北京钢铁学院附属中学2022年高一数学理期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （5分）在△ABC中，D在BC上，=2，设=，=，则=（）
A． + B． + C． + D． ﹣
参考答案：
B
考点： 向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义．
专题： 平面向量及应用．
分析： 根据题意，画出图形，结合图形，利用平面向量的加法与减法的几何意义，求出向量即可．
解答： 解：根据题意，画出图形，如图所示；
在△ABC中，=2，=，=，
∴=﹣=﹣，
∴=﹣=﹣（﹣）；
∴=+=﹣（﹣）=+．
故选：B．
点评： 本题考查了平面向量加法与减法的几何意义的应用问题，是基础题目．
2. 设集合,,则为（ ）
A． B． C． D．R
参考答案：
C
3. 对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率依次为，，，则（）．
A． B． C． D．
参考答案：
D
无论三种中哪一抽法都要求个体被抽概率相同．
选．
4. 函数，是( )
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
参考答案：
A
略
5. 下列各组函数中，两个函数不是同一函数的是（ ）
（1）与 (2) 与 (3) 与
(4) 与
A、(1)(2)(3) B、(2)(3)(4) C、(1)（2）(3)(4) D、(1) (2)(4)
参考答案：
A
6. 若函数的图象关于直线x=-2对称，则a,b的值分别为( )
A 8,15 B 15,8 C 3,4 D -3,-4
参考答案：
A
略
7. 在等差数列中，，则的前5项和=（ ）
A.7 B.15 C.20 D.25
参考答案：
B
8. 直线与圆交于两点，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
9. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
【分析】
根据函数奇偶性排除；根据和时，函数值的正负可排除，从而得到正确结果.
【详解】
奇函数，图象关于原点对称，可排除选项；
当时，，可排除选项；
当时，，可排除选项.
本题正确选项：
【点睛】本题考查函数图象的识别，解决此类问题常用的方法是根据函数的奇偶性、特殊位置的符号、单调性来进行排除.
10. 已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（0，1]
参考答案：
D
【考点】分段函数的应用．
【分析】画出函数f（x）=的图象，和直线y=k，将关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根等价于f（x）的图象与直线有且只有两个交点．通过平移直线，观察即可得到．
【解答】解：画出函数f（x）=的图象，
和直线y=k，
关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根等价于f（x）的图象与直线有且只有两个交点．
观察得出：
（1）k＞1，或k＜0有且只有1个交点；
（2）0＜k≤1有且只有2个交点．
故实数k的取值范围是（0，1]．
故选D．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列的通项公式是，其前n项的和是,则最大时n的取值为
参考答案：
4或5
略
12. 设Sn是数列{an}的前n项和，且，，则__________．
参考答案：
原式为，整理为： ，即，即数列是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以 ，即 .
【点睛】这类型题使用的公式是 ，一般条件是 ，若是消 ，就需当 时构造 ，两式相减 ，再变形求解；若是消 ，就需在原式将 变形为： ，再利用递推求解通项公式.
13. 已知集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{－1,0,1,2}，则M ∩ N= ．
参考答案：
{0,1}
14. 已知，且，则 .
参考答案：
，且，所以,
.
15. 已知点A(－1,5)和向量=（2,3）,若=3,则点B的坐标为
参考答案：
(5,14)
16. 已知tan=3，则之值为_____________
参考答案：
17. 定义在上的函数则的值为 ．
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本题满分14分)已知，点是圆上的点，是线段的中点.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程．
（Ⅱ）过点的直线和轨迹有两个交点（不重合），①若，,求直线的方程．②求的值．
参考答案：
（Ⅰ）设，则关于的对称点为，
∵点是圆上的点，
∴，即，
所以轨迹的方程是．………………………………3分
（Ⅱ）① 设，由题意，直线的斜率存在，设为，则直线的方程是,
由方程组 得，，
由,得
∴，………………………………6分
∵，∴,
∴,
∴，
解得，，∴直线的方程是，
即直线的方程是或．………………………………10分
【另解】设坐标原点为，作，垂足为．
∵，∴,
由（I）可知，,∴.
又，∴，
∴.
∴直线的斜率，∴直线的方程是，
即直线的方程是或．………………………………10分
② 由①可得
．………………………………13分
∴．
所以,的值是16．………………………………14分
注：第②小题，如果考生证∽，从而得出（其中是直线和圆相切时的切点），证明完整,得满分，没有证明，直接用者，最多得2分.
19. 已知A={a2，a+1，﹣3}，B={a﹣3，3a﹣1，a2+1}，C={x|mx=1}，若A∩B={﹣3}
（1）求a的值；
（2）若C?（A∩B），求m的值．
参考答案：
【考点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用集合与元素之间的关系得出a的值，再通过验证是否满足题意即可；
（2）先得出集合C，再分类讨论即可．
【解答】解：（1）∵﹣3∈B，∴a﹣3=﹣3或3a﹣1=﹣3，解得a=0或．
当a=0时，A={0，1，﹣3}，B={﹣3，﹣1，1}，而A∩B={﹣3，1}≠{﹣3}，∴a≠0；
当时，A={}，B={}，A∩B={﹣3}．
综上得．
（2）∵C?（A∩B），∴C=?或{﹣3}．
①当C=?时，m=0，满足题意；
②当C={﹣3}时，﹣3m=1，解得满足题意．
综上可知：m=0或．
【点评】熟练掌握集合的运算和之间的关系及分类讨论是解题的关键．
20. 一个半径大于2的扇形，其周长，面积 ，求这个扇形的半径 和圆心角 的弧度数.
参考答案：
21. 在等差数列{an}中，a10=30，a20=50．
（1）求数列{an}的通项an；
（2）令 bn=2，证明数列{bn}为等比数列；
（3）求数列{（2n﹣1）bn}的前n项和Tn．
参考答案：
【考点】8E：数列的求和．
【分析】（1）等差数列{an}中，由a10=30，a20=50．解得a1=12，d=2，由此能求出数列{an}的通项an．
（2）由an=2n+10，知bn=═22n=4n，由此能够证明数列{bn}是等比数列．
（3）（2n﹣1）bn=（2n﹣1）4n，由此利用错位相减法能求出数列{（2n﹣1）bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由an=a1+（n﹣1）d，a10=30，a20=50，
得，解得．
∴an=12+2（n﹣1）=2n+10；
数列{an}的通项an=2n+10；
（2）证明：∵an=2n+10，
∴bn==22n=4n，
∴∴==4，
∴数列{bn}是以首项b1=4，公比为4的等比数列．
（3）∵（2n﹣1）bn=（2n﹣1）4n，
∴Tn=1?4+3?42+…+（2n﹣1）4n，①
4Tn=1?42+3?43+…+（2n﹣3）4n+（2n﹣1）4n+1，②
①﹣②，得﹣3Tn=4+2×42+…+2×4n﹣（2n﹣1）4n+1，
=﹣4﹣（2n﹣1）4n+1，
=（4n+1﹣4）﹣4﹣（2n﹣1）4n+1，
=×4n+1﹣，
Tn=×4n+1+，
数列{（2n﹣1）bn}的前n项和Tn，Tn=×4n+1+．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用，属于中档题．
22. （本小题满分13分）在中，角、、的对边分别为、、，.（1）求；
（2）若，且，求边．
参考答案：
解：（1） 又
解得．，是锐角．
．………………6分
（2），，．………………8分
又．．
．．………………13分
略