山东省德州市焦斌中学2022-2023学年高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. .某同学用收集到的6组数据对制作成如图所示的散点图(点旁的数据为该点坐标),并由最小二乘法计算得到回归直线的方程:,相关系数为,相关指数为;经过残差分析确定点E为“离群点”(对应残差过大的点),把它去掉后,再用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程:,相关系数为,相关指数为.则以下结论中,不正确的是( )
A., B.,
C. D.
参考答案:
D
2. 如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在五次综合测评中的成绩,期中一个数字被污损,则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 已知直线ax+y+2=0及两点P(﹣2,1)、Q(3,2),若直线与线段PQ相交,则a的取值范围是( )
A.a≤﹣或a≥ B.a≤﹣或a≥ C.﹣≤a≤ D.﹣≤a≤
参考答案:
B
【考点】恒过定点的直线;两条直线的交点坐标.
【专题】计算题;数形结合.
【分析】确定直线系恒过的定点,画出图形,即可利用直线的斜率求出a的范围.
【解答】解:因为直线ax+y+2=0恒过(0,﹣2)点,由题意如图,
可知直线ax+y+2=0及两点P(﹣2,1)、Q(3,2),直线与线段PQ相交,
KAP==﹣,KAQ==,所以﹣a≤﹣或﹣a≥,
所以a≤﹣或a≥
故选B.
【点评】本题考查恒过定点的直线系方程的应用,直线与直线的位置关系,考查数形结合与计算能力.
4. 已知复数,是的共轭复数,则·=( )
A、 B、 C、1 D、
参考答案:
B
略
5. 在中,“”是“”的
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件
参考答案:
A
6. 已知函数,其中为自然对数的底数,若关于的方程,有且只有一个实数解,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
7. 直线经过一定点,则该定点的坐标为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
8. 已知全集U=R,集合A={x|x2﹣2x<0},B={x|x﹣1≥0},那么A∩?UB=( )
A.{x|0<x<1} B.{x|x<0} C.{x|x>2} D.{x|1<x<2}
参考答案:
A
【考点】交、并、补集的混合运算.
【专题】集合.
【分析】分别求出A与B中不等式的解集,确定出A与B,找出A与B补集的交集即可.
【解答】解:由A中的不等式变形得:x(x﹣2)<0,
解得:0<x<2,即A={x|0<x<2},
由B中的不等式解得:x≥1,即B={x|x≥1},
∵全集U=R,
∴?UB={x|x<1},
则A∩(?UB)={x|0<x<1}.
故选:A.
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
9. 椭圆(是参数)的离心率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 已知点在椭圆上,则以点为顶点的椭圆的内接矩形的面积是( )
A. 12 B. 24 C. 48 D. 与的值有关
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. F1 F2分别是双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上一点,I是的内心,且,则= _________.
参考答案:
略
12. 设等差数列的前项和为,若,则的最大值为__________。
参考答案:
4
略
13. 如右图,正方体中,是的中点,是侧面上的动 点,且//平面,则与平面所成角的正切值的最小值是
参考答案:
2
14. 经过两条直线2x+y+2=0和3x+4y﹣2=0的交点,且垂直于直线3x﹣2y+4=0的直线方程为 .
参考答案:
2x+3y﹣2=0
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆.
【分析】联立直线的方程可得交点的坐标,由垂直关系可得所求直线的斜率,由此可得直线的点斜式方程,化为一般式即可.
【解答】解:联立,解之可得,
故可得交点的坐标为(﹣2,2),
又可得直线3x﹣2y+4=0的斜率为,
故所求直线的斜率为﹣,
故可得直线的方程为:y﹣2=﹣(x+2),
化为一般式可得2x+3y﹣2=0.
故答案为:2x+3y﹣2=0.
【点评】本题考查直线的交点坐标,涉及直线的一般式方程和垂直关系,属中档题.
15. 所给命题:
①菱形的两条对角线互相平分的逆命题;
②{x|x2+1=0,x∈R}=?或{0}=?;
③对于命题:“p且q”,若p假q真,则“p且q”为假;
④有两条边相等且有一个内角为60°是一个三角形为等边三角形的充要条件.
其中为真命题的序号为 .
参考答案:
③④
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】①,原命题的逆命题是“对角线互相平分的四边形是菱形“,对角线互相平分的四边形不一定是菱形;
②,{0}中有一个元素0,?中一个元素都没有;
③,若p、q中只要有一个是假,则“p且q”为假;
④,满足有两条边相等且有一个内角为60° 的三角形一定为等边三角形,等边三角形一定满足两条边相等且有一个内角为60°.
【解答】解:对于①,原命题的逆命题是“对角线互相平分的四边形是菱形”,对角线互相平分的四边形不一定是菱形,故错
对于②,{0}中有一个元素0,?中一个元素都没有,故错;
对于③,若p、q中只要有一个是假,则“p且q”为假,故正确;
对于④,满足有两条边相等且有一个内角为60° 的三角形一定为等边三角形,等边三角形一定满足两条边相等且有一个内角为60°,故正确.
故答案为:③④
16. 在极坐标系中,已知两点,,则线段PQ的长度为__________.
参考答案:
4
【分析】
可将点P和点Q先化为直角坐标系下的点,从而利用距离公式求解.
【详解】根据,可将化为直角坐标点为,将化为直角坐标点为,从而.
【点睛】本题主要考查极坐标点和直角坐标点的互化,距离公式,难度不大.
17. 欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,表示的复数在复平面中位于第_______象限.
参考答案:
三
【分析】
e-3i=cos3-isin3,由三角函数值的符号及其复数的几何意义即可得出.
【详解】由题e-3i=cos3-isin3,又cos3<0, sin3>0,故表示的复数在复平面中位于第三象限.
故答案为三
【点睛】本题考查了欧拉公式、三角函数求值及其复数的几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知数列是首项,公比的等比数列,设,数列满足.
(Ⅰ)求证:是等差数列;
(Ⅱ)求数列的前项和;
(Ⅲ)若对一切正整数恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)由题意知,
∴数列
的等差数列
(Ⅱ)由(1)知,
于是
两式相减得
(Ⅲ)
∴当n=1时,,当
∴当n=1时,取最大值是, 又
19. 本题满分12分)如图,已知是直角梯形,且,平面平面,,,, 是的中点.(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角大小的余弦值.
参考答案:
(2) 平面与平面所成锐二面角大小的余弦值为
略
20. (本小题满分12分)设,若是的必要不充分条件,求实数的取值范围。
参考答案:
设命题p,q所在的集合分别为P,Q,
,p是q的必要不充分条件,则Q 是P的真子集,
21. (本题满分12分)
已知函数的定义域为集合A,集合 B=.
(Ⅰ)当m=3时,求AB;
(Ⅱ)求使BA的实数m的取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ)当m=3时,,,∴AB={|3<<10};
(Ⅱ) B={|<<2+1}
1o若时,A=Ф,不存在使BA
2o若>时, 要使BA,必须 解得2≤≤3
3o若<时,,要使BA,必须
解得 ,故的范围.
22. 函数
(1)时,求最小值;
(2)若在是单调减函数,求取值范围.
参考答案:
(1)时
时时
单减,在单增
时有最小值1 ……………………………………………6分
(2)
在为减函数,则
恒成立,最小值 ……………………………………9分
令
则
……………………………13分
略