2022年河南省信阳市白店乡中学高一数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. (5分)为了得到函数y=sin2x(x∈R)的图象,可以把函数y=sin(3x+)(x∈R)的图象上所有点的()
A. 纵坐标不变,横坐标伸长到原来的倍,然后向右平移个单位
B. 纵坐标不变,横坐标伸长到原来的倍,然后向左平移个单位
C. 纵坐标不变,横坐标缩短到原来的倍,然后向右平移个单位
D. 纵坐标不变,横坐标缩短到到原来的倍,然后向左平移个单位
参考答案:
A
考点: 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
专题: 计算题;三角函数的图像与性质.
分析: 根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,逐一验证各个选项即可得解.
解答: A,把函数y=sin(3x+)(x∈R)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的倍,所得的函数解析式为:y=sin(3x+)=sin(2x+).然后向右平移个单位,所得的函数解析式为:y=sin[2(x﹣)+]=sin2x.满足题意.
B,把函数y=sin(3x+)(x∈R)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的倍,所得的函数解析式为:y=sin(3x+)=sin(2x+).然后向左平移个单位,所得的函数解析式为:y=sin[2(x+)+]=cos2x,不满足题意.
C,把函数y=sin(3x+)(x∈R)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的倍,然后向右平移个单位所得函数解析式为:y=sin[2(x﹣)+]=sin(2x﹣),不满足题意.
D,坐标不变,横坐标缩短到到原来的倍,然后向左平移个单位,所得的函数解析式为:y=sin[2(x+)+]=sin(2x+),不满足题意.
故选:A.
点评: 本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.
2. ( )
A. B. C. - D. -
参考答案:
B
3. 在△ABC中,,M为AC边上的一点,且,若BM为∠ABC的角平分线,则 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
【分析】
先根据正弦定理用角A,C表示,再根据三角形内角关系化基本三角函数形状,最后根据正弦函数性质得结果.
【详解】因为,为的角平分线,所以,
在中,,因为,所以,
在中,,因为,所以,所以,
则
,
因为,所以,
所以,则 ,
即的取值范围为.选A.
【点睛】本题考查函数正弦定理、辅助角公式以及正弦函数性质,考查基本分析求解能力,属中档题.
4. 若α、β均为锐角,且2sinα=sinαcosβ+cosαsinβ,则α与β的大小关系为( )
A.α<β B.α>β C.α≤β D.不确定
参考答案:
A
【考点】两角和与差的正弦函数.
【专题】三角函数的图像与性质.
【分析】由题意和不等式的放缩法可知sinαcosβ<sinα,cosαsinβ<sinβ,代入已知式子可得sinα<sinβ,再由正弦函数的单调性质可得.
【解答】解:∵2sinα=sinαcosβ+cosαsinβ,
又∵α、β是锐角,∴0<cosβ<1,0<cosα<1,
∴sinαcosβ<sinα,cosαsinβ<sinβ,
∴2sinα=sinαcosβ+cosαsinβ<sinα+sinβ,
即2sinα<sinα+sinβ,
∴sinα<sinβ,
∵α、β为锐角,∴α<β,.
故选:A.
【点评】本题考查两角和与差的正弦,考查正弦函数的单调性质和不等式的放缩法,属中档题.
5. 函数的值域是:( )
A. B. C . D.
参考答案:
A
6. 圆过点的切线方程是
A. B.
C. D.
参考答案:
D
7. 已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则该圆台较小底面的半径为( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 3
参考答案:
A
分析:设出上底面半径为r,利用圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,求出上底面半径,即可.
详解:设上底面半径为r,因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,所以S侧面积=π(r+3r)l=84π,r=7
故选:A.
点睛:本题是基础题,考查 圆台的侧面积公式,考查计算能力,牢记圆台的侧面积公示,直接代入公式即可.
8.
参考答案:
A
略
9. 已知向量,则在上的投影为( )
A. B. C. 1 D.-1
参考答案:
D
10. 函数f(x)=lnx﹣的零点所在的大致区间是( )
A.(1,2) B.(2,3) C.(1,) D.(e,+∞)
参考答案:
B
【考点】二分法求方程的近似解.
【分析】直接通过零点存在性定理,结合定义域选择适当的数据进行逐一验证,并逐步缩小从而获得最佳解答.
【解答】解:函数的定义域为:(0,+∞),有函数在定义域上是递增函数,所以函数只有唯一一个零点.
又∵f(2)﹣ln2﹣1<0,f(3)=ln3﹣>0
∴f(2)?f(3)<0,
∴函数f(x)=lnx﹣的零点所在的大致区间是(2,3).
故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数f(x)=x2﹣x﹣2的零点是 .
参考答案:
2或﹣1
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】由零点的定义,令f(x)=0,由二次方程的解法,运用因式分解解方程即可得到所求函数的零点.
【解答】解:令f(x)=0,
即x2﹣x﹣2=0,
即有(x﹣2)(x+1)=0,
解得x=2或x=﹣1.
即函数f(x)的零点为2或﹣1.
故答案为:2或﹣1.
12. 将某班的60名学生编号为:01,02,03,…,60,采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本,且随机抽得的一个号码为04,则剩下的四个号码依次是 .
参考答案:
16,28,40,52
13. 已知△FOQ的面积为S,且.若,则的夹角θ的取值范围是 .
参考答案:
(45°,60°)
【考点】9P:平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.
【分析】由向量的数量积公式得到与的乘积,把面积转化为含有角OFQ正切的表达式,由三角形面积的范围得到角OFQ正切值的范围,从而得到答案.
【解答】解:∵,
∴=,
得:,
由三角形面积公式,得:S=,
∴S=﹣=﹣,
∵,
∴,
,
∴120°<∠OFQ<135°,
而的夹角与∠OFQ互为补角,
∴夹角的取值范围是:(45°,60°).
14. 如图是一个几何体的三视图,若它的体积是,则a= ;
参考答案:
15. 在△ABC中,若∠A=120°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积S= .
参考答案:
【考点】正弦定理.
【分析】用余弦定理求出边AC的值,再用面积公式求面积即可.
【解答】解:据题设条件由余弦定理得|BC|2=|AB|2+|AC|2﹣2|AB||AC|cosA
即49=25+|AC|2﹣2×5×|AC|×(﹣),
即AC|2+5×|AC|﹣24=0解得|AC|=3
故△ABC的面积S=×5×3×sin120°=
故应填
16. 设等差数列的前项和为,若,则 .
参考答案:
24
略
17. (3分)已知平行四边形ABCD顶点的坐标分别为A(﹣1,0),B(3,0),C(1,﹣5),则点D的坐标为 .
参考答案:
(﹣3,﹣5)
考点: 平面向量的坐标运算.
专题: 平面向量及应用.
分析: 根据题意,画出图形,结合图形,利用向量相等,求出点D的坐标.
解答: 解:设D(x,y),画出图形,如图所示;
在平行四边形ABCD中,
=(x+1,y),=(1﹣3,﹣5﹣0)=(﹣2,﹣5);
=,,
解得,∴D(﹣3,﹣5).
故答案为:(﹣3,﹣5).
点评: 本题考查了平面向量的坐标表示与应用问题,是基础题目.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知幂函数在定义域上递增。
(1)求实数k的值,并写出相应的函数的解析式;
(2)对于(1)中的函数,试判断是否存在正数m,使函数,在区间上的最大值为5。若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由。
参考答案:
解:由题意得:,解得,
因为,所以k=0,或k=1,
当k=0时,,
当k=1时,,
综上所述,k的值为0或1,。
(2)函数,
由此要求,因此抛物线开口向下,对称轴方程为:,
当时,,
因为在区间上的最大值为5,
所以,或
解得满足题意。
略
19. (本小题满分10分)已知函数。
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)求函数的单调递增区间。
参考答案:
(Ⅰ)
…………5分
的最小正周期 …………6分
(Ⅱ)令 ……8分
即
的单调增区间为……10分
20. 如图,在四棱锥中P﹣ABCD,AB=BC=CD=DA,∠BAD=60°,AQ=QD,△PAD是正三角形.
(1)求证:AD⊥PB;
(2)已知点M是线段PC上,MC=λPM,且PA∥平面MQB,求实数λ的值.
参考答案:
【考点】直线与平面平行的判定;空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】(1)连结BD,则△ABD为正三角形,从而AD⊥BQ,AD⊥PQ,进而AD⊥平面PQB,由此能证明AD⊥PB.
(2)连结AC,交BQ于N,连结MN,由AQ∥BC,得,根据线面平行的性质定理得MN∥PA,由此能求出实数λ的值.
【解答】证明:(1)如图,连结BD,由题意知四边形ABCD为菱形,∠BAD=60°,
∴△ABD为正三角形,
又∵AQ=QD,∴Q为AD的中点,∴AD⊥BQ,
∵△PAD是正三角形,Q为AD中点,
∴AD⊥PQ,又BQ∩PQ=Q,∴AD⊥平面PQB,
又∵PB?平面PQB,∴AD⊥PB.
解:(2)连结AC,交BQ于N,连结MN,
∵AQ∥BC,∴,
∵PN∥平面MQB,PA?平面PAC,
平面MQB∩平面PAC=MN,
∴根据线面平行的性质定理得MN∥PA,
∴,
综上,得,∴MC=2PM,
∵MC=λPM,∴实数λ的值为2.
21. 已知函数f(x)=, x∈[3, 5]
(1)判断f(x)单调性并证明;(2)求f(x)最大值,最小值.
参考答案:
22. (9分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π).若f(x)的图象过点M(,1)及N(,﹣1),且f(x)在区间上时单调的.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将f(x)的图象先向左平移t(t>0)个单位,再向上平移一个单位后所得图象对应函数为g(x),若g(x)的图象恰好过原点,求t的取值构成的集合.
参考答案:
考点: 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的图象.
专题: 计算题;三角函数的图像与性质.
分析: (1)由题意可求得周期T=2()=π,求得ω的值,由f(x)的图象过点M(,1),解得φ的值,即可求得f(x)的解析式.
(2)由题意先求得函数g(x)的解析式,由g(x)的图象过原点,可得sin(2t+)=﹣1,从而可求得t的取值构成的集合.
解答: