湖南省常德市津市市保河堤镇中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若,, 则p是q成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C.充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
参考答案:
A
略
2. 若集合,,则( )
A、 B、 C、R D、
参考答案:
A
3. 在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )
参考答案:
D
4. 执行如图所示的程序框图,输出n的值为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
参考答案:
C
【分析】
利用对数的运算法则,进行求解,结合程序框图的功能进行判断即可.
【详解】由程序框图可知:
若,即,解得:
即当时,
此时输出:
本题正确选项:C
5. 已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩?RB=( )
A.(1,2] B.[2,4) C.(2,4) D.(1,4)
参考答案:
C
【考点】交、并、补集的混合运算.
【专题】计算题.
【分析】求出集合A中其他不等式的解集,确定出A,求出B的补集,找出A与B补集的交集即可.
【解答】解:集合A中的不等式变形得:log41<log4x<log44,
解得:1<x<4,即A=(1,4),
∵B=(﹣∞,2],
∴?RB=(2,+∞),
则A∩?RB=(2,4).
故选C
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
6. 执行如图所示的程序,则输出的i的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
C
【考点】程序框图.
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的i,S的值,当S=0时满足条件S≤1,退出循环,输出i的值为4.
【解答】解:模拟执行程序,可得
S=10,i=0
执行一次循环体后,i=1,S=9
不满足条件S≤1,再次执行循环体后,i=2,S=7
不满足条件S≤1,再次执行循环体后,i=3,S=4
不满足条件S≤1,再次执行循环体后,i=4,S=0
满足条件S≤1,退出循环,输出i的值为4.
故选:C.
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确判断退出循环的条件是解题的关键,属于基础题.
7. 已知椭圆的离心率为,椭圆上一点到两焦点的距离之和为,
则( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
8. 要从其中有50个红球的1000个形状相同的球中,采用按颜色分层抽样的方法抽取100个进行分析,则应抽取红球的个数为( )
A.5个 B.10个 C.20个 D.45个
参考答案:
A
9. 下列函数中,既是偶函数,又在区间内是增函数的是
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
10. 为实数,则“0<ab<1”是a<或b>的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 给出下列命题:
①已知a,b都是正数,且,则a<b;
②已知f′(x)是f(x)的导函数,若x∈R,f′(x)≥0,则f(1)<f(2)一定成立;
③命题“x∈R,使得x2-2x+1<0”的否命题是真命题;
④“x≤1且y≤1”是“x+y≤2”的充要条件.
其中正确命题的序号是__________.(把你认为正确命题的序号都填上)
参考答案:
①
12. 已知向量满足,.若与垂直,则k= .
参考答案:
19
略
13. 在三角形ABC中,已知AB=4,AC=3 ,BC=6 ,P为BC中点,则三角形ABP的周长为_______.
参考答案:
7+
14. 在中,角A,B,C的对边分别为的值为__________.
参考答案:
解析:在中, ,
由正弦定理得, ,
由余弦定理得,
,
, ,
.
15. 已知,则= .
参考答案:
16. 对于函数定义域为而言,下列说法中正确的是 ▲ .(填序号)
①函数的图像和函数的图像关于对称。
②若恒有,则函数的图像关于对称。
③函数的图像可以由向左移一个单位得到。
④函数和函数图像关于原点对称。
参考答案:
②④
略
17. 已知函数,则 。
参考答案:
5
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数,,其中为实数.
(1)设为常数,求函数在区间上的最小值;
(2)若对一切,不等式恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
解答: (1),
当单调递减,当单调递增
∵t>0 ∴t+2>2
①,即时,;
②,即时,上单调递增,;5分
所以 7分
(2),则,
设,则,
① 单调递减, ② 单调递增,
所以,对一切恒成立,所以;15分
19. 集合,集合,且,求实数的取值范围。
参考答案:
因为A=[1,8],又A?B,
所以lnx-ax+2>0,在x∈[1,8]上恒成立,即>a在x∈[1,8]上恒成立.
令g(x)=,x∈[1,8],则g′(x)=? <0,g(x)在[1,8]递减,
所以g(x)min=g(8)= ,所以a<.
略
20. (10分)已知点F为抛物线C:y2=4x的焦点,点P是准线l上的动点,直线PF交抛物线C于A,B两点,若点P的纵坐标为m(m≠0),点D为准线l与x轴的交点.
(Ⅰ)求直线PF的方程;
(Ⅱ)求△DAB的面积S范围;
(Ⅲ)设,,求证λ+μ为定值.
参考答案:
考点: 直线的一般式方程;抛物线的应用.
专题: 计算题.
分析: (Ⅰ)由题知点P,F的坐标分别为(﹣1,m),(1,0),求出斜率用点斜式写出直线方程.
(Ⅱ)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),用弦长公式求出线段AB的长,再由点到直线的距离公式求点D到直线AB的距离,用三角形面积公式表示出面积关于参数m的表达式,再根据m的取值范围求出面积的范围.
(Ⅲ),,变化为坐标表示式,从中求出参数λ,μ用两点A,B的坐标表示的表达式,即可证明出两者之和为定值.
(Ⅰ)由题知点P,F的坐标分别为(﹣1,m),(1,0),
于是直线PF的斜率为,
所以直线PF的方程为,即为mx+2y﹣m=0.(3分)
(Ⅱ)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
由得m2x2﹣(2m2+16)x+m2=0,
所以,x1x2=1.
于是.
点D到直线mx+2y﹣m=0的距离,
所以.
因为m∈R且m≠0,于是S>4,
所以△DAB的面积S范围是(4,+∞).(9分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)及,,得(1﹣x1,﹣y1)=λ(x2﹣1,y2),(﹣1﹣x1,m﹣y1)=μ(x2+1,y2﹣m),
于是,(x2≠±1).
所以.
所以λ+μ为定值0.(14分)
点评: 考查求直线方程、抛物线在的焦点弦弦长公式、点到直线的距离公式及向量中数乘向量的意义,涉及知识较多,综合性较强.
21. (本小题满分12分)
已知数列是公差不为0的等差数列,a1 = 2且a2 , a3 , a4+1成等比数列。
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(II)设,求数列的前项和
参考答案:
(Ⅰ)设数列的公差为,
由和成等比数列,得
解得或 ……………………… 2分
当时,,这与成等比数列矛盾舍去
所以 ………………………4分
∴。即数列的通项公式为 6分
(Ⅱ) ……………………… 7分
……………………… 9分
∴
………………… 11分
………………………12分
22. 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠DAB为直角,AB∥CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点.
(Ⅰ)试证:AB⊥平面BEF;
(Ⅱ)设PA=k?AB,且二面角E﹣BD﹣C的平面角大于45°,求k的取值范围.
参考答案:
【考点】直线与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题.
【专题】计算题;证明题.
【分析】(Ⅰ)欲证AB⊥平面BEF,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面BEF内两相交直线垂直,而AB⊥BF.
根据面面垂直的性质可知AB⊥EF,满足定理所需条件;
(Ⅱ)以A为原点,以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系,设AB的长为1,求出平面CDB的法向量和平面EDB的法向量,然后利用向量的夹角公式建立关系,解之即可.
【解答】解:(Ⅰ)证:由已知DF∥AB且∠DAB为直角,
故ABFD是矩形,从而AB⊥BF.
又PA⊥底面ABCD,
所以平面PAD⊥平面ABCD,
因为AB⊥AD,故AB⊥平面PAD,
所以AB⊥PD,
在△PDC内,E、F分别是PC、CD的中点,EF∥PD,所以AB⊥EF.
由此得AB⊥平面BEF.
(Ⅱ)以A为原点,以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系,
设AB的长为1,则=(﹣1,2,0),=(0,1)
设平面CDB的法向量为,平面EDB的法向量为,
则
∴,取y=1,可得
设二面角E﹣BD﹣C的大小为θ,
则cosθ=|cos<m1,m2>|═
化简得,则.
【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识,考查空间想象能力和思维能力,应用向量知识解决立体几何问题的能力.