河北省廊坊市永清县里澜城中学高三数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若,其中为两两不等的非负整数,令
,则的大小关系是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
2. 某几何体的三视图如图所示,则其表面积为
A. B.C. D.
参考答案:
C
四棱锥的表面积为
3. 设等差数列的前项和为,若,,则当取最小值时,=
A.9 B.8 C.7 D.6
参考答案:
D
, ,
. 故选D.
4. 已知向量,,且,则实数的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
5. 已知,则的值为()
A. B.2 C. D.-2
参考答案:
B
考查正切的两角和差公式
,而
6. 如图,边长为1的菱形ABCD中, ,沿BD 将 翻折,得到三棱锥A-BCD,则当三棱锥A-BCD体积最大时,异面直线AD 与BC所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
当三棱锥体积最大时,平面平面,取中点,连接,则平面,平面,以为原点,分别为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法求出异面直线 与所成角的余弦值。
【详解】当三棱锥体积最大时,平面平面,
边长为1的菱形中,
取中点,连接,则平面,平面,
以为原点,分别为轴,建立空间直角坐标系
则,
设异面直线 与所成角为
即异面直线 与所成角的余弦值为
故选D。
【点睛】求异面直线所成的角,转化为两直线的方向向量的夹角,建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.
7. 命题“”的否定是
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
D
略
8. 下列四个图中,函数y=的图象可能是( )
参考答案:
C
略
9. 双曲线的渐近线方程为
(A)3x±4y=0 (B) 4x±3y=0 (C) 3x±5y=0 (D)5x±3y=0
参考答案:
C
10. 已知集合M={x|x﹣2<0},N={x|x<a},若M?N,则实数a的取值范围是( )
A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.(﹣∞,0) D.(﹣∞,0]
参考答案:
A
考点:集合的包含关系判断及应用.
专题:集合.
分析:解出集合M,根据子集的概念即可求得实数a的取值范围.
解答: 解:M={x|x<2};
∵M?N;
∴a≥2;
∴a的取值范围是[2,+∞).
故选A.
点评:考查子集的概念,描述法表示集合,可借助数轴求解.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点,且双曲线的右顶
点到点的距离为1,则 .
参考答案:
10
12. i+i2+i3+……+i2012= .
参考答案:
0
i+i2+i3+ i4=0,∴i+i2+i3+……+i2012=0.
13. 已知是夹角为的两个单位向量,向量,,若,则实数k的值为____.
参考答案:
【分析】
由可得关于的方程,解出即可.
【详解】,
因为, ,所以,
所以,填.
【点睛】本题考查共基底的向量数量积的计算,依据数量积的运算律运算转化为基底向量的性质即可,这类问题是容易题.
14. 在中,已知分别为,,所对的边,为的面积.若向量满足,则= .
参考答案:
15. 设是定义在上周期为4的奇函数,若在区间,,则--------
参考答案:
【知识点】函数的周期性 B4
【答案解析】 解析:解:设0<x≤2,则﹣2≤﹣x<0,
f(﹣x)=﹣ax+b,f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,
所以f(﹣x)=﹣f(x)=﹣ax+1=﹣ax+b,
∴b=1,而f(﹣2)=f(2),∴﹣2a+1=2a﹣1,即a=,
所以f(2015)=f(﹣1)=.故答案为:.
【思路点拨】先根据奇偶性求出b,然后根据周期性可求出a的值,从而可求出f(2015)的值
16. 已知函数则的值是 .
参考答案:
17. 面积为的等边三角形ABC中,D是AB边上靠近B的三等分点,则= .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. .
(1)若求的单调区间及的最小值;
(2)试比较与的大小.,并证明
你的结论.
参考答案:
略
19. 已知函数.
(Ⅰ)当时,求的单调区间;
(Ⅱ)设函数在点处的切线为,直线与轴相交于点.若点的纵坐标恒小于1,求实数的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)当时,,,
所以,当时,;当时,;
所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为.
(Ⅱ)因为,
所以处切线的斜率,
所以切线的方程为,
令,得 .
当时,要使得点的纵坐标恒小于1,
只需,即
令,
则,
因为,所以,
①若即时,,
所以,当时,,即在上单调递增,
所以恒成立,所以满足题意.
略
20. 已知椭圆Γ: =1(a>b>0)的左顶点为A,右焦点为F2,过点F2作垂直于x轴的直线交该椭圆于M、N两点,直线AM的斜率为.
(1)求椭圆Γ的离心率;
(2)若△AMN的外接圆在点M处的切线与椭圆交于另一点D,△F2MD的面积为,求椭圆Γ的标准方程.
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)由题意M(c,),因为A(﹣a,0),所以,,可得椭圆Γ的离心率
(2)由(1)可知,a=2c,由b2=a2﹣c2=4c2﹣c2=3c2,∴椭圆方程为:,
M(c, c),A(﹣2c,0),设外接圆的圆心为T(t,0),由丨TA丨=丨TM丨得(t+2c)2=(t﹣c)2+c2,解得t=﹣.
求得切线方程,代入椭圆方程,求得丨MD丨,根据点到直线的距离公式及三角形面积公式,代入即可求得c的值,求得椭圆方程.
【解答】解:(1)由题意M(c,),因为A(﹣a,0),所以,,e=,∴椭圆Γ的离心率为.
(2)由(1)可知,a=2c,由b2=a2﹣c2=4c2﹣c2=3c2,∴椭圆方程为:,
M(c, c),A(﹣2c,0),设外接圆的圆心为T(t,0),由丨TA丨=丨TM丨得(t+2c)2=(t﹣c)2+c2,解得t=﹣.
kTM=,∴切线斜率k=﹣,∴∴切线方程为3x+4y﹣9c=0,
代入椭圆方程消y得7x2﹣18cx+11c2=0,
△=182c2﹣4×7×11c2=16c2>0,xD=,yD=,
∴丨MD丨=,F2点到CD的距离d=,
由S=丨CD丨?d,得,∴c2=2,
∴椭圆方程为
21. 已知两点、,点是直角坐标平面上的动点,若将点的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点满足.
(1) 求动点所在曲线的轨迹方程;
(2)(理科)过点作斜率为的直线交曲线于两点,且满足,又点关于原点O的对称点为点,试问四点是否共圆,若共圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆,请说明理由.
参考答案:
解(1)依据题意,有.
∵,
∴.
∴动点P所在曲线C的轨迹方程是.
(2)(理科)因直线过点,且斜率为,
故有.联立方程组,得.
设两曲线的交点为、,可算得.
又,点与点关于原点对称,
于是,可得点、.
若线段、的中垂线分别为和,则有,.
联立方程组,解得和的交点为.
因此,可算得,
.
所以,四点共圆,圆心坐标为,半径为.
22. .已知函数.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在区间上的最值及相应的x值.
参考答案:
(1),
所以的最小正周期是.
(2)因为,所以,
所以,
当时,;当时,.