河南省鹤壁市试验中学高二数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知样本x1,x2,…xm的平均数为,样本y1,y2,…yn的平均数,若样本x1,x2,…xm,y1,y2,…yn的平均数=α+(1﹣α),其中0<α≤,则m,n的大小关系为( )
A.m<n B.m>n C.m≤n D.m≥n
参考答案:
C
【考点】众数、中位数、平均数.
【专题】计算题;对应思想;概率与统计.
【分析】易知x1+x2+…+xm=m,y1+y2+…+yn=n,从而可得=+,从而解得.
【解答】解:由题意知,
x1+x2+…+xm=m,y1+y2+…+yn=n,
故==+,
故0<≤,
故m≤n,
故选:C.
【点评】本题考查了平均数的求法及应用.
2. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理 定价,将该产品按事先拟定的价格进行试 销,得到数据如右表.预计在今后的销售 中,销量与单价仍然服从
( ,)的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润(利润=销售收入-成本),该产品的单价应定为( )元
A. B.8 C. D.
参考答案:
C
略
3. 若命题p:0是偶数,命题q:2是3的约数.则下列命题中为真的是( )
A.p且q B.p或q C.非p D.非p且非q
参考答案:
B
【考点】复合命题的真假.
【分析】结合复合命题之间的关系进行判断即可.
【解答】解:命题p:0是偶数为真命题.
命题q:2是3的约数为假命题,
则p且q为假命题,p或q为真命题,非p为假命题,非p且非q为假命题,
故选:B.
4. 若且,则下列四个数中最大的是
A. B. C. 2ab D.
参考答案:
C
略
5. 下列命题中为真命题的是( )
A.平行于同一条直线的两个平面平行
B.垂直于同一条直线的两个平面平行
C.若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等,则这两个平面平行.
D.若三直线a、b、c两两平行,则在过直线a的平面中,有且只有—个平面与b,c均平行.
参考答案:
B
6. 用清水漂洗衣服,假定每次能洗去污垢的,若要使存留的污垢不超过原有的,则至少要漂洗( )
A. 3次 B. 4次 C. 5次 D.6次以上
参考答案:
B
7. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为( )
A.18 B.24 C.30 D.36
参考答案:
C
8. 在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a正确的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】确定直线位置的几何要素.
【专题】数形结合.
【分析】本题是一个选择题,按照选择题的解法来做题,由y=x+a得斜率为1排除B、D,由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增,则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上;若y=ax递减,则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上,得到结果.
【解答】解:由y=x+a得斜率为1排除B、D,
由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增,则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上;
若y=ax递减,则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上;
故选C.
【点评】本题考查确定直线为主的几何要素,考查斜率和截距对于一条直线的影响,是一个基础题,这种题目也可以出现在直线与圆锥曲线之间的图形的确定.
9. 一几何体的三视图如图所示,其中网格纸中每个小正方形的边长为1,则该几何体的表面积为
A. 42+6π B. 42+10π C. 46+6π D. 46+10π
参考答案:
B
原几何体是由一个半圆柱与长方体拼接而成,半圆柱的底面半径为2,高为3,长方体的长为4,宽为1,高为3,故该几何体的表面积为.
10. 设Sn为等比数列{an}的前n项和,若8a2+a5=0,则等于( )
A. B.5 C.﹣8 D.﹣11
参考答案:
D
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】利用等比数列的通项公式求出公比为﹣2,由此利用等比数列的前n项和公式能求出结果.
【解答】解:∵Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,
∴=0,解得q=﹣2,
∴===﹣11.
故选:D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”,正确的假设是
参考答案:
三角形的内角中至少有两个钝角
12. 已知函数y=f(x)恒满足f(x+2)=f(x),且当x∈[﹣1,1]时,f(x)=2|x|﹣1,则函数g(x)=f(x)﹣|lgx|在R上的零点的个数是 .
参考答案:
8
【考点】3P:抽象函数及其应用.
【分析】作出f(x)与y=|lgx|的函数图象,根据函数图象的交点个数得出答案.
【解答】解:∵f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期为2,
令g(x)=0得f(x)=|lgx|,
作出y=f(x)与y=|lgx|的函数图象如图所示:
由图象可知f(x)与y=|lgx|在(0,1)上必有1解,
又f(x)的最小值为,f(x)的最大值为1,
∵lg2<lg=,lg4>lg=,lg9<1,lg11>1,
∴f(x)与y=|lgx|在(10,+∞)上没有交点,
结合图象可知f(x)与y=|lgx|共有8个交点,
∴g(x)共有8个零点.
故答案为:8.
13. 已知A、B是椭圆+=1的两个顶点,C、D是椭圆上两点,且分别在AB两侧,则四边形ABCD面积最大值是 .
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】四边形ABCD面积=S△ABD+S△ABC,AC是固定的直线,可判断两条平行直线与AB平行时,切点为C,D,此时h1,h2最大,面积最大时,利用导数求出D(2,)
再利用对称性得出C(﹣2,),|AC|=5,最后利用点到直线的距离,求出即可.
【解答】解:∵A、B是椭圆+=1的两个顶点,
∴A(4,0),B(0,3),
∴直线AB的方程为:3x﹣4y﹣12=0,
当如图两条平行直线与AB平行时,切点为C,D,
此时四边形ABCD面积最大值:S=AC(h1+h2),kAC=
y=3,
y′==
x=2,y=,D(2,)
根据对称性可知:C(﹣2,),|AC|=5
h1=,h2=,
S=AC(h1+h2)=××=
【点评】本题考查了椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置故关系,利用数形结合的思想判断出最值的位置,再利用导数求解,即可得需要的点,用公式求解即可.
14. 定义在上的函数的导函数恒成立,且,若,则的最小值是
参考答案:
16
15. 函数在时取得极值,则实数_______.
参考答案:
a= -2
略
16. 如图所示,图中曲线方程为y=x2﹣1,则围成封闭图形(阴影部分)的面积是 .
参考答案:
2
【考点】定积分;定积分的简单应用.
【分析】利用定积分的几何意义表示阴影部分面积,然后计算定积分.
【解答】解:曲线方程为y=x2﹣1,则围成封闭图形(阴影部分)的面积是
=(x﹣)|+()|=2;
故答案为:2.
17. 函数的定义域为 ▲ .
参考答案:
「2,4)
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设函数f(x)=x3﹣3ax2+3bx的图象与直线12x+y﹣1=0相切于点(1,﹣11).
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性.
参考答案:
【考点】导数的几何意义;函数单调性的判断与证明.
【分析】(Ⅰ)函数在切点处的导数值为切线斜率,切点在切线上,列方程解.
(Ⅱ)导函数大于0对应区间是单调递增区间;导函数小于0对应区间是单调递减区间.
【解答】解:(Ⅰ)求导得f′(x)=3x2﹣6ax+3b.
由于f(x)的图象与直线12x+y﹣1=0相切于点(1,﹣11),
所以f(1)=﹣11,f′(1)=﹣12,即:
1﹣3a+3b=﹣11,3﹣6a+3b=﹣12
解得:a=1,b=﹣3.
(Ⅱ)由a=1,b=﹣3得:f′(x)=3x2﹣6ax+3b=3(x2﹣2x﹣3)=3(x+1)(x﹣3)
令f′(x)>0,解得x<﹣1或x>3;
又令f′(x)<0,解得﹣1<x<3.
故当x∈(﹣∞,﹣1)时,f(x)是增函数,
当x∈(3,+∞)时,f(x)也是增函数,
但当x∈(﹣1,3)时,f(x)是减函数.
19. 如图,直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱),底面中
,棱,分别为D的中点.
(I )求 >的值;
(II)求证:
(III)求.
参考答案:
以C为原点,CA、CB、CC1所在的直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的坐标系-
(I)依题意得,∴
∴ , ∴>=
(II) 依题意得 ∴ ,
∴ ,,
∴
∴ ,
∴
∴ (Ⅲ)
20. (本题满分14分)
已知直线(为参数),圆(为参数)
(1)当=时,求与的交点坐标;
(2)过坐标原点O作的垂线,垂足为A,P为OA的中点.当变化时,求P点轨迹的参数方程,
并指出它是什么曲线.
参考答案:
解:(1)当α=时,C1的普通方程为y= (x-1),C2的普通方程为x2+y2=1.(4分)
联立方程组 (6分)
(2)C1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0.(7分)
A点坐标为(sin2α,-cosαsinα).(9分)
故当α变化时,P点轨迹的参数方程为
21. 已知的展开式的二项式系数和比(3x-1)n的展开式的二项式系数和大992. 求的展开式中:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项.
参考答案:
略
22. (本小题满分14分)已知点A(2,8),B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线上,△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合(如图)
(1)写出该抛物线的方程和焦点F的坐标;
(2)求线段BC中点M的坐标;
(3)求BC所在直线的方程.
参考答案:
(1)由点A(2,8)在抛物线上,有,
解得p=16. 所以抛物线方程为,焦点F的坐标为(8,0).------4分
(2)如图,由于F(8,0)是△ABC的重心,M是BC的中点,所以F是线段AM的定比分点,且,设点M的坐标为,则,(也可由向量求得)
解得,所以点M的坐标为(11,-4). ------9分
(3)由于线段BC的中点M不在x轴上,所以BC所在
的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为:
由消x得,
所以,由(2)的结论得,解得
因此BC所在直线的方程为: ------14分