浙江省杭州市獐山中学高二数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知椭圆C: +=1(a>b>0),点M,N,F分别为椭圆C的左顶点、上顶点、左焦点,若∠MFN=∠NMF+90°,则椭圆C的离心率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】K4:椭圆的简单性质.
【分析】由题意画出图形,结合已知可得a,b,c的关系,进一步结合隐含条件可得关于离心率e的方程求解.
【解答】解:如图,
tan∠NMF=,tan∠NFO=,
∵∠MFN=∠NMF+90°,∴∠NFO=180°﹣MFN=90°﹣∠NMF,
即tan∠NFO=,
∴,则b2=a2﹣c2=ac,
∴e2+e﹣1=0,得e=.
故选:A.
【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
2. 椭圆的两个焦点是,为椭圆上与不共线的任意一点,为的内心,延长交线段于点,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
3. 已知定义在R上的奇函数为f(x),导函数为,当时,恒有
,令F(x)=xf(x),则满足F(3)>F(2x-1)的实数x的取值范围是( )
A.(-1,2) B. (-1,) C. (-2,) D. (-2,1)
参考答案:
A
4. 命题“已知为实数,若,则”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是 ( )
A、0 B、1 C、2 D、4
参考答案:
C
略
5. 过两直线x–y+1=0和x+y–=0的交点,并与原点的距离等于1的直线共有( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
参考答案:
B
6. 设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么双曲线的离心率是( )
A B C D
参考答案:
D
略
7. 数列的通项公式是,若前n项的和为10,则项数n为( )
A.11 B.99 C.120 D.121
参考答案:
C
8. 已知m为实数,i为虚数单位,若m+(m2﹣4)i>0,则=( )
A.i B.1 C.﹣i D.﹣1
参考答案:
A
【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.
【分析】由m+(m2﹣4)i>0,得,求解得到m的值,然后代入,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】解:∵m+(m2﹣4)i>0,
∴,解得:m=2.
则=.
故选:A.
9. 命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定( )
A.所有被5整除的整数都不是奇数
B.所有奇数都不能被5整除
C.存在一个被5整除的整数不是奇数
D.存在一个奇数,不能被5整除
参考答案:
C
略
10. 在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是( )
A.b=7,c=3,C=30° B.a=20,b=30,C=30°
C.b=4,c=2,C=60° D.b=5,c=4,C=45°
参考答案:
D
【考点】正弦定理.
【分析】对于A,由正弦定理可得:sinB>1,可得三角形无解;
对于B,由余弦定理可得c为定值,三角形有一解;
对于C,由正弦定理可得:sinB=1,可求B=90°,A=30°,三角形有一解;
对于D,由正弦定理可得:sinB=,结合B的范围,可求B有2解,本选项符合题意;
【解答】解:对于A,∵b=7,c=3,C=30°,
∴由正弦定理可得:sinB===>1,无解;
对于B,∵a=20,b=30,C=30°,
∴由余弦定理可得c===,有一解;
对于C,∵b=4,c=2,C=60°,
∴由正弦定理可得:sinB===1,B=90°,A=30°,有一解;
对于D,∵b=5,c=4,C=45°,
∴由正弦定理可得:sinB===,
又B为三角形的内角,
∴B∈(45°,180°),可得B有2解,本选项符合题意;
故选:D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. .
参考答案:
1
12. 函数的单调递增区间是 .
参考答案:
13. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=720,⊙O过A、B两点且
与BC相切于点B,与AC交于点D,连结BD,若BC=,
则AC=
参考答案:
2
略
14. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ,表面积为 .
参考答案:
12,36.
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】根据三视图作出棱锥的直观图,根据三视图数据计算体积和表面积.
【解答】解:由三视图可知几何体为四棱锥,作出直观图如图所示:
其中底面ABCD是边长为3正方形,EA⊥底面ABCD,EA=4.
∴棱锥的体积V=.
棱锥的四个侧面均为直角三角形,EB=ED=5,
∴棱锥的表面积S=32++=36.
故答案为12;36.
15. 函数f(x)=(ln2)log2x-5xlog5e(其中e为自然对数的底数)的导函数为_______
参考答案:
-5x
16. 正方体ABCD-A1B1C1D1中, BC1与截面BB1D1D所成的角是( )
A.60° B.45° C.30° D.90°
参考答案:
C
略
17. 过点(3,0)的直线与抛物线的两交点为A、B,与y轴的交点为C,若,则__________.
参考答案:
【分析】
设方程为,联立方程得,利用韦达定理,根据得到,解得答案.
【详解】设方程为,,,,
∵,∴,由,得
,
∴,,
∴,
∴
故答案为
【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系,计算量大,意在考查学生的计算能力.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设等差数列{an}满足a3=5,a10=﹣9.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值.
参考答案:
【考点】等差数列的通项公式;等差数列的前n项和.
【分析】(1)设出首项和公差,根据a3=5,a10=﹣9,列出关于首项和公差的二元一次方程组,解方程组得到首项和公差,写出通项.
(2)由上面得到的首项和公差,写出数列{an}的前n项和,整理成关于n的一元二次函数,二次项为负数求出最值.
【解答】解:(1)由an=a1+(n﹣1)d及a3=5,a10=﹣9得
a1+9d=﹣9,a1+2d=5
解得d=﹣2,a1=9,
数列{an}的通项公式为an=11﹣2n
(2)由(1)知Sn=na1+d=10n﹣n2.
因为Sn=﹣(n﹣5)2+25.
所以n=5时,Sn取得最大值.
【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数,当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值,因此它具备函数的特性.
19. (14分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acosC+﹣b=0.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若△ABC的面积为,求bsinB+csinC的最小值.
参考答案:
20. 已知数列{an}的前n项和.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)记,若对于一切的正整数n,总有Tn≤m成立,求实数m的取值范围.
(Ⅲ)设Bn为数列{bn}的前n项的和,其中,若不等式对任意的n∈N*恒成立,试求正实数t的取值范围.
参考答案:
【考点】数列的求和;数列递推式.
【专题】综合题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列.
【分析】(Ⅰ)由an=,利用,能求出an=3n.
(Ⅱ)先求出=,再求出{Tn}中的最大值为,由此能求出实数m的取值范围.
(Ⅲ)由,由此能求出正实数t的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)∵数列{an}的前n项和,
∴当n≥2时,,
∴an=Sn﹣Sn﹣1=3n,…
又n=1时,a1=S1=3满足上式,
∴an=3n.…
(Ⅱ),…
当n=1,2时,Tn+1≥Tn,
当n≥3时,n+2<2n?Tn+1<Tn,
∴n=1时,T1=9,n=2,3时,,n≥4时,Tn<T3,
∴{Tn}中的最大值为.…
要使Tn≤m对于一切的正整数n恒成立,只需,
∴.…
(Ⅲ),…
将Bn代入,化简得,(*)
∵t>0,∴,…9分
∴(*)化为,
整理得,…
∴对一切的正整数n恒成立,…
∵随n的增大而增大,且,
∴..…
【点评】本题考查数列的通项公式的求法,考查实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意放缩法的合理运用,是难题.
21. (本题满分12分)已知函数f(x)=a+b.
(1)当a=1时,求f(x)的单调递增区间;
(2)当a>0,且x∈[0,π]时,f(x)的值域是[3,4],求a,b的值.
参考答案:
(1) (k∈Z) ;(2)
(1)因为f(x)=1+cos x+sin x+b=sin+b+1,--------2分
由2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z),
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z). -----6分
(2)因为f(x)=a(sin x+cos x)+a+b=asin+a+b, -----7分
因为x∈[0,π],则x+∈,
所以sin∈.--------------8分
故-----------10分
所以---------------------12分
22. 如图,一艘轮船按照北偏西30°的方向以30海里/小时的速度航行,一个灯塔M原来在轮船的北偏东15°方向上经过40分钟后,灯塔在轮船的北偏东75°方向上,求灯塔和轮船原来的距离(结果保留准确值)
参考答案:
解:由条件知:∠A2MA1=75°-15°=60°
A1A-2=海里
∠A1A2M=180°-45°-60°=75°
由正弦定理得:
∴
答:灯塔和轮船原来的距离为海里…………………12分