2022年陕西省西安市第二十五中学高三数学文月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 双曲线M:(a>0,b>0)实轴的两个顶点为A,B,点P为双曲线M上除A、B外的一个动点,若且,则动点Q的运动轨迹为( )
A .圆 B.椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
参考答案:
C
略
2. 已知命题:存在,曲线为双曲线;命题:的解集是.给出下列结论中正确的有( ☆ )
①命题“且”是真命题; ②命题“且()”是真命题;
③命题“()或”为真命题; ④命题“()或()”是真命题.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案:
B
3. 已知a>0,x,y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为1,则a等于( )
A. B. C.1 D.2
参考答案:
B
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移先确定z的最优解,然后确定a的值即可.
【解答】解:先根据约束条件画出可行域,如图示:
,
z=2x+y,
将最大值转化为y轴上的截距的最大值,
当直线z=2x+y经过点B时,z最小,
由得:,代入直线y=a(x﹣3)得,a=;
故选:B.
【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.
4. 一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒,当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
5. 如图所示程序框图中,输出S=( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.
参考答案:
B
【考点】程序框图.
【专题】计算题;图表型;数形结合;试验法;算法和程序框图.
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的n,S的值,当n=2017时,满足条件n>2016,退出循环,输出S的值,利用正弦函数,余弦函数的取值的周期性即可求值.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得
n=1,S=0,
S=cos+sin,
n=2,不满足条件n>2016,S=(cos+sin)+(cos(2×)+sin(2×)),
…
n=2016,不满足条件n>2016,S=(cos+sin)+(cos(2×)+sin(2×))+…+(cos+sin),
n=2017,满足条件n>2016,退出循环,输出S=(cos+sin)+(cos(2×)+sin(2×))+…+(cos+sin)的值.
∵sin+sin+sin+sin+sin+sin=0,k∈Z,且cos+cos+cos+cos+cos+cos=0,k∈Z,2016=6×336,
∴可得:S=0.
故选:B.
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,考查了正弦函数,余弦函数的取值的周期性,属于基本知识的考查.
6. 设是等比数列,公比,为的前n项和。记
,设为数列的最大项,则=
A.3 B.4 C.5 D.6
参考答案:
B
略
7. 已知各项均为正数的等比数列满足,则的值为( )
A.4 B.2 C.1或4 D.1
参考答案:
A
8. 如果函数图像上任意一点的坐标都满足方程,那么正确的选项是( )
A.是区间上的减函数,且
B.是区间上的增函数,且
C.是区间上的减函数,且
D.是区间上的增函数,且
参考答案:
略
9. 设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣2)=0,当x>0时,xf′(x)﹣f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣2)∪(0,2) B.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) C.(﹣2,0)∪(2,+∞) D.(﹣2,0)∪(0,2)
参考答案:
A
【考点】利用导数研究函数的单调性;函数的单调性与导数的关系.
【分析】构造函数g(x),利用g(x)的导数判断函数g(x)的单调性与奇偶性,求出不等式的解集即可.
【解答】解:设g(x)=,则g(x)的导数为:
g′(x)=,
∵当x>0时总有xf′(x)﹣f(x)<0成立,
即当x>0时,g′(x)<0,
∴当x>0时,函数g(x)为减函数,
又∵g(﹣x)====g(x),
∴函数g(x)为定义域上的偶函数,
∴x<0时,函数g(x)是增函数,
又∵g(﹣2)==0=g(2),
∴x>0时,由f(x)>0,得:g(x)<g(2),解得:0<x<2,
x<0时,由f(x)>0,得:g(x)>g(﹣2),解得:x<﹣2,
∴f(x)>0成立的x的取值范围是:(﹣∞,﹣2)∪(0,2).
故选:A.
10. 在区间内随机取两个数分别记为,则使得函数有零点的概率为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
在区间内随机取两个数分别记为,表示边长为的正方形。要使函数有零点,需,表示以原点为圆心,为半径的圆的外部,且在正方形的内部,所以其面积为,所以有零点的概率为。
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数在区间上恰有一个零点,则实数的取值范围是_____.
参考答案:
或
略
12. 在圆x2+y2=4所围成的区域内随机取一个点P(x,y),则|x|+|y|≤2的概率为 .
参考答案:
略
13. 已知函数,则满足的x的取值范围是 _____.
参考答案:
14. 已知函数f(x)=ax2(a>0),点A(5,0),P(1,a),若存在点Q(k,f(k))(k>0),要使= λ(+)(λ为常数),则k的取值范围为 .
参考答案:
(2,+∞)
【考点】二次函数的性质.
【分析】根据向量和+共线得出a,k的关系式,化简即可得出k=.根据条件得出0<1﹣a2<1,
【解答】解:Q(k,ak2),=(1,0),=(,),=(1,a).
∴+=(1+,),
∵=λ(+)(λ为常数),
∴﹣a(1+)=0,
∴ak2﹣ak=a=ak,
∴k﹣1=,即k2﹣2k+1=a2k2+1,
若a=1,则k=0,不符合题意;
∴a≠1,∴k=.
∵a>0且a≠1,k>0,
∴0<1﹣a2<1,
∴>2.
故答案为(2,+∞).
15. 设函数对任意不等式恒成立,则正数的取值范围是 .
参考答案:
16. 过点且与直线垂直的直线方程的一般式是___________
参考答案:
x+2y-2=0
略
17. 直线轴以及曲线围成的图形的面积为 。
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在三棱柱中,底面,,,,是棱上一点.
(I)求证:.
(II)若,分别是,的中点,求证:平面.
(III)若二面角的大小为,求线段的长.
参考答案:
(I)∵面,面,
∴.
∵,,
∴中,,
∴.
∵,∴面.
∵面,
∴.
(II)连接交于点.
∵四边形是平行四边形,
∴是的中点.
又∵,分别是,的中点,
∴,且,
∴四边形是平行四边形,可得.
∵面,面,
∴面.
(III)∵,且平面,
∴以为原点,,,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系.
设,可得:
,,,,
∴,,.
设平面的法向量,故,,
则有,取,
则,
平面的法向量.
∵二面角的大小为,
∴,
∴,
∴,,
∴.
19. 如图所示,平面,四边形为正方形,且.分别是线段的中点.
(1) 求证:
(2) 求证:
参考答案:
略
20. (本题满分13分)
已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足.
(1) 求曲线C的方程;
(2) 动点Q(x0,y0)(-2<x0<2)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为l向:是否存在定点P(0,t)(t<0),使得l与PA,PB都不相交,交点分别为D,E,且△QAB与△PDE的面积之比是常数?若存在,求t的值。若不存在,说明理由。
参考答案:
【点评】本题以平面向量为载体,考查抛物线的方程,直线与抛物线的位置关系以及分类讨论的数学思想. 高考中,解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准方程,离心率等基本性质,直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题,定点,定值,探讨性问题等;二、考查抛物线的标准方程,准线等基本性质,直线与抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题,中点坐标公式,定点,定值,探讨性问题等;三、椭圆,双曲线,抛物线综合起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大,因为它们都是考纲要求理解的内容.
21. 已知函数,.
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)若函数有零点,求实数的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ) --------------------------4分
---------------------------6分
∴周期 ----------------------------7分
(Ⅱ)令,即, ------------------------------8分
则, --------------------------------9分
因为, ---------------------------------11分
所以, --------------------------------12分
所以,若有零点,则实数的取值范围是. -----------------------------13分
略
22. (本小题满分10分) 如图,圆O1与圆O2相交于A,B 两点,AB是圆O2的直径,过A点作圆O1的切线交圆O2于点E,并与BO1的延长线交于点P,PB分别与⊙O1、⊙O2交于C,D两点.
求证: (1)PA?PD=PE?PC; (2)AD=AE.
参考答案:
(1)
①……………………2分
②……………………4分
由 ①②得 ……………………5分
(2)连接AC,DE.,
.
由(1)知,……………………8分
AB是圆的直径 弧AD=弧AE .……………10分