山东省淄博市遄台中学高一数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知两点O(0,0),Q(,b),点P1是线段OQ的中点,点P2是线段QP1的中点,P3是线段P1P2的中点,┅,是线段的中点,则点的极限位置应是 ( )
A.(,) B.() C.() D. ()
参考答案:
C
2. 在区间(0,2)上随机地取出两个数x,y,满足的概率为,则实数k=( )
A. 2 B. 4 C. D.
参考答案:
D
【分析】
根据题意作出平面区域,结合与面积有关的几何概型,即可求出结果.
【详解】在区间上随机地取出两个数,则对应的区域为边长为2的正方形区域,其面积为;
在正方形区域内作出所表示的图像如下:
阴影部分所表示区域,即为所表示区域;
由得,因此阴影部分面积为,
因为在区间上随机地取出两个数,满足概率为,
所以,解得.
故选D
【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型,熟记概率计算公式即可,属于常考题型.
3. 已知集合,等于( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
4. 设函数,对于给定的正数K,定义函数
,若对于函数定义域内的任意 ,恒有,则( )
A.K的最小值为1 B. K的最大值为1
C.K的最小值为 D. K的最大值为
参考答案:
C
略
5. 在中,分别是角所对边的边长,若则的值是( )
参考答案:
D
解析:,∴
∴即
∴∴,∴,,故选B
6. 已知函数时取最小值,则该函数的解析式为()
A. B.
C. D.
参考答案:
B
7. 若一个球的表面积为4,则这个球的体积是( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
B
8. △ABC中,,,,则等于( )
A. B. C. 或 D 或
参考答案:
C
9. 下列命题中不正确的是( ).
A.存在这样的和的值,使得
B.不存在无穷多个和的值,使得
C.对于任意的和,都有
D.不存在这样的和值,使得
参考答案:
B
略
10. 9=( )
A.9 B. C.27 D.
参考答案:
D
【考点】有理数指数幂的化简求值.
【分析】根据分数指数幂的运算法则进行化简.
【解答】解:9==,
故选:D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数,现有如下几个命题:
①该函数为偶函数;
②是该函数的一个单调递增区间;
③该函数的最小周期为;
④该函数的图像关于点对称;
⑤该函数的值域为.
其中正确命题的编号为 .
参考答案:
②③
对于①,因为,,不满足,所以该函数不是偶函数,①不正确;
对于②,时,,,
所以, ,满足函数单增,所以②正确;
对于③,易知的最小正周期为,的最小正周期为,所以的最小正周期为,③正确;
对于④,,由于,所以该函数的图像不会关于点对称,④不正确;
对于⑤,有, ⑤不正确.
故答案为:②③.
12. 若向量 与 的夹角为30°,且 的夹角的余弦值为 。
参考答案:
解析:设 与 的夹角为θ,则 (1)
又
即:
即: (4)
∴将(2)(3)(4)代入(1)得
13. 对于以下4个说法:①若函数在上单调递减,则实数;②若函数是偶函数,则实数;③若函数在区间上有最大值9,最小值,则;④的图象关于点对称。其中正确的序号有 ▲ 。
参考答案:
略
14. 集合,则_____________
参考答案:
15. 已知集合,那么集合为 ▲ .
参考答案:
16. 设,则函数的最大值为___________.
参考答案:
9
略
17. 集合{1,2}的子集有 个.
参考答案:
4
【考点】子集与真子集.
【专题】集合思想;综合法;集合.
【分析】写出集合{1,2}的所有子集,从而得出该集合的子集个数.
【解答】解:{1,2}的子集为:?,{1},{2},{1,2},共四个.
故答案为:4.
【点评】考查列举法表示集合,子集的概念,不要漏了空集?.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数。
(1)求函数f(x)的周期;
(2)求函数f(x)的单增区间;
(3)求函数f(x)在上的值域。
参考答案:
(1)函数
……………………(4分)
(2)由
得
单调增区间为…………………(8分)
(3)由
……………………(12分)
19. 已知全集U={2,3,x2+2x﹣3},集合A={2,|x+7|},且有?UA={5},求满足条件的x的值.
参考答案:
【考点】补集及其运算.
【分析】根据集合的关系得到关于x的方程组,求出x的值即可.
【解答】解:由题意得,
由|x+7|=3,得:x=﹣4或﹣10,
由x2+2x﹣3=5,得:x=﹣4或2,
∴x=﹣4.
20. 手机支付也称为移动支付,是指允许移动用户使用其移动终端(通常是手机)对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式.继卡类支付、网络支付后,手机支付俨然成为新宠.某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度,对15-65岁的人群随机抽样调查,调查的问题是“你会使用移动支付吗?”其中,回答“会”的共有100个人,把这100个人按照年龄分成5组,然后绘制成如图所示的频率分布表和频率分布直方图.
组数
第l组
第2组
第3组
第4组
第5组
分组
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
频数
20
36
30
10
4
(1)求x;
(2)从第l,3,4组中用分层抽样的方法抽取6人,求第l,3,4组抽取的人数:
(3)在(2)抽取的6人中再随机抽取2人,求所抽取的2人来自同一个组的概率.
参考答案:
(1) ;(2) 第1组2人,第3组3人,第4组1人;(3)
【分析】
(1)直接计算.
(2)根据分层抽样的规律按照比例抽取.
(3)设第1组抽取的2人为,,第3组抽取的3人为,,,第4组抽取的1人为,排列出所有可能,再计算满足条件的个数,相除得到答案.
【详解】解:(1)由题意可知,
,
(2)第1,3,4组共有60人,所以抽取的比例是
则从第1组抽取的人数为,从第3组抽取的人数为,从第4组抽取的人数为;
(3)设第1组抽取的2人为,,第3组抽取的3人为,,,第4组抽取的1人为,则从这6人中随机抽取2人有如下种情形:
,,,,,,,,,,,,,,共有15个基本事件.
其中符合“抽取的2人来自同一个组”的基本事件有,,,共4个基本事件,
所以抽取的2人来自同一个组的概率.
【点睛】本题考查了频率直方图,分层抽样,概率的计算,意在考查学生解决问题的能力.
21. (12分)求下列式子的值:
(1)()2﹣20150﹣();
(2)log3+lg25+lg4.
参考答案:
考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值.
专题: 函数的性质及应用.
分析: (1)直接利用指数的运算法则求解即可.
(2)利用对数的运算法则求解即可.
解答: (本题得分说明:只要其中一个数变形正确都得分)
(1)原式=﹣1﹣…(3分)
=﹣1﹣ …(4分)
=﹣1﹣ …(5分)
=﹣1…(6分)
(2)原式=+lg(25×4)=+lg102== …(6分)
(说明:第一、二步各(2分),第三、四各1分)
点评: 本题考查对数以及指数的运算法则,基本知识的考查.
22. (8分)已知f(x)=tanx+log2+1.
(Ⅰ)求f()+f(﹣)的值;
(Ⅱ)若f(sinθ)>f(cosθ),θ为锐角,求θ的取值范围.
参考答案:
考点: 函数单调性的性质;函数奇偶性的性质;函数的值.
专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用.
分析: (Ⅰ)容易求得f(﹣x)+f(x)=2,所以;
(Ⅱ)求f′(x),能够判断f′(x)>0,所以得出f(x)在(﹣1,1)上单调递增,因为θ为锐角,所以由f(sinθ)>f(cosθ)得到,解该不等式即得θ的取值范围.
解答: (Ⅰ)f(﹣x)+f(x)=tan(﹣x)+tanx+=2;
∴f()=2;
(Ⅱ)解得,﹣1<x<1;
f′(x)=;
∴f(x)在(﹣1,1)上是增函数;
∴由f(sinθ)>f(cosθ),θ为锐角得:
;
∴;
∴θ的取值范围为().
点评: 考查tan(﹣x)=﹣tanx,对数的运算法则,以及(tanx)′,复合函数的求导,根据导数符号判断函数单调性的方法,正弦线和余弦线的应用.