湖南省怀化市中都乡中学2022年高三数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知m,n,则 “a=2”是“mn”的( )
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
2. 若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,且,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
由,得,得.
又,由余弦定理得,
得,故选D.
3. 设全集,集合,,则为
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 如下图,根据图中的数构成的规律,a所表示的数是 ( )
A.12 B.48 C.60 D.144
参考答案:
D
5. 设,是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是 ( )
A.若,,则 B.若,,则
C.,,则 D.若,,则
参考答案:
B
略
6. 若,,,
则= ( )
A.2009 B.2010 C.2011 D.1
参考答案:
C
略
7. 已知函数 ,若 是 的导函数,则函数 在原点附近的图象大致是( )
A B C D
参考答案:
A
略
8. 设函数则的值为( )
A. 3 B. 6 C. 8 D. 12
参考答案:
D
【分析】
根据分段函数表达式中x的范围,代入相应的表达式,得到相应的函数值.
【详解】函数,
因为,
故得到
故答案为:D.
【点睛】解决分段函数求值问题的策略
(1)在求分段函数的值f(x0)时,一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式。
(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内,其对应法则也不同的函数,分段函数是一个函数,而不是多个函数;分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集,故解分段函数时要分段解决。
(3)求f(f(f(a)))的值时,一般要遵循由里向外逐层计算的原则。
9. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
10. 已知复数满足,则( )
A.0 B.1 C. D.2
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 直线所得的弦长是__________.
参考答案:
2
12. 若数列的前项和为,不等式对任意的恒成立,则实数的最小值为 .
参考答案:
考点:1.错位相减法求和;2.数列的函数特征.
【易错点睛】本题主要考察了错位相减法求和以及数列的最值问题,属于中档题型,对于错位相减法求和是一个易错点,方法就是多练,再有整理后转化为,,除了本题所给的方法外,也可以求函数的导数,根据导数判断函数的单调性,同样需要带特殊值得到函数的最大值.
13. 若函数的反函数为,则 .
参考答案:
14.
函数的反函数为,则 .
参考答案:
答案:
15. 为了了解居民天气转冷时期电量使用情况,某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为,现表中一个数据为污损,则被污损的数据为 .(最后结果精确到整数位)
气温x
18
13
10
-1
用电量y
24
34
·
64
参考答案:
38
16. 将1,2,3,…,9这9个正整数分别写在三张卡片上,要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上.现在第一张卡片上已经写有1和5,第二张卡片上写有2,第三张卡片上写有3,则6应该写在第 张卡片上;第三张卡片上的所有数组成的集合是 .
参考答案:
二;
17. 设表示不超过的最大整数,如,给出下列命题:
(1)对任意的实数,都有;
(2)若,则;
(3)。
其中所有真命题的序号是
参考答案:
(1)(2)(3)
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在直三棱柱中,,,分别为,的中点,四边形是边长为的正方形.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值.
参考答案:
(1)证明:在直三棱柱中,
平面,又平面, 所以.
因为,为中点, 所以.又,
所以平面.
又平面,所以.
因为四边形为正方形,,分别为,的中点,
所以△≌△,.
所以.
所以.又,
所以平面. ……………………6
(2)解:如图,以的中点为原点,建立空间直角坐标系. 则.
由(Ⅱ)知平面,所以为平面的一个法向量.
设为平面的一个法向量,
,.
由可得
令,则.
所以.从而.
因为二面角为锐角,
所以二面角的余弦值为.……………………12
19. 已知AB和CD是曲线C:(t为参数)的两条相交于点P(2,2)的弦,若AB⊥CD,且|PA|?|PB|=|PC|?|PD|.
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程,并说明它表示什么曲线;
(2)试求直线AB的方程.
参考答案:
【考点】QI:参数方程的优越性;QH:参数方程化成普通方程.
【分析】(1)直接消去参数t,可得曲线C的普通方程,说明曲线特征即可.
(2)直线AB和CD的倾斜角为α、β,求出直线AB和CD的参数方程,与y2=4x联立,由t的几何意义以及韦达定理,通过由|PA|?|PB|=|PC|?|PD|.AB⊥CD求出直线AB的倾斜角,得到直线AB的方程.
【解答】解:(1)曲线C:(t为参数)消去t可得y2=4x,轨迹是顶点在原点对称轴为x轴,焦点为(1,0)的抛物线.
(2)设直线AB和CD的倾斜角为α、β,
则直线AB和CD的参数方程分别为:…①和…②,
把①代入y2=4x中的:t2sin2α+(4sinα﹣4cosα)t﹣4=0,…③
依题意可知sinα≠0且方程③的△=16(sinα﹣cosα)2+16sin2α>0
∴方程③有两个不相等的实数根t1,t2
则t1?t2=…④,
由t的几何意义可知|PA|=|t1|,|PB|=|t2|,
|PA|?|PB|=|t1?t2|=…⑤,
同理,|PC|?|PD|=…⑥,
由|PA|?|PB|=|PC|?|PD|.
可知:即sin2α=sin2β,∵0≤α,β<π.
∴α=π﹣β,∵AB⊥CD∴β=α+90°或α=β+90°
∴直线AB的倾斜角为或.
∴kAB=1或﹣1,故直线AB的方程为:y=x或x+y﹣4=0.
【点评】本题考查参数方程与直角坐标方程的互化,参数方程的几何意义是解题的关键,体现参数方程的优越性.
20. 已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,一个顶点为B(0,﹣1),且其右焦点到直线的距离为3.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在斜率为k(k≠0),且过定点的直线l,使l与椭圆交于两个不同的点M、N,且|BM|=|BN|?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
参考答案:
考点:
直线与圆锥曲线的综合问题.343780
专题:
综合题;压轴题.
分析:
(1)设椭圆的方程为,由已知得b=1.设右焦点为(c,0),由题意得,由此能求出椭圆的方程.
(2)直线l的方程y=kx+,代入椭圆方程,得(1+3k2)x2+9kx+=0.由△=81k2﹣15(1+3k2)>0得,设点M(x1,y1),N(x2,y2),则,设M、N的中点为P,则点P的坐标为.由此入手能够导出直线l的方程.
解答:
解:(1)设椭圆的方程为,由已知得b=1.
设右焦点为(c,0),由题意得,∴,
∴a2=b2+c2=3.
∴椭圆的方程为.
(2)直线l的方程y=kx+,代入椭圆方程,得
(1+3k2)x2+9kx+=0.
由△=81k2﹣15(1+3k2)>0得,
设点M(x1,y1),N(x2,y2),
则,
设M、N的中点为P,则点P的坐标为.
∵|BM|=|BN|,∴点B在线段MN的中垂线上.
,化简,得.
∵,∴,
所以,存在直线l满足题意,直线l的方程为
或.
点评:
本题考查直线和圆锥曲线的位置关系和综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件.
21. 已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex(a>0)的导函数y=f′(x)的两个零点为﹣3和0.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)的极小值为﹣1,求f(x)的极大值.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值;导数的运算;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(Ⅰ)f'(x)=[ax2+(2a+b)x+b+c]ex.令g(x)=ax2+(2a+b)x+b+c,简化运算;
(Ⅱ)由f(x)的极小值为﹣1确定参数值,通过导数求极大值.
【解答】解:(Ⅰ)f'(x)=(2ax+b)ex+(ax2+bx+c)ex=[ax2+(2a+b)x+b+c]ex.
令g(x)=ax2+(2a+b)x+b+c,
∵ex>0,
∴y=f'(x)的零点就是g(x)=ax2+(2a+b)x+b+c的零点,且f'(x)与g(x)符号相同.
又∵a>0,
∴当x<﹣3,或x>0时,g(x)>0,即f'(x)>0,
当﹣3<x<0时,g(x)<0,即f'(x)<0,
∴f(x)的单调增区间是(﹣∞,﹣3),(0,+∞),单调减区间是(﹣3,0).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,x=0是f(x)的极小值点,
所以有
解得a=1,b=1,c=﹣1.
所以函数的解析式为f(x)=(x2+x﹣1)ex.
又由(Ⅰ)知,f(x)的单调增区间是(﹣∞,﹣3),(0,+∞),单调减区间是(﹣3,0).
所以,函数f(x)的极大值为.
22. 已知函数f(x)=x3-ax-1。(13分)
(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由。
参考答案: