河南省三门峡市育才中学高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知点、、、,则向量在方向上的投影为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
2. 已知等差数列满足,,则前n项和取最大值时,n的值为
A.20 B.21 C.22 D.23
参考答案:
B
略
3. 已知数列满足,,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
4. 如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C:x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点,则实数λ的取值范围是( )
A.{2}∪(4,+∞) B.(2,+∞) C.{2,4} D.(4,+∞)
参考答案:
A
【考点】直线与圆相交的性质.
【专题】直线与圆.
【分析】根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C:x2+y2=λ的图象,抓住两个关键点,当圆O与两射线相切时,两函数图象恰好有两个不同的公共点,过O作OC⊥AB,由三角形AOB为等腰直角三角形,利用三线合一得到OC为斜边AB的一半,利用勾股定理求出斜边,即可求出OC的长,平方即可确定出此时λ的值;当圆O半径为2时,两函数图象有3个公共点,半径大于2时,恰好有2个公共点,即半径大于2时,满足题意,求出此时λ的范围,即可确定出所有满足题意λ的范围.
【解答】解:根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C:x2+y2=λ的图象,如图所示,
当AB与圆O相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点,过O作OC⊥AB,
∵OA=OB=2,∠AOB=90°,
∴根据勾股定理得:AB=2,
∴OC=AB=,此时λ=OC2=2;
当圆O半径大于2,即λ>4时,两函数图象恰好有两个不同的公共点,
综上,实数λ的取值范围是{2}∪(4,+∞).
故选A
【点评】此题考查了直线与圆相交的性质,利用了数形结合的思想,灵活运用数形结合思想是解本题的关键.
5. 当时,下面的程序段输出的结果是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
6. 设直线的倾角为,则它关于轴对称的直线的倾角是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
7. 已知i为虚数单位,复数,则复数z的虚部为
A. 1 B. -1 C. -i D. i
参考答案:
B
由题意得,
所以复数z的虚部为-1.选B.
8. 是椭圆的两个焦点,为椭圆上一点,且∠,则Δ的面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】平面的基本性质及推论.
【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离.
【分析】利用公理三及推论判断求解.
【解答】解:在A图中:分别连接PS,QR,
则PS∥QR,
∴P,S,R,Q共面.
在B图中:过P,Q,R,S可作一正六边形,如图,故P,Q,R,S四点共面.
在C图中:分别连接PQ,RS,
则PQ∥RS,∴P,Q,R,S共面.
D图中:PS与RQ为异面直线,
∴P,Q,R,S四点不共面.
故选:D.
【点评】本题考查四点不共面的图形的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意平面性质及推论的合理运用.
10. 若椭圆的两个焦点F1,F2,M是椭圆上一点,且|MF1|-|MF2|=1,则△MF1F2是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设是定义在上的奇函数,当时,,则______.
参考答案:
-3
略
12. y=kx+1在区间(-1,1)上恒为正数,则实数k的范围是 .
参考答案:
(﹣1,1)
考点: 一次函数的性质与图象.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 函数f(x)=kx+1 在(-1,1)上恒为正数,则,解得实数k的范围.
解答: 解:函数f(x)=kx+1 在上恒为正数,
则,
即,
解得:k∈(﹣1,1),
故实数k的范围是(﹣1,1),
故答案为:(﹣1,1)
点评: 本题考查的知识点是一次函数的性质与图象,其中根据已知得到,是解答的关键.
13. 下列命题中,真命题的序号是 .
①中,
②数列{}的前n项和,则数列{}是等差数列.
③锐角三角形的三边长分别为3,4,,则的取值范围是.
④等差数列{}前n项和为,已知+-=0,=38,则m=10.
参考答案:
①③④
14. 已知平面
(1)
当条件______成立时,有 当条件_______成立时,有(填所选条件的序号)
参考答案:
(3)(5),(2)(5)
略
15. 若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是________.
参考答案:
[-3,0]
略
16. 已知复数,,,它们所对应的点分别为、、,若,则的值是___________.
参考答案:
5
略
17. 已知函数 .若,则x=__________.
参考答案:
因为,
所以当时,得,即.
当时,得,即,舍去.
所以所求.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中,设A、B、C的对边分别为a、b、c,
(1)若a=2且(2+b)?(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,求△ABC面积S的最大值
(2)△ABC为锐角三角形,且B=2C,若=(sinA,cosA),=(cosB,sinB),求|3﹣2|2的取值范围.
参考答案:
【考点】余弦定理的应用;平面向量数量积的运算;正弦定理.
【分析】(1)利用正弦定理可将已知条件化成a2﹣b2=c2﹣bc,再用余弦定理得出A,利用余弦定理和基本不等式可得出bc≤4,带入面积公式S△ABC=bcsinA即可就出最大值.
(2)展开得|3﹣2|2=13﹣12sinC,然后利用△ABC为锐角三角形,且B=2C判断C的范围.
【解答】解:(1)∵(2+b)?(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,
∴(2+b)?(a﹣b)=(c﹣b)c,
∵a=2,
∴(a+b)?(a﹣b)=(c﹣b)c,
即a2﹣b2=c2﹣bc,
∴bc=b2+c2﹣a2.
∴cosA==.
∴A=.
∵a2=b2+c2﹣2bc?cosA=b2+c2﹣bc≥bc,
∴bc≤a2=4.
∴S△ABC=bcsinA=≤.当且仅当b=c时取等号.
∴△ABC的面积最大值为.
(2)∵=(sinA,cosA),=(cosB,sinB),
∴=1, =1, =sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC.
∴|3﹣2|2=9﹣12+4=13﹣12sinC.
∵△ABC为锐角三角形,
∴0<A<,0<B<,0<C<.
∵B=2C,A+B+C=π,
∴C=
∴<C<.
∴<sinC<.
∴13﹣6<13﹣12sinC<7.
∴|3﹣2|2的取值范围是(13﹣6,7).
【点评】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用,向量运算及三角函数,属于中档题.
19. 求过点且满足下列条件的直线方程:
(1)倾斜角等于直线的倾斜角的二倍的直线方程; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2) 在两坐标轴上截距相等的直线方程。
参考答案:
解析:(1) 由题可知
所以的方程为:
(2) 当直线过原点时的方程为: 当直线不过原点时的方程为:
20. (本小题满分12分)设函数
(1)求函数的极值
(2)若关于的方程有三个不同的根,求实数的取值范围
参考答案:
当时,函数有极大值是
当时,函数有极小值是
略
21. (本小题满分12分)在Δ中,角、、的对边分别是、、,且,
(Ⅰ)求角的值;
(Ⅱ)若,求Δ的面积。
参考答案:
(Ⅰ),,
(Ⅱ),
,。
,,;
Δ的面积为。
22. (本小题10分)点A、B分别是以双曲线的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆C上,且位于x轴上方,
(1)求椭圆C的的方程;(2)求点P的坐标.
参考答案:
解(1)已知双曲线实半轴a1=4,虚半轴b1=2,半焦距c1=,
∴椭圆的长半轴a2=c1=6,椭圆的半焦距c2=a1=4,
椭圆的短半轴=,
∴所求的椭圆方程为 ……………………4分
(2)由已知,,设点P的坐标为,则
由已知得
…………………… 6分
则,解之得,……………………8分
由于y>0,所以只能取,于是,所以点P的坐标为…10分
略