广东省梅州市岩上中学高三数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图1所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
参考答案:
D
略
2. 已知等比数列{an}中,公比,则a4=( )
A.1 B.2 C.4 D.8
参考答案:
D
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】由已知把a3a5a7=64转化为a4的方程求解.
【解答】解:在等比数列{an}中,由,
得,解得a4=8.
故选:D.
3. 将函数的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,所得图象的一条对称轴方程可能是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
考点: 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
专题:三角函数的图像与性质.
分析: 根据三角函数的图象变换关系进行求解即可.
解:将函数的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sin(),
由=+kπ,
即+2kπ,k∈Z,
∴当k=0时,函数的对称轴为,
故选:D.
点评:本题主要考查三角函数的图象变换关系以及三角函数对称轴的计算,求出函数的解析式是解决本题的关键.
4. 定义在R上的函数满足:,当
时,,则的值是( )
A. B. 0 C. 1 D. 2
参考答案:
C
由题意得:,所以是以2为周期的周期函数,,选C
5. 已知函数和的图象的对称中心完全相同,若,则/(X)的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
6. 如果的展开式中各项系数之和为128,则展开式中的系数是( )
A.7 B.﹣7 C.21 D.﹣21
参考答案:
C
考点:二项式系数的性质.
专题:计算题.
分析:给二项式中的x赋值﹣1,求出展开式的各项系数和,列出方程,求出n;将n的值代入二项式,利用二项展开式的通项公式求出通项,令x的指数为﹣3,求出r的值,将r的值代入通项,求出展开式中的系数.
解答: 解:令x=1得展开式的各项系数之和2n,
∴2n=128,
解得n=7.
∴展开式的通项为
,
令,
解得r=6.
所以展开式中的系数是3C76=21.
故选C
点评:本题考查通过给二项式中的x赋值求展开式的系数和、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.
7. 已知集合,集合,,那么集合
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
考点:集合的运算
,所以,故选A
8. 已知,,若,则 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
9. 函数在上的图象大致为
参考答案:
C
略
10. 已知锐角α的终边上一点P(sin40°,1+cos40°),则α等于( )
A.10° B.20° C.70° D.80°
参考答案:
C
【考点】任意角的三角函数的定义.
【分析】由题意求出PO的斜率,利用二倍角公式化简,通过角为锐角求出角的大小即可.
【解答】解:由题意可知sin40°>0,1+cos40°>0,
点P在第一象限,OP的斜率
tanα===cot20°=tan70°,
由α为锐角,可知α为70°.
故选C.
【点评】本题考查直线的斜率公式的应用,三角函数的化简求值,考查计算能力.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若直线与幂函数的图像相切于点,则直线的方程为 ;
参考答案:
12. 在中,,,,则 .
参考答案:
13. 如图1,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E是DC的中点;如图2,将△DAE沿AE折起,使折后平面DAE⊥平面ABCE,则异面直线AE和DB所成角的余弦值为 .
参考答案:
取的中点为,连接,,延长到使,连接,,,则∥,所以为异面直线和所成角或它的补角.
∵
∴,且
在中,根据余弦定理得.
∴
同理可得,
又∵平面平面,平面 平面,平面
∴平面
∵平面
∴
∴,即
同理可得,
又∵
∴在中,
∵两直线的夹角的取值范围为
∴异面直线和所成角的余弦值为
故答案为.
14. 多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为 cm2.
参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.
【分析】如图所示,由三视图可知:该几何体为三棱锥P﹣ABC.该几何体可以看成是两个底面均为△PCD,高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体,进而可得答案.
【解答】解:如图所示,
由三视图可知:
该几何体为三棱锥P﹣ABC.
该几何体可以看成是两个底面均为△PCD,高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体,
由几何体的俯视图可得:△PCD的面积S=×4×4=8cm2,
由几何体的正视图可得:AD+BD=AB=4cm,
故几何体的体积V=×8×4=cm3,
故答案为:.
15. 如图是某学校学生体重的频率分布直方图,已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,第2小组的频数为10,则抽取的学生人数是 。
参考答案:
40
略
16.
一名大学生到一单位应聘,面试需回答三道题. 若每一道题能否被正确回答是相互独立的,且这名大学生能正确回答每一道题的概率都是, 则这名大学生在面试中正确回答的题目的个数的期望= ______________.
参考答案:
答案:2
17. 已知平面向量,的夹角为60°,,,则
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
(Ⅰ)求函数f(x)图象的对称轴方程;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间上的值域.
参考答案:
【考点】正弦函数的对称性;两角和与差的正弦函数.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质.
【分析】(1)由条件利用三角函数的恒等变换及化简函数的解析式,再利用正弦函数的图象的对称性,得出结论.
(2)由条件利用正弦函数的定义域和值域,求得函数的值域.
【解答】解:函数=sin2x+(sinx﹣cosx)(sinx+cosx)
=sin2x+sin2x﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=2sin(2x﹣),
由,
∴函数图象的对称轴方程为.
(2)∵,∴.
∵上单调递减,∴取得最大值2.
又f(﹣)=﹣<f()=1,故函数的最小值为﹣,故函数的值域为[﹣,2].
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,正弦函数的图象的对称性,定义域和值域、最值,属于中档题.
19. 已知函数,且f(x)≥t恒成立.
(1)求实数t的最大值;
(2)当t取最大值时,求不等式|x+t|+|x﹣2|≥5的解集.
参考答案:
【考点】分段函数的应用.
【分析】(1)根据1的替换,结合基本不等式的应用求出函数f(x)的最小值即可得到结论.
(2)根据绝对值的应用将不等式进行表示为分段函数形式,进行求解即可.
【解答】解:(1)f(x)=+=(+)(sin2x+cos2x)
=(5++)≥(5+2)=(5+2)=(5+4)=1,
当且仅当=,即时等号成立,
若f(x)≥t恒成立,
∴t≤1,即t的最大值为1.
(2)由题,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
则由|x+1|+|x﹣2|≥5得,
当x<﹣1,得1﹣2x≥5得2x≤﹣4,即x≤﹣2,此时x≤﹣2,
当﹣1≤x≤2得3≥5,此时不等式不成立,
当x>2时,得2x﹣1≥5,即x≥3,
综上x≤﹣2或x≥3,
不等式的解集为(﹣∞,﹣2]∪[3,+∞)﹣﹣﹣﹣﹣﹣
20. 数列{an}中,a1=1,an﹣an+1=anan+1,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)Sn为{an}的前n项和,bn=S2n﹣Sn,求bn的最小值.
参考答案:
【考点】数列的求和;数列递推式.
【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列.
【分析】(1)由a1=1,an﹣an+1=anan+1,n∈N*.可得=1,利用等差数列的通项公式即可得出.
(2)由(1)可得:bn=S2n﹣Sn=+…+.再利用数列的单调性即可得出.
【解答】解:(1)∵a1=1,an﹣an+1=anan+1,n∈N*.∴=1,
∴数列是等差数列,公差为1,首项为1.
∴=1+(n﹣1)=n,可得an=.
(2)由(1)可得:Sn=1++…+.
∴bn=S2n﹣Sn=+…+.
∴bn+1﹣bn=+…+++﹣(+…+)
=+﹣=﹣>0,
∴数列{bn}单调递增,∴bn的最小值为b1=.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
21. (本小题满分12分)已知函数.
(I)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的句线与X轴平行,求函数f(x)的单调区间;
(II)若对一切正数x,都有恒成立,求a的取值集合.
参考答案:
(Ⅰ)∵,
∴曲线在点处的切线斜率为,
依题意,故,∴,,
当时,,函数单调递增;当时,,函数 单调递减;所以函数的单调增区间为,减区间为; …6分
(Ⅱ)若,因为此时对一切,都有,,所以,与题意矛盾,又,故,由,令,得.
当时,,函数单调递增;当时,,函数 单调递减;所以在处取得最大值,故对,恒成立,当且仅当对,恒成立.
令,,.
则,当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增;所以在处取得最小值,因此,当且仅当,即时,成立.
故的取值集合为. …12分
略
22. 如图,某地要在矩形区域OABC内建造三角形池塘OEF,E,F分别在AB,BC边上,OA=5米,OC=4米,∠EOF=,设CF=x,AE=y.
(1)试用解析式将y表示成x的函数;
(2)求三角形池塘OEF面积S的最小值及此时x的值.
参考答案:
【考点】根据实际问题选择函数类型.
【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
【分析】(1)由∠EOF=,可得∠COF+∠AOE=,则tan(∠COF+∠AOE)==1,化简可得函数的解析式,由0≤y≤4求得x的范围;
(2)三角形池塘OEF面积S=S矩形OABC﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF,运用三角形的面积公式,设t=x+4,求得S的表达式,运用基本不等式可得最小值和x的值.
【解答】解:(1)由∠EOF=,可得∠COF+∠AOE=,
即有tan∠COF=,tan∠AOE=,
则tan(∠COF+∠AOE)==1,
即有y=,由y≤4,解得x≥,
则函数的解析式为y=,(≤x≤4);
(2)三角形池塘OEF面积S=S矩形OABC﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF
=4×5﹣×5y﹣×4x﹣×(