山西省太原市第五十二中学2022年高一数学理模拟试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在人们熟悉的“进位制”，下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满六进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）
A．36 B．56 C．91 D．336
参考答案：
B
2. 样本的平均数为,样本的平均数为,则样本 的平均数为 ( )
A. B. C. 2 D.
参考答案：
B
略
3. 设（a>0，a≠1），对于任意的正实数x，y都有（ ）
A.f(xy)=f(x)f(y) B.f(x+y)=f(x)f(y)
C.f(xy)=f(x)+f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y)
参考答案：
C
略
4. 已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
试题分析：函数的图象的对称轴方程为，故函数在区间上单调递增，因为根据函数在上有零点，可得，求得，故选C
考点：二次函数的性质及零点定理.
5. 在边长为1的正方形ABCD中，等于（ ）
A．0 B．1 C． D．3
参考答案：
B
【考点】9A：向量的三角形法则．
【分析】根据向量的加法法则即可求出
【解答】解：利用向量加法的几何性质，得++=
∴=||=1，
故选：B
6. 如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）
A. B. C. D. 3
参考答案：
A
【分析】
首先根据三视图画出几何体的直观图，进一步利用几何体的体积公式求出结果．
【详解】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：
故：V．
故选：A．
【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
7. 定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等实数a，b，总有成立，则必有( )
A．函数f（x）是先增加后减少 B．函数f（x）是先减少后增加
C．f（x）在R上是增函数 D．f（x）在R上是减函数
参考答案：
C
【考点】函数单调性的判断与证明．
【专题】证明题．
【分析】比值大于零，说明分子分母同号，即自变量与函数值变化方向一致，由增函数的定义可得结论．
【解答】解：任意两个不相等实数a，b，总有成立，即有a＞b时，f（a）＞f（b），a＜b时，f（a）＜f（b），由增函数的定义知：函数f（x）在R上是增函数．
故选C
【点评】本题主要考查增函数定义的变形．
8. 下列函数中既是奇函数，又是其定义域上的增函数的是（ ）
A．y=|x| B．y=lnx C．y=x D．y=x﹣3
参考答案：
C
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】根据奇函数、偶函数的定义，奇函数图象的特点，以及增函数的定义便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．
【解答】解：A．y=|x|为偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；
B．根据y=lnx的图象知该函数非奇非偶，∴该选项错误；
C.，，∴该函数为奇函数；
x增大时，y增大，∴该函数为在定义域R上的增函数，∴该选项正确；
D．y=x﹣3，x＞0，x增大时，减小；
∴该函数在（0，+∞）上为减函数，在定义域上没有单调性；
∴该选项错误．
故选：C．
【点评】考查偶函数、奇函数的定义，奇函数图象的对称性，增函数的定义，以及反比例函数的单调性，知道函数在定义域上没有单调性．
9. ①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；
②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．
I．简单随机抽样法；
Ⅱ．分层抽样法．
上述两问题和两方法配对正确的是（ ）
A．①配I，②配Ⅱ B．①配Ⅱ，②配Ⅰ C．①配I，②配I D．①配Ⅱ，②配Ⅱ
参考答案：
B
【考点】B3：分层抽样方法；B2：简单随机抽样．
【分析】由题意知①的总体中个体明显分层两，用分层抽样，②的总体中个体的数目不大用简单分层抽样．
【解答】解：①、总体中个体明显分层两层：来自城镇的学生和来自农村的学生，故用分层抽样来抽取样本；
②，总体中个体的数目是100，不是很大，故用简单分层抽样来抽取样本．
故选B．
【点评】本题的考点是选择抽样方法，即根据总体的特征和抽样方法适用的条件进行选择最佳方法．
10. 下列四个函数中，图象可能是如图的是（ ）
A． B．
C. D．
参考答案：
D
函数的图形为：
，
函数的图像为：
，
函数的图像为：
，
函数的图像为：
，
将选项与题中所给的图像逐个对照，得出D项满足条件，
故选D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 三棱锥P-ABC的两侧面PAB，PBC都是边长为2的正三角形，AC=，则二面角A—PB—C的大小为 ．
参考答案：
略
12. 已知R，映射，若的象是，则=______________．
参考答案：
3或-1
略
13. ，集合，，若，则的值等于________；
参考答案：
略
14. 函数的定义域为__________．
参考答案：
要使函数有意义，则必须，解得：，
故函数的定义域为：．
15. 已知|b|＝2，a与b的夹角为120°，则b在a上的射影为__________．
参考答案：
-1
16. 设函数的定义域是, 则实数的范围为________
参考答案：
17. 已知sinx＝2cosx，则sin2x＋1＝________.
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x2+2x．
（1）写出函数f（x）在x∈R的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值．
参考答案：
考点： 函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．
专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）根据函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（﹣x）=f（x），且当x≥0时f（x）=x2+2x．可求出x＜0时函数f（x）的解析式，综合可得函数f（x）的解析式
（2）根据（1）可得函数g（x）的解析式，结合二次函数的图象和性质，对a进行分类讨论，进而可得函数g（x）的最小值的表达式．
解答： 解：（ 1）当x＜0时，﹣x＞0，
∵函数f（x）是偶函数，故f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2+2x…（2分）
所以f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2+2（﹣x）=x2﹣2x，…（4分）
所以f（x）=，
（2）∵g（x）=f（x）﹣2ax+2=x2+2（1﹣a）x+2的图象开口朝上且以直线x=a﹣1为对称，
又∵x∈[1，2]，
当a﹣1≤1时，g（x）在[1，2]上为增函数，故当x=1时，g（x）取最小值5﹣2a，
当1＜a﹣1≤2时，g（x）在[1，a﹣1]上为减函数，在[a﹣1，2]上为增函数，故当x=a﹣1时，g（x）取最小值﹣a2+2a+1，
当a﹣1＞2时，g（x）在[1，2]上为减函数，故当x=2时，g（x）取最小值10﹣4a，
综上：函数g（x）的最小值为
点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数解析式的求法，二次函数在定区间上的最值问题，是二次函数图象与性质与奇偶性的综合考查，难度不大，属于基础题．
19. 已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=25，且a1，a2，a5成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
（2）令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
参考答案：
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列方程组求出首项和公差即可得出an，Sn；
（2）使用裂项法求和．
【解答】解：（1）∵S5=25，且a1，a2，a5成等比数列，
∴，
又d≠0，解得a1=1，d=2．
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，
Sn==n2．
（2）bn=﹣=（﹣）．
∴Tn=（1﹣++…+﹣）=（1﹣）=．
20. （10分）已知函数f（x）=x2+2ax+2x∈[﹣5，5]
（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的最大值和最小值．
（2）函数g=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数，求实数a的范围．
参考答案：
考点： 二次函数在闭区间上的最值；函数的单调性及单调区间．
专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）a=﹣1时得出f（x），并对其配方，通过观察配方后的解析式即可得到f（x）的最大值和最小值；
（2）先求出二次函数f（x）的对称轴x=﹣a，由f（x）在[﹣5，5]上是单调函数及二次函数的单调性即可得到关于a的不等式，解不等式即可求出a的范围．[来源:Z。xx。k.Com]
解答： （1）a=﹣1，f（x）=（x﹣1）2+1；
∴f（1）=1是f（x）的最小值，f（﹣5）=37是f（x）的最大值；
（2）f（x）的对称轴为x=﹣a；
∵f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数；
∴﹣a≤﹣5，或﹣a≥5；
∴a≥5，或a≤﹣5；
∴实数a的范围为（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）．
点评： 考查配方求二次函数在闭区间上的最值的方法，二次函数的对称轴，以及二次函数的单调性．
21. (本小题满分12分)设f(x)为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x；当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点在P(3,4)，且过点A(2,2)的二次函数图象的一部分．
(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；
(2)在直角坐标系中直接画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
参考答案：
(1)由条件可得当x>2时，函数解析式可以设为f(x)＝a(x－3)2＋4，
又因为函数f(x)过点A(2,2)，代入上述解析式可得
2＝a(2－3)2＋4，解得a＝－2.
故当x>2时，f(x)＝－2(x－3)2＋4.
当x<－2时，－x>2，又因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－2(x＋3)2＋4.
所以当x∈(－∞，－2)时，
函数的解析式为f(x)＝－2(x＋3)2＋4.
(2)根据偶函数的图象关于y轴对称，故只需先作出函数f(x)在[0，＋∞)上的图象，然后再作出它关于y轴的对称图象即可．
又因为
所以函数f(x)的图象如图所示．
(3)根据函数的图象可得函数f(x)的值域为(－∞，4]．
22. （本小题满分13分）已知点是直线上一动点，是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为？
参考答案：
C:，圆心C（0，1），半径为1；……………2分
如图，…………………4分
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