山西省忻州市五寨县孙家坪乡联校高三数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,则
A. B.
C. D.
参考答案:
B
【分析】
运用中间量0比较,运用中间量1比较
【详解】则.故选B.
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较,渗透了直观想象和数学运算素养.采取中间变量法,利用转化与化归思想解题.
2. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
【知识点】三视图G2
A由已知中的三视图,我们可以判断该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成,三棱柱的底面是一个直角边长为4的直角三角形,高为4,四棱锥的底面是一个以4为边长的正方形,高为4,分别求出棱柱和棱锥的体积,其中直三棱的底面为左视图,高为8-4=4,故,四棱锥的底面为边长为4的正方形,高为4,
故,故该几何体的体积,故选A.
【思路点拨】由已知中的三视图,可以判断该几何体是一个直三棱柱和一个四棱锥的组合体.
3. 已知数列{}满足,,则其前6项之和是( )
A.16 B.20 C.33 D.120
参考答案:
C
,,,所以,选C.
4. 在某校连续5次考试成绩中,统计甲,乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图.已知甲同学5次成绩的平均数为81,乙同学5次成绩的中位数为73,则x+y的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
参考答案:
A
因为乙同学次成绩的中位数为,所以选A.
5. 曲线在点处的切线与直线垂直,则实数的值为
A.2 B.-2 C. D.
参考答案:
A
6. 设,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 若满足条件AB=,C=的三角形ABC有两个,则边长BC的取值范围是( )
A.(1,) B.(,) C.(,2) D.(,2)
参考答案:
C
8. 已知函数在处有极值,则等于( )
A.或 B. C. 或18 D.
参考答案:
D
略
9. 设集合A={x|x2﹣(a+3)x+3a=0},B={x|x2﹣5x+4=0},集合A∪B中所有元素之和为8,则实数a的取值集合为
( )
A.{0} B.{0,3} C.{1,3,4} D.{0,1,3,4}
参考答案:
D
考点: 元素与集合关系的判断.
专题: 计算题.
分析: 通过解方程分别求得集合A、B,根据A∪B中所有元素之和为8,可得a的可能取值.
解答: 解:解方程x2﹣5x+4=0得:x=4或1,∴B={1,4},
解方程x2﹣(a+3)x+3a=0得:x=3或a,∴A={3}或{3,a},
∵1+4+3=8,∴A={3}或{3,0}或{3,1}或{3,4}.
∴a=0或1或3或4.
故选:D.
点评: 本题考查了元素与集合的关系,利用了分类讨论思想.
10. 将和式的极限表示成定积分 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知P是椭圆上的点,则P到该椭圆的一个焦点的最短距离是__________.
参考答案:
略
12. 已知函数,下列命题正确的是 。(写出所有正确命题的序号)
①是奇函数; ②对定义域内任意x,<1恒成立;
③当 时,取得极小值; ④; ⑤当x>0时,若方程||=k有且仅有两个不同的实数解·cos=-sin。
参考答案:
②④⑤
略
13. 若tan(θ+)=,则sin2θ= .
参考答案:
【考点】两角和与差的正切函数.
【专题】计算题;函数思想;三角函数的求值.
【分析】利用两角和的正切函数,求出正切函数值,然后求解即可.
【解答】解:tan(θ+)=,
=,可得tanθ=﹣.
sin2θ===.
故答案为:;
【点评】本题考查两角和的正切函数以及三角函数的化简求值,考查计算能力.
14. (2009江苏卷)已知向量和向量的夹角为,,则向量和向量的数量积= 。
参考答案:
3
解析:考查数量积的运算。
15. 由曲线与直线所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是
Ks5u
参考答案:
2-2
略
16. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示.从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根,则其棉花纤维的长度小于20mm的概率为 .
参考答案:
考点:
古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图.
专题:
计算题;概率与统计.
分析:
结合频率分步直方图分析可得,棉花纤维的长度小于20mm的有三组,计算可得每一组包含的棉花纤维的数目,将其相加即可得长度小于20mm的棉花纤维的数目,由等可能事件的概率公式,计算可得答案.
解答:
解:根据题意,棉花纤维的长度小于20mm的有三组,
[5,10)这一组的频率为5×0.01=0.05,有100×0.05=5根棉花纤维在这一组,
[10,15)这一组的频率为5×0.01=0.05,有100×0.05=5根棉花纤维在这一组,
[15,20)这一组的频率为5×0.04=0.2,有100×0.2=20根棉花纤维在这一组,
则长度小于20mm的有5+5+20=30根,
则从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根,其长度小于20mm的概率为=;
故答案为.
点评:
本题考查频率分步直方图的应用,涉及古典概型的计算;关键是
17. 几何证明选讲选做题)如图3,圆的割线交圆
于、两点,割线经过圆心。已知,
,。则圆的半径.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)
图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连结DG,如图2.
(1)证明图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;
(2)求图2中的四边形ACGD的面积.
参考答案:
解:(1)由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.
由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.
又因为AB平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)取CG的中点M,连结EM,DM.
因为AB//DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG.
由已知,四边形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM.
因此DM⊥CG.
在DEM中,DE=1,EM=,故DM=2.
所以四边形ACGD的面积为4.
19. 如图,自圆O外一点P引圆O的切线,切点为A,M为AP的中点,过点M引圆的割线交圆O于B,C两点,且∠BMP=120°,∠BPC=30°,MC=8.
(Ⅰ)求∠MPB的大小;
(Ⅱ)记△MAB和△MCA的面积分别为S△MAB和S△MCA,求.
参考答案:
【考点】与圆有关的比例线段;相似三角形的性质.
【分析】(Ⅰ)由切割线定理,得MA2=MB?MC,再根据M为PA的中点,将MA换成MP,得到△PMB∽△CMP,从而∠MPB=∠MCP,最后在△CMP中利用内角和为180°列式,可得∠MPB的大小;
(Ⅱ)证明△MAB~△MCA,可得,即可求.
【解答】解:(Ⅰ)∵MA是圆O的切线,MC是圆O的割线,∴MA2=MB?MC,
又∵M为AP的中点,∴MA=MP,
∴MP2=MB?MC,且∠PMB=∠CMP,
∴△PMB~△CMP,∴∠MPB=∠MCP,
又∵∠MPB+∠MCP+∠CMP+∠CPB=180°,
且∠BMP=120°,∠BPC=30°,∴∠MPB=15°.
(Ⅱ)∵MA是圆O的切线,∴∠MAB=∠ACM,
∴△MAB~△MCA,
∴,
在△CMP中,MC=8,∠CPM=45°,∠PCM=15°,
由正弦定理得:,∵MA=MP,∴,
∴.
20. (本小题满分12分)
某架飞机载有5位空降兵空降到A、B、C三个地点,每位空降兵都要空降到A、B、C中任意一个地点,且空降到每一个地点的概率都是,用表示地点C空降人数,求:
地点A空降1人,地点B、C各空降2人的概率;
随机变量的分布列与期望.
参考答案:
(1)(2)详见解析
【知识点】随机变量的期望与方差随机变量的分布列古典概型
【试题解析】(1)基本事件的总数为个,
“地点A空降1人,地点B、C各空降2人”包含的基本事件为,
所以所求事件的概率为:;
(2)由题意知随机变量 ,
∴随机变量的所有可能取值为
,
所以随机变量的分布列为:
根据二项分布得数学期望.
21. (本小题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
已知复数.
(1)若,求角;
(2)复数对应的向量分别是,其中为坐标原点,求的取值范围.
参考答案:
(1)
=……2分
…………………………4分
又 ,, …………………6分
(2)
………………………10分
,………14分
22. (15分)(2015?东阳市模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比数列,且.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若b=3,求△ABC的面积最大值.
参考答案:
考点: 正弦定理;余弦定理.
专题: 解三角形.
分析: (Ⅰ)由正弦定理结合已知可得sin2B=sinAsinC.又,结合sinB>0,可求sinB的值,结合B∈(0,π),即可求得B的大小,又b2=ac,则b≤a或b≤c,即b不是△ABC的最大边,从而可求B的值.
(II)由余弦定理结合已知可得ac≤9,由三角形面积公式可得,即可求得△ABC的面积最大值.
解答: 解:(Ⅰ)因为a、b、c成等比数列,则b2=ac.
由正弦定理得sin2B=sinAsinC.
又,
所以.
因为sinB>0,
则.…4分
因为B∈(0,π),
所以B=或.
又b2=ac,则b≤a或b≤c,即b不是△ABC的最大边,
故.…7分
(II)由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得9=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac,得ac≤9.
所以,.
当a=c=3时,△ABC的面积最大值为…12分.
点评: 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式,基本不等式,等比数列的性质等知识的应用,综合性强,属于中档题.