中,∵DC∥AB,∴∠EAB是AE与DC所成角,
取AB中点F,连结EF,则AF=,AE=,
∴cos∠EAB===.故④正确.
故选:C.
3.
定义在上的偶函数在上是减函数,若,则的范围是( )
A、或 B、 C、或 D、
参考答案:
B
4. 将个正整数、、、…、()任意排成行列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数、()的比值,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当时,数表的所有可能的“特征值”最大值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 已知函数f(x)=,则f[f()]的值是( )
A. B. C.4 D.9
参考答案:
A
【考点】函数的值.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】利用分段函数,先求f()的值,然后求f[f()]的值即可.
【解答】解:由分段函数可知f()=,
所以f[f()]=f(﹣2)=.
故选A.
【点评】本题主要考查分段函数的应用,以及指数函数和对数函数的求值问题,比较基础.
6. 设函数,则( )
A. B.3 C. D.
参考答案:
D
略
7. 在△ABC中,已知,则三角形△ABC的形状一定是
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
参考答案:
A
8. 若样本+2,+2,,+2的平均数为10,方差为3,则样本2+3,2+3,…,2+3,的平均数、方差、标准差是 ( A )。
A.19,12, B.23,12,
C.23,18, D.19,18,
参考答案:
A
9. 一个正方体和一个圆柱等高,并且侧面积相等,则正方体与圆柱的体积比是( )
A. B.
C.1:1 D.
参考答案:
A
10. 下图给出的是计算的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是
A、i>100 B、i<=100 C、i>50 D、i<=50
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设函数,若,则关于的方程
的解的个数为_____个
参考答案:
3
12. 若集合中只有一个元素,则的值为________ .
参考答案:
0或1
略
13. 已知函数,则对任意实数,,都有以下四条性质中的 ▲
(填入所有对应性质的序号).
① ②
③ ④
参考答案:
④
略
14. 若,则,就称A是伙伴关系集合,集合的所有非空子集中,是伙伴关系集合的个数为______________.
参考答案:
略
15. 设函数,则函数的零点为 ▲ .
参考答案:
16. 函数f(x)=,则当f(x)≥1时,自变量x的取值范围为 .
参考答案:
(﹣∞,1]∪[,3]
【考点】5B:分段函数的应用.
【分析】根据题意分两种情况x>2和x≤2,代入对应的解析式列出不等式求解即可.
【解答】解:∵函数f(x)=,∴分两种情况:
①当x>2时,由f(x)≥1得,,解得2<x≤3,
②当x≤2时,由f(x)≥1得,|3x﹣4|≥1,即3x﹣4≥1或3x﹣4≤﹣1,
解得,x≤1或x≥,则x≤1或≤x≤2.
综上,所求的范围是(﹣∞,1]∪[,3].
故答案为:(﹣∞,1]∪[,3].
17. 是定义在上的奇函数,且当,设,给出三个条件:①②,③.其中可以推出的条件共有 个.
参考答案:
3
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)一投资商拟投资、两个项目,预计投资项目万元
可获得利润万元;投资项目万元可获得利
润万元。若这个投资商用60万元来投
资这两个项目,则分别投资多少钱能够获得最大利润?最大利润是多少?
参考答案:
解:设x万元投资于A项目,
而用剩下的(60-x)万元投资于B项目,则其总利润为
W=-(x-40)2+100+(-x2+x)--------------------------------6分
=- (x-30)2+990.--- ----------------------------------------------------------9分
当x=30时,Wmax=990(万元).---------------------------------------------11分
所以投资两个项目各30万元可获得最大利润,最大利润
为990万元------------------------------------------------------------------------ -12分
略
19. 比较大小(1);(2)。
参考答案:
解析:(1);
(2)
20. 已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,0),B(4,6),C(0,8).
(1)求BC边上的高所在直线l的方程;
(2)求△ABC的面积.
参考答案:
【考点】待定系数法求直线方程.
【分析】(1)求出BC的斜率,带入点斜式方程即可;(2)求出AC的长,根据AC的方程,求出点B到直线AC的距离,从而求出三角形ABC的面积即可.
【解答】解:(1)因为点B(4,6),C(0,8),则kBC==﹣,
因为l⊥BC,则l的斜率为2.
又直线l过点A,所以直线l的方程为y=2(x﹣3),即2x﹣y﹣6=0.
(2)因为点A(3,0),C(0,8),则|AC|==,
又直线AC的方程为+=1,即8x+3y﹣24=0,
则点B到直线AC的距离d==,
所以△ABC的面积S=|AC|×d=13.
21. 如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形,PD⊥平面ABCD,PD=CD,点E是PC的中点,连接DE、BD、BE.
(Ⅰ)(i)证明:DE⊥平面PBC;
(ii)若把四个面都是直角三角形的四面体叫做直角四面体,试判断四面体EBCD是否为直角四面体,若是写出每个面的直角(只需写结论),若不是请说明理由.
(Ⅱ)求二面角P﹣BC﹣A的大小;
(Ⅲ)记三棱锥P﹣ABD的体积为V1,四面体EBCD的体积为V2,求.
参考答案:
【考点】二面角的平面角及求法;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定.
【专题】证明题;数形结合;数形结合法;立体几何.
【分析】(I)由PD⊥平面ABCD得PD⊥BC,由BC⊥CD得BC⊥平面PCD,故BC⊥DE,又因为PD=CD,E是PC中点,所以DE⊥PC,故DE⊥平面PBC;
(II)∠PCD就是二面角P﹣BC﹣A的平面角,由△PDC是等腰直角三角形可知二面角P﹣BC﹣A的大小为45°;
(III)由E为PC中点可知E到平面ABCD的距离h=PD,而两个棱锥的底面积相等,故=2.
【解答】解:(Ⅰ)(i)∵PD⊥底面ABCD,BC?平面ABCD,
∴PD⊥BC.
∵底面ABCD为矩形,∴BC⊥CD,又∵PD∩CD=D,PD?平面PCD,CD?平面PCD,
∴BC⊥平面PCD.∵DE?平面PCD,
∴BC⊥DE.
∵PD=CD,点E是PC的中点,∴DE⊥PC.又∵PC∩BC=C,BC?平面PBC,PC?平面PBC,
∴DE⊥平面PBC.
(ii)∵BC⊥平面PCD,∴BC⊥CE,BC⊥CD,
∵DE⊥平面PBC,∴DE⊥BE,DE⊥CE,
∴四面体EBCD是一个直角四面体,其四个面的直角分别是:∠BCD,∠BCE,∠DEC,∠DEB.
(Ⅱ)∵BC⊥CE,CD⊥BC,∴∠PCD就是二面角P﹣BC﹣A的平面角,
∵PD=CD,PD⊥CD,∴△PCD是等腰直角三角形,
∴∠PCD=45°,即二面角P﹣BC﹣A的大小是45°.
(Ⅲ)∵E是PC的中点,∴E到平面ABCD的距离h=,
∵底面ABCD是矩形,∴S△ABD=S△BCD,
∵V1=S△ABD?PD,V2=S△BCD?PD,
∴=2.
【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质,棱锥的体积计算,属于中档题.
22. 成等差数列的四个数的和为,第二数与第三数之积为,求这四个数。
参考答案:
解析:设四数为,则
即,
当时,四数为
当时,四数为