湖南省永州市大水中学高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知1,a1,a2,9四个实数成等差数列, -1,b1,b2,b3, -9五个实数成等比数列,则b2(a2-a1)的值为 ( )
A. 8 B.-8 C.±8 D.
参考答案:
B
略
2. 已知函数是定义在R上的增函数,则实数a的取值范围是
A、0<a ≤ 1 B、0<a <1 C、0<a ≤ 2 D、0<a <2
参考答案:
A
由题意:,解之得:
3. A={2,3,4},B={0,2,3,5}则A∩B=
A.{0,2,4} B.{2,3} C.{3,5} D.{0,2,3,4,5}
参考答案:
B
4. 大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和.是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…,则此数列第20项为( )
A.180 B.200 C.128 D.162
参考答案:
B
【考点】81:数列的概念及简单表示法.
【分析】0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…,可得偶数项的通项公式:a2n=2n2.即可得出.
【解答】解:由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…,
可得偶数项的通项公式:a2n=2n2.
则此数列第20项=2×102=200.
故选:B.
5. 如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图,则由图可估计样本重量的中位数为( )
A.11 B.11.5 C.12 D.12.5
参考答案:
C
【考点】BB:众数、中位数、平均数.
【分析】由题意,0.06×5+x×0.1=0.5,所以x为2,所以由图可估计样本重量的中位数.
【解答】解:由题意,0.06×5+x×0.1=0.5,所以x为2,所以由图可估计样本重量的中位数是12.
故选:C.
【点评】本题考查频率分布直方图,考查样本重量的中位数,考查学生的读图能力,属于基础题.
6. 已知数列{an}满足,若,则a2008的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】8H:数列递推式.
【分析】由于所求项的序号较大,考虑数列是否有周期性,可通过求出足够多的项发现周期性,并应用.
【解答】解:,
a3=2a2﹣1=2×=
a4=2a3=
a5=2a4﹣1=2×=
…
数列的项轮流重复出现,周期是3
所以a2008=a 3×669+1=a1=
故选A
【点评】本题考查利用数列的递推公式求项,当所求项的序号较大时,发现周期性,并应用是此类题目的共同特点.
7. 执行下面的程序框图,如果输入的 ,则输出的y的范围是
(A)[0,1] (B).(1,2] (C)[0,3] (D)[1,3]
参考答案:
C
8. 已知为偶函数,在上为增函数,若,则x的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
9. 的结果是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 如图是挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为
A.84,4.84 B.84,1.6
C.85,1.6 D.85,4
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数在(0,1)上递增,若,则a的取值范围为________.
参考答案:
【分析】
根据函数为偶函数和函数的单调性列不等式组,解不等式组求得a的取值范围.
【详解】由于函数为偶函数,且在(0,1)上递增,所以函数在上递减.由得,所以,解得.
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和函数的单调性,考查不等式的解法,属于中档题.
12. 若命题“,使得”是假命题,则实数的取值范围为__________.
参考答案:
[-1,3]
若命题“,使得”是假命题,
则对,都有,
∴,
即,
解得,
即实数的取值范围为[-1,3].
13. f(x)为奇函数,x>0时,f(x)=sin2x+cosx,则x<0时f(x)= .
参考答案:
sin2x﹣cosx
考点:
函数奇偶性的性质.3259693
专题:
计算题.
分析:
设x<0,则﹣x>0,适合x>0时的解析式,求得f(﹣x)再由f(x)为奇函数,求得f(x).
解答:
解:设x<0,则﹣x>0,
又因为x>0时,f(x)=sin2x+cosx
的以f(﹣x)=cosx﹣sin2x
又因为f(x)为奇函数,
所以f(x)=﹣f(﹣x)=sin2x﹣cosx
故答案为:sin2x﹣cosx
点评:
本题主要利用奇偶性来求对称区间上的解析式,注意求哪个区间上的解析式,要在哪个区间上取变量.
14. 若平面向量与满足:,,则与的夹角为 .
参考答案:
【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角.
【分析】对两边平方,计算,代入夹角公式得出向量的夹角.
【解答】解: =4, =1,
∵,∴+2=7,
∴=1,
∴cos<>==,
∴<>=.
故答案为:.
15. 已知在△ABC和点满足,若存在实数使得成立,则_________.
参考答案:
3
因为点满足,所以点是△ABC的重心,因为重心到顶点的距离与到对边中点的距离的比是,所以
16. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,六个面内与BD成60°角的对角线共有________条.
参考答案:
8
【分析】
是面对角线,在正方体中,各面的对角线相等,面对角线一共有12条,分别在中和在中找到与成角的线,与这些线平行的对角线也是.
【详解】如下图:
在中,与成角的线有,,而,所以有4条;
在中,与成角的线有,而,所以有4条,
一共有8条.
【点睛】本题考查了直线与直线的所成的角.
17. 如图所示,已知平面平面,,垂足为A,,垂足为B,直线,,则直线a与直线l的位置关系是_________.
参考答案:
平行
【详解】∵平面平面,,
又,.
同理.
又,平面.
,.
又,,
平面,.
故答案为:平行
【点睛】本题主要考查线面垂直,熟记线面垂直的判定定理与性质定理即可,属于常考题型.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程;
(Ⅱ)求函数在区间上的值域.
参考答案:
(Ⅰ)
所以函数的周期,
由,得,
所以函数图象的对称轴方程为. ……… 6分
(Ⅱ)因为,所以,
因为在区间上单调递增,在区间上单调递减,
所以当时,取最大值1.
又因为,当时,取最小值,
所以函数在区间上的值域为. ……… 10分
19. 求下列函数的定义域和值域
(1)
(2).
参考答案:
【考点】函数的定义域及其求法;函数的值域.
【分析】(1)利用分式函数性质确定定义域和值域.(2)利用偶次根式的性质求定义域和值域.
【解答】解:(1)要使函数有意义,则4﹣x≠0,即x≠4,
∴函数的定义域为{x|x≠4},
由=,
∵x≠4,,∴≠1,
即函数的值域为{y|y≠﹣1}.
(2)要使函数有意义,则x+1≥0,即x≥﹣1,
∴函数的定义域为{x|x≥﹣1},
设t=,则t2=x+1,即x=t2﹣1,
∴y=2t2﹣2+t=2(),
∵t≥0,
∴函数在[0,+∞)上单调递增,即y≥﹣2.
∴函数的值域为{y|y≥2}.
20. 已知圆C经过A(﹣1,1),且圆心坐标为C(1,1).
(1)求圆C的标准方程;
(2)设直线l经过点(2,2),且l与圆C相交所得的弦长为2,求直线l的方程.
参考答案:
(1)∵圆C经过A(﹣1,1),且圆心坐标为C(1,1).
∴圆半径r=|AC|==2,
∴圆C的标准方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=4.
(2)点(2,2)到圆心C(1,1)的距离d==,
∴点(2,2)在圆C内,
∵直线l经过点(2,2),且l与圆C相交所得的弦长为2,
∴当直线l的斜率k不存在时,直线l的方程为x=2,此时弦长为2,成立;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y﹣2=k(x﹣2),即kx﹣y﹣2k+2=0,
圆心到直线l的距离d====1,解得k=0,
∴直线l的方程为y=2.
综上,直线l的方程为x=2或y=2.
21. .(本题满分14分) 已知是第三象限角,且
⑴ 化简;
⑵ 若,求的值.
参考答案:
解:(1)f()=
== ==-cos
(2) ∵cos()=-sin=,
∴sin=-,
∵ 是第三象限角, ∴cos=-=-,∴f()=-cos=
略
22. (本小题满分10分)
已知函数是定义在上的奇函数,且.
(1)确定函数的解析式;
(2)判断在上的单调性,并用定义证明你的结论;
(3)解不等式.
参考答案:
略