湖南省衡阳市桐黄中学高三数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,则( ).
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
2. 已知全集U=N,集合,,则
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
略
3. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,记为点,点与点分别为曲线上的点,则的最小值为( )
A. B.8 C. D.
参考答案:
B
由题意得 , 解得 由抛物线定义得,其中 为抛物线准线,因此最小值为 ,选B.
点睛:1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理. 2.若为抛物线上一点,由定义易得;若过焦点的弦 AB的端点坐标为,则弦长为可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.
4. 已知命题;命题,则下列判断正确的是
A.是真命题 B.是假命题 C.是假命题 D.是假命题
参考答案:
答案:D
5. 将包含甲、乙两队的8支球队平均分成两个小组参加某项比赛,则甲、乙两队被分在不同小组的分配方法有
A. 20种 B. 35种 C. 40 种 D.60种
参考答案:
C
略
6. 命题“?x∈R,x2-2x+1<0”的否定是( )
A.?x∈R,x2-2x+1≥0 B.?x∈R,x2-2x+1>0
C.?x∈R,x2-2x+1≥0 D.?x∈R,x2-2x+1<0
参考答案:
C
略
7. 已知圆截直线所得线段的长度是,则圆与圆的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
参考答案:
B
8. 等差数列{an}的前n项和Sn,若a3+ a7-a10=8,a11-a4=4,则S13等于 ( )
A.152 B.154
C.156 D.158
参考答案:
C
略
9. 设等比数列的前 项和为,若 则 =( )
A. 2 B. C. D.3
参考答案:
B
【知识点】等比数列的性质
解析:,,
故选B.
【思路点拨】根据等比数列的性质得到成等比列出关系式,又表示出S3,代入到列出的关系式中即可求出的值.
10. 已知集合,,则A∩B=( )
A. [2,3] B. (1,5) C. {2,3} D. {2,3,4}
参考答案:
C
【分析】
解不等式简化集合的表示,用列举法表示集合,最后根据集合交集的定义求出.
【详解】,,
又,所以,故本题选C.
【点睛】本题考查了列举法表示集合、集合交集的运算,正确求解出不等式的解集是解题的关键.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,n=1,2,3…,若b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=,cn+1=,则∠An的最大值是 .
参考答案:
【考点】基本不等式在最值问题中的应用;正弦定理;余弦定理的应用.
【分析】根据数列的递推关系得到bn+cn=2a1为常数,然后利用余弦定理以及基本不等式即可得到结论.
【解答】解:∵an+1=an,∴an=a1,
∵bn+1=,cn+1=,
∴bn+1+cn+1=an+=a1+,
∴bn+1+cn+1﹣2a1=(bn+cn﹣2a1),
又b1+c1=2a1,
∴当n=1时,b2+c2﹣2a1=(b1+c1+﹣2a1)=0,
当n=2时,b3+c3﹣2a1=(b2+c2+﹣2a1)=0,
…
∴bn+cn﹣2a1=0,
即bn+cn=2a1为常数,
∵bn﹣cn=(﹣)n﹣1(b1﹣c1),
∴当n→+∞时,bn﹣cn→0,即bn→cn,
则由基本不等式可得bn+cn=2a1≥2,
∴bncn,
由余弦定理可得=(bn+cn)2﹣2bncn﹣2bncncosAn,
即(a1)2=(2a1)2﹣2bncn(1+cosAn),
即2bncn(1+cosAn)=3(a1)2≤2(a1)2(1+cosAn),
即3≤2(1+cosAn),
解得cosAn,
∴0<An,
即∠An的最大值是,
故答案为:
【点评】本题考查数列以及余弦定理的应用,利用基本不等式是解决本题的关键,综合性较强,运算量较大,难度较大.
12. 若的值为 .
参考答案:
2
13. 下面有四个命题:
①函数的最小正周期是;
②函数的最大值是5;
③把函数的图象向右平移得的图象;
④函数在上是减函数.
其中真命题的序号是
参考答案:
① ② ③
略
14. 设θ为第二象限角,若tan(θ+)=,则cosθ= .
参考答案:
【考点】两角和与差的余弦函数.
【专题】三角函数的求值.
【分析】由已知及两角和的正切函数公式可求tanθ,再利用同角三角函数关系式即可求值.
【解答】解:∵tan(θ+)==,
∴tanθ=,
∵θ为第二象限角,
∴cosθ=﹣=﹣=.
故答案为:.
【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式,同角三角函数关系式的应用,属于基础题.
15. 若某空间几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积是______.
参考答案:
16. 已知函数,对任意的,都存在,使得则实数的取值范围是______________.
参考答案:
17. 若||=1,||=2,=+,且 ⊥,则向量与的夹角为 .
参考答案:
【考点】数量积表示两个向量的夹角.
【分析】根据向量,得到,然后求出,利用数量积的应用求向量夹角即可.
【解答】解:∵,且,
∴,
即(),
∴1+,
解得﹣1=﹣1,
设向量与的夹角为θ,则cos,
∵0≤θ≤π,
∴.
故答案为:.
【点评】本题主要考查数量积的应用,要求熟练掌握数量积的应用,比较基础.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截面得,已知FA⊥平面ABC,AB=2,BD=1,AF=2,
CE=3,O为AB的中点.
(1)求证:OC⊥DF;
(2)求平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小;
参考答案:
解:(1)证法一: 平面,平面, …………2分
又且为的中点, 平面, ………………4分
平面, ……………………………………………………………………6分
证法二:如图,以为原点,分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系, …………………………2分
即 ………………6分
(2)解法一:解:设平面的法向量为 ………7分
设平面的法向量为
由得,
解得, …………………………9分
所以 , …………………11分
故平面与平面相交所成锐二面角的大小为. …………………12分
19. 已知点是满足的区域内的动点,则的取值范围是 .
参考答案:
20. (本小题满分12分)
如图:在三棱锥D-ABC中,已知是正三角形,AB平面BCD,,E为BC的中点,F在棱AC上,且.
(1)求三棱锥D-ABC的表面积;
(2)求证AC⊥平面DEF;
(3)若M为BD的中点,问AC上是否存在一点N,使MN∥平面DEF?若存在,说明点N的位置;若不存在,试说明理由.
参考答案:
解:解:(1)∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥BC,AB⊥BD.
∵△BCD是正三角形,且AB=BC=a,∴AD=AC=.分
设G为CD的中点,则CG=,AG=.
∴,,.分
三棱锥D-ABC的表面积为.分
(2)取AC的中点H,∵AB=BC,∴BH⊥AC.
∵AF=3FC,∴F为CH的中点.
∵E为BC的中点,∴EF∥BH.则EF⊥AC.分
∵△BCD是正三角形,∴DE⊥BC.
∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥DE.
∵AB∩BC=B,∴DE⊥平面ABC.∴DE⊥AC分
∵DE∩EF=E,∴AC⊥平面DEF.分
(3)存在这样的点N,当CN=时,MN∥平面DEF.
连CM,设CM∩DE=O,连OF.由条件知,O为△BCD的重心,CO=CM.分
∴当CF=CN时,MN∥OF.∴CN=分
略
21. (本小题满分12分)
已知函数f(x)= x2+alnx.
(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若g(x)= f(x)+在[1,)上是单调增函数,求实数a的取值范围.
参考答案:
解:的定义域为
(1)当时,
由得:
由得:
当时,取极小值
(2)
在上是单调递增函数
在上恒成立
即在上恒成立
令
在上恒成立
上单调递减
Ks5u
略
22. 已知函数.
(1)若,求曲线在处切线的斜率;
(2)求的单调区间;
(3)设,若对任意,均存在,使得,求的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)由已知,
.
故曲线在处切线的斜率为.
(Ⅱ).
①当时,由于,故,
所以,的单调递增区间为.
②当时,由,得.
在区间上,,在区间上,
所以,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
(Ⅲ)由已知,转化为.
由(Ⅱ)知,当时,在上单调递增,值域为,故不符合题意.
(或者举出反例:存在,故不符合题意.)
当时,在上单调递增,在上单调递减,
故的极大值即为最大值,,
所以,解得.