福建省泉州市惠安县第五中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数在上取最大值时，的值为 （　　 ）                  ]A．0                B．               C．               D． 参考答案： B 略 2. 李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（　　） A．10步、50步 B．20步、60步 C．30步、70步 D．40步、80步 参考答案： B 【考点】三角形中的几何计算． 【分析】根据水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，即方田面积减去水池面积为13.75亩，方田的四边到水池的最近距离均为二十步，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．从而建立关系求解即可． 【解答】解：由题意，设圆池直径为m，方田边长为40步+m． 方田面积减去水池面积为13.75亩， ∴（40+m）2﹣=13.75×240． 解得：m=20． 即圆池直径20步 那么：方田边长为40步+20步=60步． 故选B． 【点评】本题考查了对题意的理解和关系式的建立．读懂题意是关键，属于基础题． 3. 已知单位圆与轴的正半轴相交于点，角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边与单位圆相交于点，过点作直线垂直于轴于点，则有向线段表示的函数值是                                                            (   )                  参考答案： D 4. 如图，已知椭圆及两条直线，其中，且分别交轴与两点。 从上一点发出一条光线经过椭圆的左焦点被轴反射后与交于点。 若，且，则椭圆的离心率等于（     ） A.        B.       C.       D. 参考答案： A 5. 若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为 （A）      （B）6        （C）8         (D)12 参考答案： B 【知识点】椭圆的简单性质． 解析：设P（x，y）， 则=， 又点P在椭圆上，故， 所以， 又， 所以当时，取得最大值为6，即的最大值为6，故选：B． 【思路点拨】设P（x，y），由数量积运算及点P在椭圆上可把表示为x的二次函数，根据二次函数性质可求其最大值． 6. 若圆：（）始终平分圆：的周长，则的最小值为（   ） A．3         B．       C.6         D．9 参考答案： A 把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线方程为， 由题意知直线经过圆的圆心(?1,?1)，因而. 时取等号. 的最小值为3. 本题选择A选项.   7. 若，则的值为(    ) A．          B．－             C．                 D． 参考答案： C 略 8. 已知数列{}满足: ,则其前100项和为 A.250 B. 200 C. 150 D.100 参考答案： D 9. 如图所示的程序框图中，令a=tan，b=sin， c=cos， 若在集合中任取的一个值，则输出的结果是cos的概率为（   ） A．  1           B．               C．            D．  0 参考答案： D 如图所示的程序框图表示输入三个数，最后输出最大的一个数。 若，则，，， 所以，，输出的结果是； 若，则，，，所以输出的结果是或； 若，则，，， 所以，，输出的结果是。 综上所述，事件“输出的结果是cos”为不可能事件，故选择D。 10. 已知△的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（  ） A.             B.           C.            D. 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知实数满足不等式组，则的最小值为          ． 参考答案： 1 12. 双曲线的离心率为　　． 参考答案： 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】根据事务性的方程可得a，b，c的数值，进而求出双曲线的离心率． 【解答】解：因为双曲线的方程为， 所以a2=4，a=2，b2=5， 所以c2=9，c=3， 所以离心率e=． 故答案为． 13. 已知函数，(其中a为常数)． 给出下列五个命题： ① 函数 f(x) 的最小值为-3 ? ； ② 函数f(x) 的最大值为 h (a）, 且h (a）的最大值为3 ； ③ 存在a , 使函数f(x) 为偶函数； ④ 存在a , 使函数f(x)为奇函数； ⑤ a=π/6时,  (-π/3，0)是函数f(x)  的一个对称中心； 其中正确的命题序号为___________(把所有正确命题的序号都填上) 参考答案： 14. 设x、y满足约束条件则目标函数z=6x+3y的最大值是          . 参考答案： 5 15. 已知P为双曲线上的动点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是                参考答案： 略 16. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点 作圆的切线，则切线的极坐标方程是　　　　　　．   参考答案： 略 17. 已知定义在R上的偶函数f (x)的单调减区间为，则不等式f(x)< f(2－x)的解集是       ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分； （2）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150]的学生中共抽取6人，该6人中成绩在[130，150]的有几人？ （3）在（2）抽取的6人中，随机抽取3人，计分数在[130，150]内的人数为ξ，求期望E（ξ）． 参考答案： 【考点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差． 【分析】（1）由频率分布直方图计算数据的平均分； （2）计算样本中分数在[30，50）和[130，150]的人数，根据分层抽样原理求出抽取的人数； （3）计算抽取的6人中分数在[130，150]的人数，求出ξ的所有取值与概率分布，计算数学期望值． 【解答】解：（1）由频率分布直方图，得 该校高三学生本次数学考试的平均分为 0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100 +0.0125×20×120+0.0025×20×140=92；… （2）样本中分数在[30，50）和[130，150]的人数分别为6人和3人， 所以抽取的6人中分数在[130，150]的人有（人）；… （3）由（2）知：抽取的6人中分数在[130，150]的人有2人， 依题意ξ的所有取值为0、1、2， 当ξ=0时，； 当ξ=1时，； 当ξ=2时，； ∴．… 　 19. 公差不为零的等差数列中，且成等比数列。 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的通项公式 参考答案： 解:  (Ⅰ) ．                         (Ⅱ)． 略 20. （本题满分12分）如图，斜三棱柱，已知侧面与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠，=2，若二面角为30°，    （Ⅰ）证明:及求与平面所成角的正切值；                      （Ⅱ）在平面内找一点P，使三棱锥为正三棱锥，并求此时的值。 参考答案： （Ⅰ）面面，因为面面＝，， 所以面．易得                        ……………3分 取中点，连接，在中， 是正三角形，，又面且面， ，即即为二面角的平面角为30°，面，，在　中，，取中点D，连接，即与面所成的线面角，                             ……………8分 （Ⅱ）在上取点，使，则因为是的中线， 是的重心，在中，过作//交于， 面，// 面，即点在平面上的射影是的中心，该点即为所求， 且，．=2                                       ……………12分 21. 在无穷数列中，，对于任意，都有，. 设， 记使得成立的的最大值为. （Ⅰ）设数列为1，3，5，7，，写出，，的值； （Ⅱ）若为等比数列，且，求的值； （Ⅲ）若为等差数列，求出所有可能的数列. 参考答案： （Ⅰ）解：，，.                                 ……………… 3分 （Ⅱ）解：因为为等比数列，，， 所以，                                            ……………… 4分 因为使得成立的的最大值为， 所以，，，， ，，                  ……………… 6分 所以.                             ……………… 8分 （Ⅲ）解：由题意，得， 结合条件，得.                                 ……………… 9分       又因为使得成立的的最大值为，使得成立的的最大值为， 所以，.                              ……………… 10分 设，则. 假设，即， 则当时，；当时，. 所以，. 因为为等差数列， 所以公差， 所以，其中. 这与矛盾， 所以.                                               ……………… 11分 又因为， 所以， 由为等差数列，得，其中.                   ……………… 12分 因为使得成立的的最大值为， 所以， 由，得.                                       ……………… 13分   略 22. （本小题满分12分） 已知椭圆的左右焦点分别为，短轴两个端点分别为，且四边形是边长为2的正方形． （I）求椭圆方程； （II）若分别是椭圆长轴的左、右两端点，动点满足，连结，交椭圆于点.求证：为定值．   参考答案： （I），，椭圆方程为.………4分 （II），设，则. 直线：，即    ，…… … … … … … 6分 代入椭圆, 得。… … … …… … …8分 .，…………………………10分 （定值）.……………………12分