北京峪口第二中学2022-2023学年高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数,当时,,若在区间(-1,1]内,有两个不同的零点,则实数t的取值范围是
A. B.
C. D.
参考答案:
A
【分析】
若有两个不同的零点,则函数的图象与的图象有两个交点,画出函数的图象,数形结合可得答案.
【详解】由题意得:
当时,,所以,
当,即时,
,
所以,
所以,
故函数的图象如下图所示:
若有两个不同的零点,
则函数的图象与的图象有两个交点,
故,
故选A.
【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数的图象,函数零点与方程根的关系,数形结合思想,难度中档.
2. 函数y=ax﹣1+1(a>0,a≠1)的图象过定点( )
A.(0,0) B.(0,1) C.(1,1) D.(1,2)
参考答案:
D
【考点】指数函数的单调性与特殊点.
【分析】根据指数函数过定点的性质即可得到结论.
【解答】解:由x﹣1=0,解得x=1.
此时y=1+1=2.
即函数过定点(1,2),
故选:D.
【点评】本题主要考查指数函数过定点的性质,比较基础.
3. 已知函数f(x)=2x,则f(1﹣x)的图象为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】指数函数的图象与性质.
【分析】f(1﹣x)的图象可由函数f(x)=2x的图象作关于y轴的对称图象,再向右平移一个单位得到.也可取特值得到.
【解答】解:x=0时,f(1﹣x)=f(1)=2,排除A和D;
再取x=1,得f(1﹣x)=f(0)=1,
故选C
【点评】本题考查识图问题,可利用函数图象的变换或特值求解.
4. 把函数的图像向右平移个单位可以得到函数的图像,若为偶函数,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
5. 已知sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=,且α在第二象限,则tan
A.或-3 B.3 C. D.3或-
参考答案:
B
6. 若a=ln2,b=log3,c=20.6,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c
参考答案:
D
【考点】对数值大小的比较.
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.
【解答】解:∵0=ln1<a=ln2<lne=1,
b=log3<log31=0,
c=20.6>20=1,
∴b<a<c.
故选:D.
7. 如果函数在区间上单调递减,那么实数的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
A
8. 按数列的排列规律猜想数列,﹣,,﹣,…的第10项是( )
A.﹣ B.﹣ C.﹣ D.﹣
参考答案:
C
【考点】数列的函数特性;归纳推理.
【分析】由数列,﹣,,﹣,….可知:奇数项的符号为正号,偶数项的符号为负号;而分子为偶数2n(n为项数),分母为奇数2n+1或分母比分子大1.即可得到通项公式.
【解答】解:由数列,﹣,,﹣,….可知:奇数项的符号为正号,偶数项的符号为负号;而分子为偶数2n(n为项数),分母为奇数2n+1或分母比分子大1.
故可得通项公式.
∴=﹣.
故答案为C.
9. 当0<a<1时,在同一坐标系中,函数y=ax与y=logax的图象是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】对数函数的图象与性质;指数函数的图象与性质.
【分析】根据函数y=ax与y=logax互为反函数,得到它们的图象关于直线直线y=x对称,再结合函数的单调性,从而对选项进行判断即得.
【解答】解:∵函数y=ax与y=logax互为反函数,
∴它们的图象关于直线y=x对称,
且当0<a<1时,函数y=ax与y=logax都是减函数,
观察图象知,D正确.
故选D.
10. 在△ABC中,a=3,b=,c=2,那么B等于( )
A. 30° B.45° C.60° D.120°
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设a是实数.若函数f(x)=|x+a|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数,但不是偶函数,则函数f(x)的递增区间为 .
参考答案:
〔﹣1,1〕
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】计算题.
【分析】先利用函数f(x)=|x+a|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数,求得参数a=1或﹣1,利用不是偶函数,确定a=1,从而将函数用分段函数表示,进而可求函数f(x)的递增区间.
【解答】解:由题意得f(﹣x)=﹣f(x),即:|﹣x+a|﹣|﹣x﹣1|=﹣|x+a|+|x﹣1|
∴a=1或﹣1.
a=﹣1,f(x)=0是偶函数不对,
a=1时,分情况讨论可得,,所以函数f(x)的递增区间为〔﹣1,1〕
故答案为〔﹣1,1〕
【点评】本题的考点是奇偶性与单调性的综合,主要考查利用奇偶函数的定义求参数,考查函数的单调性,关键是参数的确定,从而确定函数的解析式.
12. 的值为 .
参考答案:
13. 已知函数,若关于的方程有两个不同的实根,则实数的取值范围是 .
参考答案:
14. 方程的解集为________.
参考答案:
【分析】
由诱导公式可得,由余弦函数的周期性可得:.
【详解】因为方程,由诱导公式得,
所以,
故答案为:.
【点睛】本题考查解三角函数的方程,余弦函数的周期性和诱导公式的应用,属于基础题.
15. 如图,在边长为1的正方体中ABCD﹣A1B1C1D1,P、Q分别是线段BD、C1C上的动点,则|PQ|的最小值是 .
参考答案:
16. 反函数是_____________________________。
参考答案:
17. 在△ABC中,已知A=45°,AB=,BC=2,则C=___________.
参考答案:
、30°
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. .一块边长为10的正方形铁片按如图所示的虚线裁下剪开,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器。
(1)试建立容器的容积与的函数关系式,并求出函数的定义域.
(2)记四棱锥的侧面积为,定义为四棱锥形容器的容率比,容率比越大,用料越合理。
如果对任意的,恒有如下结论:,当且仅当时取等号。
试用上述结论求容率比的最大值,并求容率比最大时,该四棱锥的表面积。
参考答案:
略
19. (本小题满分10分)设实数集R为全集,A=,B=.
(1)当时,求A∩B及A∪B;
(2)若B∩(CRA)=B,求实数的取值范围。
参考答案:
(1)已知A={x|≤x≤}
当a=-4时,B={x|x2-4<0}={x|-2<x<2}………………2分
∴A∩B={x|≤x<2}……………………4分
A∪B={x|-2<x≤}……………………………………5分
(2)由(1)可知CRA={x|x<或x>}
由B∩(CRA)=B即BíCRA当B=φ时,即a≥0时成立
当B≠φ,即a<0时,则B={x|-<x<} 则T0>a≥-
综上a的取值范围是:a≥-…………………………………………10分
20. 20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:
(1)求频率分布直方图中a的值并估计数学考试成绩的平均分;
(2)从成绩在[50,70)的学生中人选2人,求这2人的成绩都在[60,70)中的概率.
参考答案:
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图.
【分析】(1)由频率分布直方图的性质能求出a和数学考试成绩的平均分.
(2)由频率分布直方图得到成绩在[50,70)的学生人数为5人,其中成绩在[50,60)的学生人数为2人,成绩在[60,70)的学生人数为3人,由此利用等可能事件概率计算公式能求出这2人的成绩都在[60,70)中的概率.
【解答】解:(1)由频率分布直方图得:
(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1,
解得a=.
数学考试成绩的平均分为:
=55×+65×+75×+85×+95×=76.5.
(2)成绩在[50,70)的学生人数为:20×5××10=5,
其中成绩在[50,60)的学生人数为:20×2××10=2,
成绩在[60,70)的学生人数为:20×3××10=3,
∴从成绩在[50,70)的学生中人选2人,基本事件总数n==10,
这2人的成绩都在[60,70)中的基本事件个数m==3,
∴这2人的成绩都在[60,70)中的概率P=.
21. (本小题满分12分)
(1)化简;
(2),求的值。
参考答案:
22. 已知全集U=R,集合,.
(1)求.
(2)若集合,且,求实数a的取值范围.
参考答案:
(1)或(2)
试题分析:(1)解不等式求得A,B及,根据交集的定义求解;(2)将问题转化为求解,分和两种情况进行讨论.
试题解析 :(1)由题意得或,,
∴或,
∴或.
(2)∵
∴,
①当时,则有,解得.
②当时,则有,解得.
综上可得.
实数的取值范围为.