河北省邢台市孔桥中学高三数学文下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递减. 若实数a满足, 则a的取值范围是( )
A.(-∞,]∪[2,+∞) B.∪[2,+∞ ) C. D.
参考答案:
B
略
2. 曲线y=x3上一点B处的切线l交x轴于点A, △OAB (O是原点)是以A为顶点的等腰三角形,则切线l的倾斜角为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
参考答案:
C
3. 已知双曲线 (a>0 , b>0 )的一条渐近线方程是,且双曲线与抛物线有共同的一个焦点,则双曲线的方程是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
略
4. 已知向量,且,则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
参考答案:
【知识点】向量的定义F1
B解析:由得,故,选B.
【思路点拨】由,可得.
6.若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有
A.60种 B.63种 C.65种 D.66种
参考答案:
C
6. 参数方程为表示的曲线是( )
A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线 D.两条射线
参考答案:
D
7. 在正方形中,沿对角线将正方形折成一个直二面角,则点到直线的距离为( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
略
8. 在如图所示的框图中,若输出,那么判断框中应填入的关于的判断条件是
A. B. C. D.
参考答案:
D
当时不满足退出循环的条件,执行循环体后,;
当时不满足退出循环的条件,执行循环体后,;
当时不满足退出循环的条件,执行循环体后,;
当时不满足退出循环的条件,执行循环体后,;
当时满足退出循环的条件,
故判断框中应填入的关于的判断条件是,故选D.
9. 将函数的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,所得图象的一条对称轴方程可能是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
考点: 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
专题:三角函数的图像与性质.
分析: 根据三角函数的图象变换关系进行求解即可.
解:将函数的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sin(),
由=+kπ,
即+2kπ,k∈Z,
∴当k=0时,函数的对称轴为,
故选:D.
点评:本题主要考查三角函数的图象变换关系以及三角函数对称轴的计算,求出函数的解析式是解决本题的关键.
10. 如图,在矩形ABCD中,,,两个圆的半径都是1,且圆心,均在对方的圆周上,在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
如图所示,分别连接, 则分别为边长为的等边三角形,所以其面积分别为,
其中拱形的面积为,
所以阴影部分的面积为,
所以概率为,故选D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知等差数列{an}前n项和为Sn. 若m>1, m∈N且 , 则m等于____________.
参考答案:
10
12. 已知,则 .
参考答案:
13. 函数y=+2单调递减区间为________.
参考答案:
14. 如图所示,在海岛A上有一座海拔千米的山峰上,山顶上设有一座观察站P,一艘轮船沿一固定方向匀速航行,上午10:00时,测得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的B处,到10:10时,又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处,则该船的航行速度为 千米/时.
参考答案:
【考点】解三角形的实际应用.
【专题】应用题;方程思想;综合法;解三角形.
【分析】在Rt△PAB、Rt△PAC中确定AB、AC的长,进而求得,∠CAB=20°+40°=60°,利用余弦定理求得BC,用里程除以时间即为船的速度.
【解答】解:在Rt△PAB中,∠APB=30°,PA=,∴AB=1.
在Rt△PAC中,∠APC=60°,
∴AC=3.
在△ACB中,∠CAB=20°+40°=60°,
∴BC==.
则船的航行速度÷=.
故答案为:.
【点评】本题主要考查考生运用数学知识解决实际问题的能力,考查学生的计算能力,比较基础.
15. 函数的图象如图所示,则
的值为 .
参考答案:
16. 设函数的定义域为,若对于给定的正数k, 定义函数
则当函数时,定积分的值为
参考答案:
略
17. 已知p>0,q>0,p、q的等差中项为的最小值为 .
参考答案:
5
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设O是坐标原点,椭圆C:x2+3y2=6的左右焦点分别为F1,F2,且P,Q是椭圆C上不同的两点,
(I)若直线PQ过椭圆C的右焦点F2,且倾斜角为30°,求证:|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列;
(Ⅱ)若P,Q两点使得直线OP,PQ,QO的斜率均存在.且成等比数列.求直线PQ的斜率.
参考答案:
【考点】K4:椭圆的简单性质.
【分析】(I)求得椭圆的a,b,c,设出直线PQ的方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式可得|PQ|,再由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a,由等差数列的中项的性质,可得结论;
(Ⅱ)设出直线PQ的方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和判别式大于0,由等比数列的中项的性质,结合直线的斜率公式,化简整理,解方程即可得到直线PQ的斜率.
【解答】解:(I)证明:x2+3y2=6即为+=1,
即有a=,b=,c==2,
由直线PQ过椭圆C的右焦点F2(2,0),且倾斜角为30°,
可得直线PQ的方程为y=(x﹣2),
代入椭圆方程可得,x2﹣2x﹣1=0,
即有x1+x2=2,x1x2=﹣1,
由弦长公式可得|PQ|=?
=?=,
由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a=4,
可得|F1P|+|QF1|=4﹣==2|PQ|,
则有|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列;
(Ⅱ)设直线PQ的方程为y=kx+m,代入椭圆方程x2+3y2=6,
消去y得:(1+3k2)x2+6kmx+3(m2﹣2)=0,
则△=36k2m2﹣12(1+3k2)(m2﹣2)
=12(6k2﹣m2+2)>0,
x1+x2=﹣,x1x2=,
故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,
∵直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列,
∴?==k2,
即km(x1+x2)+m2=0,即有﹣+m2=0,
由于m≠0,故k2=,
∴直线PQ的斜率k为±.
19. 已知函数.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
参考答案:
(1);(2) 最小值0;最大值
【分析】
(1)对函数进行三角恒等变换得,即可得最小正周期;
(2)整体考虑的取值范围,求出最大值和最小值.
【详解】解:
(1) f(x)的最小正周期T =;
(2)因为,所以
所以当,即时,f(x)取得最小值;
当,即时,f(x)取得最大值,
所以f(x)在区间上的最小值0;最大值.
【点睛】此题考查利用三角恒等变换对函数进行化简,求最小正周期和闭区间上的值域,关键在于利用公式准确化简,正确求值.
20. 生蚝即牡蛎(oyster),是所有食物中含锌最丰富的,在亚热带、热带沿海都适宜蚝的养殖,我国分布很广,北起鸭绿江,南至海南岛,沿海皆可产蚝.蚝乃软体有壳,依附寄生的动物,咸淡水交界所产尤为肥美,因此生蚝成为了一年四季不可或缺的一类美食.某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝,并随机抽取了40只统计质量,得到的结果如下表所示.
质量(g)
[5,15)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
数量
6
10
12
8
4
(Ⅰ)若购进这批生蚝500kg,且同一组数据用该组区间的中点值代表,试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数);
(Ⅱ)以频率估计概率,若在本次购买的生蚝中随机挑选4个,记质量在[5,25)间的生蚝的个数为X,求X的分布列及数学期望.
参考答案:
(Ⅰ)由表中数据可以估计每只生蚝的质量为
,
∴购进,生蚝的数量约有(只).
(Ⅱ)由表中数据知,任意挑选一个,质量在间的概率,
的可能取值为0,1,2,3,4,则,
,,
,,
∴的分布列为
0
1
2
3
4
∴或.
21. (本小题满分13分)如图①,已知ABC是边长为l的等边三角形,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将ABF沿AF折起,得到如图②所示的三棱锥A-BCF,其中BC=.
(I)证明:DE//平面BCF;
(II)证明:CF平面ABF;
(III)当AD=时,求三棱锥F-DEG的体积
参考答案:
(Ⅰ)在等边三角形中, ……………………………….1
在折叠后的三棱锥中 也成立, …………………………………2
平面, 平面,平面……………………………4
(Ⅱ)在等边三角形中,是的中点,所以,…………5
在三棱锥中,, …………7
………………………………………………9
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知,结合(Ⅱ)可得.
………13
22. 如图,在四边形 中,,平分,,,的面积为,为锐角.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求 .
参考答案:
(Ⅰ)在中,
. …………2分
因为 ,所以.
因为为锐角,所以. …………4分
在 中,由余弦定理得
所以CD的长为. …………6分
(Ⅱ)在中,由正弦定理得
即 ,解得 …………8分
, 也为锐角.
. …………9分
在 中,由正弦定理得
即 ①
在 中,由正弦定理得
即 ②
…………11分
平分 ,
由①②得 ,解得
因为为锐角,所以 . …………12分