贵州省遵义市五马中学高一数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 集合M={(x,y)|x≥1},P={(x,y)|x﹣y+1≤0},S={(x,y)|2x﹣y﹣2≤0},若的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】7D:简单线性规划的应用.
【分析】将满足M∩N∩P的点E(x,y)∈T看成平面区域,对于可行域不要求线性目标函数的最值,而是求可行域内的点与点(﹣1,﹣1)构成的直线的斜率问题.
【解答】解:∵T=M∩P∩S
∴E(x,y)∈T={(x,y)|}.
先根据约束条件画出可行域,如图阴影.
由得A(3,4).
∵,表示可行域内点P与点(﹣1,﹣1)连线的斜率,
当P在点A(3,4)时,u最小,最小值为,
当P与点(﹣1,﹣1)的连线接近平行于直线x=1时,u→+∞.
故u的取值范围是:.
故选A.
2. 对于任意,函数的值恒大于零,则的取值范围是
A. B. C.或 D.
参考答案:
C
3. 若在△ABC中,sinA:sinB:sinC=3:5:6,则sinB等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】HR:余弦定理;HP:正弦定理.
【分析】由已知及正弦定理可得a:b:c=3:5:6,设a=3k,b=5k,c=6k,k∈Z,由余弦定理可得cosB=,结合B为锐角,利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值.
【解答】解:在△ABC中,∵sinA:sinB:sinC=3:5:6,
∴a:b:c=3:5:6,则可设a=3k,b=5k,c=6k,k∈Z,
∴由余弦定理可得:cosB===,
∴由b<c,B为锐角,可得sinB==.
故选:A.
4. 在中,为的中点,且,则的值为
A、 B、 C、 D、
参考答案:
C
5. 若x>0,则函数与y2=logax(a>0,且a≠1)在同一坐标系上的部分图象只可能是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】函数的图象.
【分析】结合指数函数和对数函数的图象和性质,分析出当a>1时,两个函数的图象形状,可得答案.
【解答】解:当a>1时,
函数为增函数,且图象过(0,﹣1)点,向右和x轴无限接近,
函数y2=logax(a>0,且a≠1)为增函数,且图象过(1,0)点,向左和y轴无限接近,
此时答案B符合要求,
当0<a<1时,
函数为减函数,且图象过(0,﹣1)点,
函数y2=logax(a>0,且a≠1)为减函数,且图象过(1,0)点,向左和y轴无限接近,
此时无满足条件的图象.
故选:B
【点评】本题考查的知识点是函数的图象,熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质,是解答的关键.
6. 若,的等差中项为,且,则的取值范围为
A. B. C. D.
参考答案:
C
7. 若是两两不共线的平面向量,则下列结论错误的是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
8. (5分)已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是()
A. 4x+2y=5 B. 4x﹣2y=5 C. x+2y=5 D. x﹣2y=5
参考答案:
B
考点: 直线的点斜式方程;两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系;中点坐标公式.
专题: 计算题.
分析: 先求出中点的坐标,再求出垂直平分线的斜率,点斜式写出线段AB的垂直平分线的方程,再化为一般式.
解答: 线段AB的中点为,kAB==﹣,
∴垂直平分线的斜率 k==2,
∴线段AB的垂直平分线的方程是 y﹣=2(x﹣2)?4x﹣2y﹣5=0,
故选B.
点评: 本题考查两直线垂直的性质,线段的中点坐标公式,以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法.
9. 用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n﹣1)(n∈N*)时,从n=k(k∈N*)到n=k+1时左边需增乘的代数式是( )
A.2k+1 B.2(2k+1) C. D.
参考答案:
B
【考点】RG:数学归纳法.
【分析】分别写出n=k和n=k+1时的式子左边,两式相比即可得出增乘的式子.
【解答】解:n=k时,左边=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k),
当n=k+1时,左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2),
∴需要增乘的式子为=2(2k+1).
故选:B.
【点评】本题考查了数学归纳法,属于基础题.
10. 已知,函数在上单调递减.则的取值范围( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数,若当时,,则实数的取值范围是___________
参考答案:
12. 函数恒过定点 .
参考答案:
13. 已知函数,若是方程的解,且,则与的大小关系为: .
参考答案:
略
14. 已知角α终边落在点(1,3)上,则的值为 .
参考答案:
2
【考点】GH:同角三角函数基本关系的运用;G9:任意角的三角函数的定义.
【分析】由角α终边落在点(1,3)上,利用任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值,代入原式计算即可求出答案.
【解答】解:∵角α终边落在点(1,3)上,
∴sinα=,cosα=,
则=.
故答案为:2.
15. 已知数列{an}的前n项和满足,则______.
参考答案:
5
【分析】
利用求得,进而求得的值.
【详解】当时,,当时,,当时上式也满足,故的通项公式为,故.
【点睛】本小题主要考查已知求,考查运算求解能力,属于基础题.
16. 某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中的弧线是半径为1的四分之一个圆弧,则该几何体的表面积为 .
参考答案:
4
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;由三视图求面积、体积.
【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体,代入柱体表面积公式,可得答案.
【解答】解:由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体,
底面面积为:1×1﹣=1﹣,
底面周长为:1+1+,
柱体的高为1,
故该几何体的表面积S=2×(1﹣)+(1+1+)×1=4,
故答案为:4.
17. 对于函数定义域中任意的有如下结论
① ②
③ ④
当时,上述结论中正确的序号是( )
A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④
参考答案:
B
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 计算:(每小题4分,共12分)
(1) (a>0且a≠1) (2)
(3)
参考答案:
(1)解:
(2)解:
(3)解:
19. 在三棱柱ABC-A1B1C1中,E、F、G、H分别、、、的中点,求证:
(1)B、C、H、G四点共面;
(2)平面.
参考答案:
(1)证明见解析;(2)证明见解析.
试题分析:(1)要证明四点共面,只需证,根据中位线,有,所以四点共面;(2)利用中位线,易证,所以平面平面.
试题解析:
(1)∵分别为中点,∴,
∵三棱柱中,,
∴,
∴四点共面.…………………………5分
(1)∵分别为中点,
∴,
∴,
又∵分别为三棱柱侧面平行四边形对边中点,
∴四边形为平行四边形,,
∴平面中有两条直线分别与平面中的两条直线,平行,
∴平面平面.………………………………12分
考点:证明四点共面及面面平行.
20. 在△ABC中,角ABC所对的边分别为a,b,c,,
(1)求a的值;
(2)求sinC.
参考答案:
(1)(2)
分析】
(1)先利用同角三角函数的关系求得,再利用正弦定理可得结果;(2)根据三角形内角和定理,利用诱导公式,结合(1),由两角和的正弦公式可得结果,
【详解】(1)因为,
所以,
由正弦定理可得,
;
(2)
.
【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用,属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具,其常见用法有以下几种:(1)知道两边和一边的对角,求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角);(2)知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边;(3)证明化简过程中边角互化;(4)求三角形外接圆半径.
21. 如图,在△ABC中,点P在BC边上,,,.
(Ⅰ)求边AC的长;
(Ⅱ)若△APB的面积是,求∠BAP的值.
参考答案:
(Ⅰ)在中,设,则由余弦定理得:
即:
解之得:
即边的长为2
(Ⅱ)由(1)得为等边三角形
作于,则
∴
故
∴在中,由余弦定理得:
∴在中由正弦定理得:
∴
∴
22. 如图,四边形和均是边长为2的正方形,它们所在的平面互相垂直,,分别为,的中点,点为线段的中点.
(1)求证:直线平面;
(2)求点到平面的距离.
参考答案:
(1)证明见解析;(2).
(1)取的中点,连接和,
则易知,又因为,,所以为的中位线,所以,
且,,
所以平面平面,又平面,所以平面.
(2)设点到平面的距离为,由题可知,面,所以,
由勾股定理可知,,
所以的面积,
经过计算,有,
由,和,
所以.