2022年四川省德阳市第三中学高二数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 正四面体P-ABC中,D、E、F分别是棱AB、BC、CA的中点,下列结论中不成立的是____________
A. BC∥面BDF B. DF⊥面PAE C. 面PDF⊥面PAE D. 面PDF⊥面ABC
参考答案:
D
2. 奇函数的定义域为,且满足,已知,则的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 设,则“”是“”的( )
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
参考答案:
A
4. 已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题中正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
C.若m∥α,m∥β,则α∥β
D.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
参考答案:
D
A.若m∥α,n∥α,则m∥n,错误,m与n可能平行或异面;
B.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β,错误,可能相交或平行;
C.若m∥α,m∥β,则α∥β,错误,可能相交或平行;
D.若m⊥α,n⊥α,则m∥n,正确,此为线面垂直的性质定理。
5. 设x∈R,则命题q:x>﹣1是命题p:x>0的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
参考答案:
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【专题】应用题;转化思想;转化法;简易逻辑.
【分析】根据题意比较两个命题所表示的范围,根据集合之间的关系得到命题之间的关系即可.
【解答】解:因为命题p:x>0且命题q:x>﹣1,
所以x>0表示的范围比x>﹣1表示的范围小.
所以命题q:x>﹣1是命题p:x>0的必要不充分条件.
故选B.
【点评】本题考查了充要条件的判断,可以转化为两个条件对应的两个集合之间的关系.
6. 某四棱锥的三视图如图,该四棱锥的表面积是( )
A、32 B、
C、48 D、
参考答案:
B
略
7. 在复平面内,复数(是虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ).
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
参考答案:
D
【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.
【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简,求得复数的共轭复数对应的点的坐标得答案.
【解答】解:由,
得,
∴在复平面内,复数的共轭复数对应的点的坐标为,位于第一象限.
故选:.
8. 设曲线在点(1,0)处的切线与直线垂直,则a=( )
A. B. C.-2 D. 2
参考答案:
A
【分析】
根据函数求导运算得到导函数,根据题干所给的垂直关系,得到方程,进而求解.
【详解】由题意得,,
∵在点处的切线与直线垂直,∴,解得,
故选:A.
【点睛】这个题目考查了函数的求导法则,涉及到导数的几何意义的应用,属于基础题.
9. 若椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6,则点P到另一个焦点F2的距离是
A. 4 B. 194 C . 94 D. 14
参考答案:
D
10. 把一枚骰子连续掷两次,已知在第一次抛出的是偶数点的情况下,第二次抛出的也是偶数点的概率为 ( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 双曲线的离心率是
参考答案:
12. 在ΔABC中,A、B、C是三个内角,C =30°,那么的值是_____________。.
参考答案:
13. 过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A、B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则等于 .
参考答案:
8
14. 已知抛物线经过点P(4,﹣2),则其标准方程是 .
参考答案:
x2=﹣8y或y2=x
【考点】K8:抛物线的简单性质.
【分析】根据题意,分析可得抛物线开口向下或向右,分2种情况讨论,求出抛物线的方程,综合可得答案.
【解答】解:根据题意,抛物线经过点P(4,﹣2),则抛物线开口向下或向右,
若抛物线开口向下,设其标准方程为x2=﹣2py,
将P(4,﹣2)代入可得(4)2=﹣2p×(﹣2),解可得﹣2p=﹣8,
则此时抛物线的标准方程为:x2=﹣8y,
若抛物线开口向右,设其标准方程为y2=2px,
将P(4,﹣2)代入可得(﹣2)2=2p×4,解可得2p=1,
则此时抛物线的标准方程为:y2=x,
综合可得:抛物线的标准方程为:x2=﹣8y或y2=x;
故答案为:x2=﹣8y或y2=x.
15. 已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁,在某天的某个时刻,他们每人各做一项工作,一人在查资料,一人在写教案,一人在批改作业,另一人在打印资料:(1)甲不在查资料,也不在写教案;(2)乙不在打印资料,也不在查资料;(3)丙不在批改作业,也不在打印资料;(4)丁不在写教案,也不在查资料.此外还可确定,如果甲不在打印资料,那么丙不在查资料,根据以上消息可以判断甲在_______.
参考答案:
打印材料
【分析】
结合条件(1),先假设甲在批改作业,再结合题中其它条件分析,推出矛盾,即可得出结果.
【详解】因为甲不在查资料,也不在写教案,
若甲在批改作业,根据“甲不在打印资料,那么丙不在查资料”以及“丙不在批改作业,也不在打印资料”得,丙在写教案;又“乙不在打印资料,也不在查资料”,则乙可能在批改作业或写教案,即此时乙必与甲或丙工作相同,不满足题意;所以甲不在批改作业;
因此甲在打印资料.
故答案为:打印材料
【点睛】本题主要考查简单的合情推理,结合题中条件直接分析即可,属于常考题型.
16. 设函数,若是奇函数,则_______;
参考答案:
17. 向量的夹角等于,则的最大值为 .
参考答案:
4
考点: 数量积表示两个向量的夹角.
专题: 平面向量及应用.
分析: 由已知得到的坐标,然后由数量积的对于求之.在平面直角坐标系中,标出与对应的点,构造出三角形后运用余弦定理得关于向量的模的方程,由判别式大于等于0可得||的最大值.
解答: 解:如图,设=,=,则=,与的夹角等于,即∠OBA=60°,
再设||=a,||=x,在△OAB中,根据余弦定理有:
22=a2+x2﹣2×ax×cos,整理得:x2﹣ax+a2﹣4=0,
由(﹣a)2﹣4(a2﹣4)≥0,得:a2≤16,所以0<a≤4.
所以||的最大值为4.
点评: 本题考查了数量积表示两个向量的夹角,考查了方程思想,考查了数形结合思想,是中档题
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 建造一个容积为24m3,深为2m,宽为3m的长方体无盖水池,如果池底的造价为120元/m3,池壁的造价为80元/m3,求水池的总造价.
参考答案:
【考点】函数模型的选择与应用.
【分析】求出水池的长,可得底面积与侧面积,利用池底的造价为120元/m2,池壁的造价为80元/m2,即可求水池的总造价.
【解答】解:分别设长、宽、高为am,bm,hm;
水池的总造价为y元,则V=abh=24,h=2,b=3,
∴a=4m,
∴S底=4×3=12m2,
S侧=2×(3+4)×2=28m2,
∴y=120×12+80×28=3680元.
答:水池的总造价为3680元.
19. 已知函数.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当函数f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.
参考答案:
(1)答案见解析;(2)
分析:(1)先求导,再对a分类讨论,求函数的单调区间. (2)对a分类讨论,作出函数的图像,分析出函数f(x)有两个零点所满足的条件,从而求出a的取值范围.
详解:(1)由题意得
①当时,令,则;
令,则,
∴在上单调递减,在上单调递增;
②当时,令,则或,
(ⅰ)当时,令,则或;
令,则,
∴在和上单调递增,在上单调递减;
(ⅱ)当时,,
∴在上单调递增;
(ⅲ)当时,令,则或;
令,则,
∴在和上单调递增,在上单调递减;
(2)由(1)得当时,在和上单调递增,在上单调递减,
∴在处取得极大值,
∵,
∴此时不符合题意;
当时,在上单调递增,
∴此时不符合题意;
当时,在和上单调递增,在上单调递减;
∴的处取得极大值,
∵,
∴此时不符合题意;
当时,在上单调递减,在上单调递增,
∵,,
∴在上有一个零点,
(ⅰ)当时,令,当时,
∵,
∴在上有一个零点,
∴此时符合题意;
(ⅱ)当时,当时,,
∴在上没有零点,此时不符合题意;
综上所述,实数的取值范围为.
点睛:对于含参的问题,注意分类讨论思想的运用. 本题的导数,由于无法直接写出函数的单调区间,所以必须要分类讨论.分类讨论时,要注意分类的起因、分类的标准、分类的过程和分类的结论.
20. (本小题共 12 分)在长方体中,,,、分别为、的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面.
参考答案:
证明:侧面,侧面,
,………3分
在中,,则有,
A1
,,
又平面. …………6分
(2)证明:连、,连交于,
连结OE
,,
四边形是平行四边
………10分
又平面,平面,平面. ……12分
略
21. 已知命题:方程表示双曲线,命题:,.
(Ⅰ)若命题为真,求实数的取值范围;
(Ⅱ)若为真,为真,求实数的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)∵命题为真,
当时,,∴,故;
当时,,符合题意;
当时,恒成立.
综上,.
(Ⅱ)若为真,则,即.
∵若为真,为真,∴真假,
∴,解得.
22. 设复数,其中,,为虚数单位. 若是方程的一个根,且在复平面内对应的点在第一象限,求与的值.
参考答案:
方程的根为. ……………………………………………(4分)
又在复平面内对应的点在第一象限,. ……………………………(6分)
, ………………………………………………………………(8分)
解得.
又,. …………………………………………………………(11分)
从而. ……………………………………………………………………… (13分)
所以,. ……………………………………………………………(14分)