2022年福建省福州市蓼沿中学高三数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在,边所对的角分别为,若,,b=1,则a=
A. B. C. D.
参考答案:
【知识点】解三角形C8
【答案解析】A 由题意得,0<A<π,sinA>0.故sinA==,
由正弦定理知,?a=sinA×=×=.
故答案为:A.
【思路点拨】角A为三角形内角,故0<A<π,sinA>0,从而可求sinA=,所以由正弦定理可求a= .
2. 已知cosα=1,则sin(α﹣)=( )
A. B. C.﹣ D.﹣
参考答案:
C
【考点】两角和与差的正弦函数.
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα,进而利用两角差的正弦函数公式,特殊角的三角函数值即可计算得解.
【解答】解:∵cosα=1,可得:sinα=0,
∴sin(α﹣)=sinαcos﹣cosαsin=﹣1×=﹣.
故选:C.
3. 已知.满足约束条件,则的最小值为
A. B. C. D.
参考答案:
A
4. 已知集合,,则A∪B=
A. [0,+∞) B. [1,+∞)
C. D.
参考答案:
B
【分析】
一元不等式化简集合B,然后直接利用并集运算得答案.
【详解】=,则
故选:B
【点睛】本题考查并集其运算,考查了不等式的解法,是基础题.
5. 的值为 ( )
B. C. D.-
参考答案:
答案:D
6. 在长方体中,,点是的中点,那么异面直线与所成角余弦值为( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
7. 《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“九儿问甲歌” 就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.在这个问题中,记这位公公的第n个儿子的年龄为,则( )
A.23 B.32 C.35 D. 38
参考答案:
C
8. 的展开式中,常数项为( )
A.-15 B.16 C.15 D.-16
参考答案:
B
∵()?(1),故它的展开式中的常数项是1+15=16
9. 设命题p:函数y=sin2x的最小正周期为;命题q:函数y=cosx的图象关于直线x=对称.则下列判断正确的是 ( )
A.p为真 B.﹁q为假 C.p∧q为假 D.p∨q为真
参考答案:
C
10. 按下面的流程图进行计算.若输出的,则输出的正实数值的个数最多为( )
A.5 B.4 C. 3 D.2
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下列几个命题:
①方程有一个正实根,一个负实根,则;
②函数是偶函数,但不是奇函数;
③设函数定义域为R,则函数与的图象关于轴对称;
④一条曲线和直线的公共点个数是,则的值不可能是.
其中正确的有______________.
参考答案:
①④
12. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合,则ω的最小值为 .
参考答案:
4
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质.
【分析】由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,终边相同的角的特征,求得ω的最小值.
【解答】解:函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),把f(x)的图象向左平移个单位所得的图象为y=sin[ω(x+)+φ]=sin(ωx++φ),
把f(x)的图象向右平移个单位所得的图象为y=sin[ω(x﹣)+φ]=sin(ωx﹣+φ),
根据题意可得,y=sin(ωx++φ)和y=sin(ωx﹣+φ)的图象重合,
故 +φ=2kπ﹣+φ,求得ω=4k,故ω的最小值为4,
故答案为:4.
【点评】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,终边相同的角,属于基础题.
13. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,且△ABC的面积为,则ab最小值为_______.
参考答案:
48
【分析】
根据条件和余弦定理,求得,进而可得。结合三角形面积公式,可得,代入条件式可得 的关系,结合不等式即可求得的最小值。
【详解】在中,结合余弦定理
可得
所以
由三角形面积公式,可得代入化简可得
代入中可得
因为
所以
解不等式可得
所以最小值为
【点睛】本题考查了余弦定理及三角形面积公式,不等式在求最值中的应用,属于中档题。
14. 已知,,,则 .
参考答案:
因为,所以,即,又。
15. 图是某算法的流程图,其输出值a是_____
参考答案:
略
16. 一个容量为20的样本数据分组后,分组与频数分别如下:,2;
,3;,4;,5;,4;,2.则样本在上的频率是 .
参考答案:
17. 已知定义在上的函数 ,该函数的值域是 ;
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)已知函数.
(1)若为函数的一个极值点,试确定实数的值,并求此时函数的极值;
(2)求函数的单调区间.
参考答案:
解:(1)∵f(x)=2x3-3ax2+1,∴=6x2-6ax.依题意得=6-6a=0,解得a=1.
所以f(x)=2x3-3x2+1,=6x(x-1).令=0,解得x=0或x=1.列表如下:
x
(-∞,0)
0
(0,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以当x=0时,函数f(x)取得极大值f(0)=1;
当x=1时,函数f(x)取得极小值f(1)=0.
(2)∵=6x2-6ax=6x(x-a),
∴①当a=0时,=6x2≥0,函数f(x)在(-¥,+¥)上单调递增;
②当a>0时,=6x(x-a),、f(x)随x的变化情况如下表:
x
(-∞,0)
0
(0,a)
a
(a,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
由上表可知,函数f(x)在(-¥,0)上单调递增,在(0,a)上单调递减,在(a,+¥)上单调递增;
③同理可得,当a<0时,函数f(x)在(-¥,a)上单调递增,在(a,0)上单调递减,在(0,+¥)上单调递增.
综上所述,当a=0时,函数f(x)的单调递增区间是(-¥,+¥);
当a>0时,函数f(x)的单调递增区间是(-¥,0)和(a,+¥),单调递减区间是(0,a);
当a<0时,函数f(x)的单调递增区间是(-¥,a)和(0,+¥),单调递减区间是(a,0).
19. 在中,角所对的边分别为,已知.
(1)求角的大小;
(2)若,且,求边;
(3)若,求周长的最大值.
参考答案:
(1)中,因为,所以,
所以,
所以
所以,
所以.
(2)由正弦定理得:,
又,得,所以,所以
又由余弦定理:
所以
(3)由余弦定理:
所以,当且仅当时等号成立.
故,即周长最大值为.
20. 已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2﹣2ρcos(θ﹣)=2.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设两圆交点分别为A、B,求直线AB的参数方程,并利用直线AB的参数方程求两圆的公共弦长|AB|.
参考答案:
【考点】简单曲线的极坐标方程.
【分析】(1)利用x=ρcosθ、y=ρsinθ把圆O1,圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程.
(2)把2个圆的直角坐标方程相减可得公共弦所在的直线方程,再化为参数方程.利用直线AB的参数方程求两圆的公共弦长|AB|.
【解答】解:(1)圆O1的极坐标方程为ρ=2,直角坐标方程x2+y2=4,
O2的极坐标方程为,ρ2﹣2ρcos(θ﹣)=2,直角坐标方程x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0;
(2)两圆的方程相减,可得直线AB的方程为x+y+1=0,参数方程为(t为参数),
代入x2+y2=4,可得t2﹣t﹣3=0
∴|AB|==.
21. 已知锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A、B两点,其中A点坐标.
(1)求的值;
(2)若,求B点坐标.
参考答案:
(1);(2).
【分析】
(1)先求出,再求的值.(2)由题得,解方程组即得点B的坐标.
【详解】由题得,
,
所以=-7.
由题设B(x,y),
因为是钝角,所以,所以点B的坐标为.
【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义,考查三角恒等变换求值,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
22. (本题满分12分) 甲、乙、丙三人参加某次招聘会,假设甲能被聘用的概率是,甲、丙两人同时不能被聘用的概率是,乙、丙两人同时能被聘用的概率为,且三人各自能否被聘用相互独立.
(1) 求乙、丙两人各自被聘用的概率;
(2) 设ξ为甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值,求ξ的分布列与均值(数学期望)
参考答案:
【知识点】离散型随机变量的期望与方差;互斥事件的概率加法公式;离散型随机变量及其分布列.K5 K6
(1) (2) 见解析
解析:(1)设乙、丙两人各自被聘用的概率分别为P1、P2,
则甲、丙两人同时不能被聘用的概率是(1-)·(1-P2)=,2分
解得P2=,3分
乙、丙两人同时能被聘用的概率为P1·P2=∴P1=,5分
因此乙、丙两人各自被聘用的概率分别为、.6分
(2)ξ的可能取值有1、3,7分
则P(ξ+×(1-)×+××(1-)=,8分
P(ξ=3)= (1-)×(1-)×(1-)+××=,9分
因此随机变量ξ的分布列如表所示
ξ
1
3
P
所以随机变量ξ的均值(即数学期望)E(ξ)=1×+3×=.12分
【思路点拨】(1)记甲,乙,丙各自能被聘用的事件分别为A1,A2,A3,由已知A1,A2,A3相互独立,由此能求出乙,丙各自能被聘用的概率.(2)ξ的可能取值为1,3.分别求出P(ξ=1)和P(ξ=3),由此能求出ξ的分布列和数学期望.