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北京钢铁学院附属中学2022年高一数学理期末试题含解析 一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的 1. (5分)在△ABC中,D在BC上,=2,设=,=,则=() A. + B. + C. + D. ﹣ 参考答案: B 考点: 向量的加法及其几何意义;向量的减法及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据题意,画出图形,结合图形,利用平面向量的加法与减法的几何意义,求出向量即可. 解答: 解:根据题意,画出图形,如图所示; 在△ABC中,=2,=,=, ∴=﹣=﹣, ∴=﹣=﹣(﹣); ∴=+=﹣(﹣)=+. 故选:B. 点评: 本题考查了平面向量加法与减法的几何意义的应用问题,是基础题目. 2. 设集合,,则为(    ) A.  B. C. D.R 参考答案: C 3. 对一个容量为的总体抽取容量为的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率依次为,,,则(). A. B. C. D. 参考答案: D 无论三种中哪一抽法都要求个体被抽概率相同. 选. 4. 函数,是(   ) A.最小正周期为的奇函数          B.最小正周期为的偶函数 C.最小正周期为的奇函数          D.最小正周期为的偶函数 参考答案: A 略 5. 下列各组函数中,两个函数不是同一函数的是(   ) (1)与 (2) 与   (3) 与 (4) 与 A、(1)(2)(3)         B、(2)(3)(4)          C、(1)(2)(3)(4)     D、(1) (2)(4) 参考答案: A 6. 若函数的图象关于直线x=-2对称,则a,b的值分别为(    )      A   8,15    B 15,8  C   3,4     D   -3,-4 参考答案: A 略 7. 在等差数列中,,则的前5项和=(   )       A.7           B.15         C.20       D.25   参考答案: B 8. 直线与圆交于两点,若,则实数的取值范围是(   ) A.         B.        C.          D. 参考答案: A 略 9. 函数的图象大致是(  ) A. B. C. D. 参考答案: B 【分析】 根据函数奇偶性排除;根据和时,函数值的正负可排除,从而得到正确结果. 【详解】 奇函数,图象关于原点对称,可排除选项; 当时,,可排除选项; 当时,,可排除选项. 本题正确选项: 【点睛】本题考查函数图象的识别,解决此类问题常用的方法是根据函数的奇偶性、特殊位置的符号、单调性来进行排除. 10. 已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实根,则实数k的取值范围是(  ) A.(0,+∞) B.(﹣∞,1) C.(1,+∞) D.(0,1] 参考答案: D 【考点】分段函数的应用. 【分析】画出函数f(x)=的图象,和直线y=k,将关于x的方程f(x)=k有两个不等的实根等价于f(x)的图象与直线有且只有两个交点.通过平移直线,观察即可得到. 【解答】解:画出函数f(x)=的图象, 和直线y=k, 关于x的方程f(x)=k有两个不等的实根等价于f(x)的图象与直线有且只有两个交点. 观察得出: (1)k>1,或k<0有且只有1个交点; (2)0<k≤1有且只有2个交点. 故实数k的取值范围是(0,1]. 故选D. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知数列的通项公式是,其前n项的和是,则最大时n的取值为         参考答案: 4或5 略 12. 设Sn是数列{an}的前n项和,且,,则__________. 参考答案: 原式为,整理为: ,即,即数列是以-1为首项,-1为公差的等差的数列,所以 ,即 . 【点睛】这类型题使用的公式是 ,一般条件是 ,若是消 ,就需当 时构造 ,两式相减 ,再变形求解;若是消 ,就需在原式将 变形为: ,再利用递推求解通项公式. 13. 已知集合M={x|0≤x<2},N={-1,0,1,2},则M ∩ N=          . 参考答案: {0,1}    14. 已知,且,则       . 参考答案: ,且,所以, . 15. 已知点A(-1,5)和向量=(2,3),若=3,则点B的坐标为      参考答案: (5,14) 16. 已知tan=3,则之值为_____________ 参考答案: 17. 定义在上的函数则的值为      . 参考答案: 三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 18. (本题满分14分)已知,点是圆上的点,是线段的中点. (Ⅰ)求点的轨迹的方程. (Ⅱ)过点的直线和轨迹有两个交点(不重合),①若,,求直线的方程.②求的值. 参考答案: (Ⅰ)设,则关于的对称点为, ∵点是圆上的点, ∴,即, 所以轨迹的方程是.………………………………3分 (Ⅱ)① 设,由题意,直线的斜率存在,设为,则直线的方程是, 由方程组 得,, 由,得 ∴,………………………………6分 ∵,∴, ∴, ∴, 解得,,∴直线的方程是, 即直线的方程是或.………………………………10分 【另解】设坐标原点为,作,垂足为. ∵,∴, 由(I)可知,,∴. 又,∴, ∴. ∴直线的斜率,∴直线的方程是, 即直线的方程是或.………………………………10分 ② 由①可得  .………………………………13分 ∴. 所以,的值是16.………………………………14分 注:第②小题,如果考生证∽,从而得出(其中是直线和圆相切时的切点),证明完整,得满分,没有证明,直接用者,最多得2分. 19. 已知A={a2,a+1,﹣3},B={a﹣3,3a﹣1,a2+1},C={x|mx=1},若A∩B={﹣3} (1)求a的值; (2)若C?(A∩B),求m的值. 参考答案: 【考点】集合关系中的参数取值问题;交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】(1)利用集合与元素之间的关系得出a的值,再通过验证是否满足题意即可; (2)先得出集合C,再分类讨论即可. 【解答】解:(1)∵﹣3∈B,∴a﹣3=﹣3或3a﹣1=﹣3,解得a=0或. 当a=0时,A={0,1,﹣3},B={﹣3,﹣1,1},而A∩B={﹣3,1}≠{﹣3},∴a≠0; 当时,A={},B={},A∩B={﹣3}. 综上得. (2)∵C?(A∩B),∴C=?或{﹣3}. ①当C=?时,m=0,满足题意; ②当C={﹣3}时,﹣3m=1,解得满足题意. 综上可知:m=0或. 【点评】熟练掌握集合的运算和之间的关系及分类讨论是解题的关键. 20. 一个半径大于2的扇形,其周长,面积 ,求这个扇形的半径 和圆心角 的弧度数. 参考答案: 21. 在等差数列{an}中,a10=30,a20=50. (1)求数列{an}的通项an; (2)令 bn=2,证明数列{bn}为等比数列; (3)求数列{(2n﹣1)bn}的前n项和Tn. 参考答案: 【考点】8E:数列的求和. 【分析】(1)等差数列{an}中,由a10=30,a20=50.解得a1=12,d=2,由此能求出数列{an}的通项an. (2)由an=2n+10,知bn=═22n=4n,由此能够证明数列{bn}是等比数列. (3)(2n﹣1)bn=(2n﹣1)4n,由此利用错位相减法能求出数列{(2n﹣1)bn}的前n项和Tn. 【解答】解:(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 由an=a1+(n﹣1)d,a10=30,a20=50, 得,解得. ∴an=12+2(n﹣1)=2n+10; 数列{an}的通项an=2n+10; (2)证明:∵an=2n+10, ∴bn==22n=4n, ∴∴==4, ∴数列{bn}是以首项b1=4,公比为4的等比数列. (3)∵(2n﹣1)bn=(2n﹣1)4n, ∴Tn=1?4+3?42+…+(2n﹣1)4n,① 4Tn=1?42+3?43+…+(2n﹣3)4n+(2n﹣1)4n+1,② ①﹣②,得﹣3Tn=4+2×42+…+2×4n﹣(2n﹣1)4n+1, =﹣4﹣(2n﹣1)4n+1, =(4n+1﹣4)﹣4﹣(2n﹣1)4n+1, =×4n+1﹣, Tn=×4n+1+, 数列{(2n﹣1)bn}的前n项和Tn,Tn=×4n+1+. 【点评】本题考查数列的通项公式的求法,考查等比数列的证明,考查数列的前n项和的求法.解题时要认真审题,仔细解答,注意错位相减法的合理运用,属于中档题. 22. (本小题满分13分)在中,角、、的对边分别为、、,.(1)求; (2)若,且,求边. 参考答案: 解:(1)  又 解得.,是锐角. .………………6分 (2),,.………………8分 又.. ..………………13分 略
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