四川省泸州市大寨中学高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合,且,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
2. 已知△ABC的边AB,AC的长分别为2,3,∠BAC=120°,则△ABC的角平分线AD的长为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
先由余弦定理求得和,再由角平分线定理求得,然后在三角形中由余弦定理可得.
【详解】解:根据角平分线定理可得:
由余弦定理可得:
∴, ,
在三角形中由余弦定理得
在三角形中由余弦定理得,
,解得:.
故选:D.
3. 函数在上零点的个数是( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
参考答案:
C
【分析】
令,即,即,解得,再由,即可求解,得到答案.
【详解】由函数,令,即,即,
所以,
又由,所以,
即函数在上有4个零点,故选C.
【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用,以及三角函数的化简求值问题,其中解答中熟记函数零点的定义,准确利用正切函数的性质求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
4. 将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2,有|x1﹣x2|min=,则φ=( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】利用三角函数的最值,求出自变量x1,x2的值,然后判断选项即可.
【解答】解:因为将函数f(x)=sin2x的周期为π,函数的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的可知,两个函数的最大值与最小值的差为2,有|x1﹣x2|min=,
不妨x1=,x2=,即g(x)在x2=,取得最小值,sin(2×﹣2φ)=﹣1,此时φ=,不合题意,
x1=,x2=,即g(x)在x2=,取得最大值,sin(2×﹣2φ)=1,此时φ=,满足题意.
故选:D.
5. 若的展开式中第项与第项的二项式系数相等,则直线与曲线围成的封闭区域的面积为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
C
展开式中第项与第项的二项式系数相等,
所以,解得,那么与围成的封闭圆形区域的面积为
.故选.
6. α、β、γ为两两不重合的平面,l、m、n为两两不重合的直线,给出下列四个命题
①若α⊥γ,β⊥γ则α∥β ②若mα,nα,m∥β,n∥β则α∥β
③若α∥β,lα,则l∥β ④若αβ=l,βγ=m,γα=n,l∥γ,则m∥n
其中真命题的个数是( )
A、1 B、2 C、3 D、4
参考答案:
B
7. 一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为,,,,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
C 由柱体和台体的体积公式可知选C
【相关知识点】三视图,简单几何体体积
8. 已知双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且焦点与椭圆的焦点相同,双曲线的离心率为e=,若双曲线的左支上有一点到右焦点F2的距离为18,N为M F2的中点,O为坐标原点,则|NO|等于
A.B.1 C.2 D.4
参考答案:
D
9. 已知是两个不同的平面,是一条直线,给出下列说法:
①若,,则;②若,,则;③若,,则;④若,,则.
其中说法正确的个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
参考答案:
C
①若,,则或,不正确;②若,,则 或,不正确;③若,,则,正确;④若,,则或或与相交且与不垂直,不正确,故选C.
10. 《爸爸去哪儿》的热播引发了亲子节目的热潮,某节目制作组选取了6户家庭到4个村庄 体验农村生活,要求将6户家庭分成4组,其中2 kA各有2户家庭,另外2组各有1户家庭,则不同的分配方案的总数是
A. 216 B. 420 C. 720 D. 1080
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若正项等比数列满足,,则公比 , .
参考答案:
,
试题分析:因为,,所以,因为,所以,因为,,所以,所以,所以答案应填:,.
12. .已知向量向量满足,则的取值范围是
参考答案:
[2,8]
略
13. 已知锐角三角形的边长分别为2,4,x,则x的取值范围为 .
参考答案:
14. (文)已知向量和向量的夹角为,,则和的数量积=
参考答案:
3
15.
某同学在期中考试中,语文、数学、英语、物理、化学成绩(单位分)分别是:100、x、y、90、80,已知该同学各科的平均分为100,方差为200,则其数学成绩为_____分
参考答案:
答案: 120或110
16. 已知,则函数的零点的个数是;
参考答案:
3
17. 递减等差数列{an}的前n项和Sn满足S5=S10,则欲使Sn最大,则n=______.
参考答案:
7或8
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 正项数列{an}的前n项和Sn满足:
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:对于任意的n∈N*,都有Tn< .
参考答案:
(1)(2)见解析
【详解】(1)因为数列的前项和满足:,
所以当时,,
即
解得或,
因为数列都正项,
所以,
因为,
所以,
解得或,
因为数列都是正项,
所以,
当时,有,
所以,
解得,
当时,,符合
所以数列的通项公式,;
(2)因为,
所以
,
所以数列的前项和为:
,
当时,
有,
所以,
所以对于任意,数列的前项和.
19. 在平面直角坐标系中,设是椭圆上在第一象限的点,和是椭圆的两个顶点,求四边形的面积的最大值.
参考答案:
已知椭圆的参数方程为.
由题设,可令,其中.
所以,
.
所以,当时,四边形的面积的最大值为.
20. (极坐标与参数方程)已知曲线C的极坐标方程为,直线l的参数方程为:为参数);
(1)写出曲线C和直线l的普通方程;
(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值。
参考答案:
(1) C: …(3分 ; l: …(3分
(2) 方法一:可求圆心到直线的距离 …10分 。
方法二:设曲线C上任意一点为M(1+,则;
21. 在中,角所对的边分别为,且,.
(1)求,的值;
(2)若,求的值.
参考答案:
略
22. 已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,且AC⊥BD,AC与BD交于O,PO⊥底面ABCD,PO=2,AB=2CD=2,E、F分别是AB、AP的中点.
(1)求证:AC⊥EF;
(2)求二面角F﹣OE﹣A的余弦值.
参考答案:
【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质.
【分析】(1)通过建立空间直角坐标系,利用EF与AO的方向向量的数量积等于0,即可证明垂直;
(2)利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角的余弦值.
【解答】(1)证明:由ABCD是等腰梯形,AB∥CD,且AC⊥BD,AC与BD交于O,可知:△OAB是等腰直角三角形,
∵AB=2CD=2,E是AB的中点,∴OE=EA=EB=,可得OA=OB=2.
∵PO⊥底面ABCD,∴PO⊥OA,PO⊥OB.又OA⊥OB.
∴可以建立如图所示的空间直角坐标系.
则O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,0),F(1,0,1).
∴,.
∴,∴EF⊥AO,即EF⊥AC.
(2)解:由(1)可知:,.
设平面OEF的法向量为,
则,得,令x=1,则y=z=﹣1.
∴.
∵PO⊥平面OAE,∴可取作为平面OAE的法向量.
∴===.
由图可知:二面角F﹣OE﹣A的平面角是锐角θ.
因此,.