2022年安徽省六安市霍邱县长集中学高三数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. (2009辽宁卷理)某店一个月的收入和支出总共记录了 N个数据,,。。。,其中收入记为正数,支出记为负数。该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V,那么在图中空白的判断框和处理框中,应分别填入下列四个选项中的
(A)A>0,V=S-T
(B) A<0,V=S-T
(C) A>0, V=S+T
(D)A<0, V=S+T
参考答案:
C
解析:月总收入为S,因此A>0时归入S,判断框内填A>0,支出T为负数,因此月盈利V=S+T.
2. 已知与都是定义在R上的函数, ,且,且,在有穷数列
中,任意取前项相加,则前项和大于的概率是
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
3.
已知直线平分圆的周长,当取最小值时,双曲线的离心率是
A. B. C.2 D.3
参考答案:
答案:A
4. 在△ABC中,,,,设点D、E满足,,若,则( )
A. B. 2 C. D. 3
参考答案:
D
【分析】
将表示为利用数量积计算求解即可
【详解】因为,则,所以
.
由已知,,则.
选.
【点睛】本题考查平面向量基本定理,考查数量积的运算,熟记定理,准确计算是关键,是基础题
5. 复数的共扼复数是( )
A.﹣+i B.﹣﹣i C.﹣i D.+i
参考答案:
D
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【专题】转化思想;数系的扩充和复数.
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出.
【解答】解:复数==的共扼复数是+i.
故选:D.
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
6. 已知过点(1,2)的二次函数的图象如右图,给出下列论断:①,②,③,④.其中正确论断是( )
A.②④ B.①③ C.②③ D.②③④
参考答案:
A
从图象可得,,知①错误,②正确.
,则,那么,则,③错误.
,知,那么,而,则,一定有,④正确.
7. 某多面体的三视图如图所示,每一小格单位长度为l,则该多面体的外接球的表面积是
A.27π B.π C.9π D.π
参考答案:
A
根据三视图可知,该多面体为镶嵌在正方体中的四棱锥,故外接球直径即正方体的体对角线长,
故选:A
8. 口袋中装有4个大小、材质完全相同的小球,球的颜色分别是红色、黄色、蓝色和白色,
从口袋中随机摸出2个小球,摸到红色小球和白色小球的概率是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
参考答案:
A
略
9. (5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项积为Tn,a2、a4是方程x2+5x+4=0的两个根,且b1=a2,b5=a4,则S5T5=( )
A.
400
B.
﹣400
C.
±400
D.
﹣200
参考答案:
C
∵等差数列{an}中,a2、a4是方程x2+5x+4=0的两个根,
∴a2+a4=﹣5,a2?a4=4,
∴S5===﹣,
∵等比数列{bn}中,b1=a2,b5=a4,
∴b1b5=(b1q2)2=a2?a4=4,
∴=±2,
∵等比数列{bn}的前n项积为Tn,
∴T5==()5=±32,
∴S5T5=±400.
故选C.
10. 已知数列{an}是以为公差的等差数列,数列{bn}的前n项和为Sn,满足bn=2sin(πan+φ),φ∈(0,),则Sn不可能是( )
A.﹣1 B.0 C.2 D.3
参考答案:
D
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】数列{an}是以为公差的等差数列,可得an=a1+(n﹣1),Sn=b1+b2+…+bn=2sin(πa1+φ)++…+2sin,φ∈(0,),S4=0.利用其周期性即可得出.
【解答】解:数列{an}是以为公差的等差数列,∴an=a1+(n﹣1),
∵bn=2sin(πan+φ)=2sin,φ∈(0,),
∴Sn=b1+b2+…+bn=2sin(πa1+φ)++…+2sin,φ∈(0,),
∴S4=0.
∴S4n+1=S1∈[﹣2,2],S4n+2=S2=2sin(πa1+φ)∈[﹣2,2],S4n+3=S3=2cos(πa1+φ)∈[﹣2,2],S4n+4=S4=0.
则Sn不可能是3.
故选:D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正四棱锥底面边长为2,表面积为12,则它的体积为___________.
参考答案:
【分析】
要求正四棱锥的体积,即求正四棱锥的底面积和高,如图所示,根据表面积可以得出的值,在中可求出正四棱锥的高,从而得出正四棱锥的体积.
【详解】解:如图所示,为底面的中心,为边上的中点,
正四棱锥的底面积为,
侧面积为,
因为正四棱锥的表面积为12,
即,
解得,
在中,,
所以正四棱锥的体积为.
12. 如图,⊙O的割线PAB
交⊙O于A,B两点,割线PCD经过圆心O,已知
PA=6,AB=PO=12,则⊙O的半径是________.
参考答案:
略
13. 复数且,则的值为_______;
参考答案:
解析:∵ 所以.
14. 已知函数的单调递增区间为 .
参考答案:
15. 已知椭圆E的短轴长为6,焦点F到长轴端点的距离为9,则椭圆E的离心率等于 。
参考答案:
16. .命题1)若是偶函数,其定义域是,则在区间是减函数。
2)如果一个数列的前n项和则此数列是等比数列的充要条件是
3)曲线过点(1,3)处的切线方程为:。
4)已知集合只有一个子集。则
以上四个命题中,正确命题的序号是__________
参考答案:
①②
17. C. 如图所示,过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A,B两点,已知PA=2,点P到⊙O的切线长PT=4,则弦AB的长为 .
参考答案:
6
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=sin2x+sin(-2x).
(Ⅰ)求f(x)的最大值及相应的x值;
(Ⅱ)设函数 g(x)=f(x),如图,点P,M,N分别是函数y=g(x)图象的零值点、最高点和最低点,求cos∠MPN的值.
参考答案:
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;H2:正弦函数的图象.
【分析】(Ⅰ)化简函数(x)为正弦型函数,利用正弦函数的图象与性质求出它的最大值以及此时对应的x值;
(Ⅱ)化简函数g(x),过D作MD⊥x轴于D,根据三角函数的对称性求出∠PMN=90°,再求cos∠MPN的值.
【解答】解:(Ⅰ)函数
=sin2x+cos2x﹣sin2x…
=
=;…
∴f(x)的最大值为f(x)max=1,…
此时,…
解得;…
(Ⅱ)函数=sin=sin(x+),…
过D作MD⊥x轴于D,如图所示;
∵PD=DM=1,
∴∠PMN=90°,…
计算PM=,MN=2PM=2,PN==,…
∴.…
19. 已知椭圆的焦点,,过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,并且,椭圆上不同的两点,满足条件:,,成等差数列.
(1)求椭圆的方程;
(2)求弦AC中点的横坐标.
参考答案:
解:(1)由题意可知.
所以,又,
所以,
所以椭圆方程为:
.
(2)由点在椭圆上,得
.
由,,成等差数列,得
①
点在椭圆上,
得
所以
②
同理可得③
将②③代入①式,得:
所以
设中点坐标为,则横坐标:
.
20. 数列{an}是单调递增的等差数列,是方程的两实数根;
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设,求{bn}的前n项和Sn.
参考答案:
(1),,,又是递增的等差数列,
所以, ,公差,所以. ……………6分
(2),. ……………12分
21. 已知椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为(2,0),且过点(2,0).
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设直线l:y=x+m(m∈R)与椭圆C交于不同两点A、B,且|AB|=3.若点P(x0,2)满足||=||,求x0的值.
参考答案:
考点:椭圆的简单性质.
专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:(Ⅰ)由已知得半长轴长和半焦距,进一步得到b,则椭圆方程可求;
(Ⅱ)联立直线方程和椭圆方程,由判别式大于0求得m的范围,再利用|AB|=3求得m的值.结合椭圆可得点P为线段AB的中垂线与直线y=2的交点.
然后由求得的m的值分类求得AB的中垂线方程,进一步得到x0的值.
解答: 解:(Ⅰ)由已知得,c=2,
∴b2=a2﹣c2=4,
∴椭圆C的方程为;
(Ⅱ)由,得4x2+6mx+3m2﹣12=0 ①
∵直线l与椭圆C交于不同两点A、B,
∴△36m2﹣16(3m2﹣12)>0,得m2<16.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两根,
则.
∴
=.
又由|AB|=3,得,解之m=±2.
据题意知,点P为线段AB的中垂线与直线y=2的交点.
设AB的中点为E(x0,y0),则,,
当m=2时,E().
∴此时,线段AB的中垂线方程为,即y=﹣x﹣1.
令y=2,得x0=﹣3.
当m=﹣2时,E().
∴此时,线段AB的中垂线方程为,即y=﹣x+1.
令y=2,得x0=﹣1.
综上所述,x0的值为﹣3或﹣1.
点评:本题考查了椭圆方程的求法,考查了直线与圆锥曲线的关系,涉及直线与圆锥曲线关系问题,常采用联立直线方程与圆锥曲线方程,化为关于x的一元二次方程,利用根与系数关系求解,要求学生具有较强的计算能力,是压轴题.
22. 已知各项均为正数的数列满足:,其中.
(1)若a2-a1=8,a3=a,且数列{an}是唯一的.①求a的值;
②设数列满足,是否存在正整数m,n(1
0,所以 ∴,此时--------------------------------5分
②由①知,所以,若成等比数列,则,可得所以,解得:又,且1
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