四川省广元市中学嘉陵校区高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知为上的奇函数,,在为减函数。若,,,则a,b,c的大小关系为
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 函数,的值域
A.(0,1] B. (0,+∞) C. [1,+∞) D. (2,+∞)
参考答案:
D
3. 已知函数,那么f[f()]的值为( )
A.9 B. C.﹣9 D.﹣
参考答案:
B
解:∵,∴==﹣2,
而﹣2<0,∴f(﹣2)=3﹣2=.
∴=.
故选B.
4. 已知,,,则向量与向量的夹角是
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
5. 一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆,则这个几何体的表面积是( )
A B C D
参考答案:
A
6. 若,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
7. 已知函数f(x)=若函数g(x)=f[f(x)]﹣2的零点个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
参考答案:
B
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】函数f(x)=,通过对x分类讨论可得f(x)=.进而解出即可.
【解答】解:∵函数f(x)=,
∴f(x)=.
∴x∈(﹣∞,log23)时,f(f(x))=∈[0,3],令f(f(x))=2,解得x=log2(1+log23).
同理可得:x∈[log23,2)时, =2,解得x=.
x∈时, =2,解得x=.
时, =2,解得x=1+.
综上可得:函数g(x)=f[f(x)]﹣2的x零点个数为4.
故选:B.
【点评】本题考查了函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于难题.
8. 在下列条件下,可判断平面α与平面β平行的是( )
A. α、β都垂直于平面γ B. α内不共线的三个点到β的距离相等
C. l,m是α内两条直线且l∥β,m∥β D. l,m是异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β
参考答案:
D
略
9. 已知向量=(2,2),=(4,1),O为坐标原点,在x轴上求一点P,使·取最小值,则P点的坐标是
A.(3,0) B.(-3,0)
C.(2,0) D.(4, 0)
参考答案:
A
10. (5分)若f:A→B能构成映射,则下列说法正确的有()
(1)A中的任意一元素在B中都必须有像且唯一;
(2)A中的多个元素可以在B中有相同的像;
(3)B中的多个元素可以在A中有相同的原像;
(4)像的集合就是集合B.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
参考答案:
考点: 映射.
专题: 计算题.
分析: 根据映射的定义,对于两个集合A,B,对于集合A中的每一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,A中的任意一元素在B中都必须有像且唯一;A中的多个元素可以在B中有相同的像;B中的多个元素不可以在A中有相同的原像,像的集合就是集合B的子集.
解答: 根据映射的定义,对于两个集合A,B,对于集合A中的每一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,
A中的任意一元素在B中都必须有像且唯一;故(1)正确
A中的多个元素可以在B中有相同的像;故(2)正确
B中的多个元素不可以在A中有相同的原像,故(3)错误
像的集合就是集合B的子集,故(4)错误,
综上可知共有2个正确,
故选B.
点评: 本题考查映射的概念,在映射中,集合A的每一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,可以多元对一元,不可以一元对多元.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设集合A={x||x|<4},B={x|x<1或x>3},则集合{x|x∈A且xA∩B}=_
参考答案:
[1,3]
12. .如图, 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心,则EF和BD所成的角是 。
参考答案:
略
13. 设函数,则下列结论正确的是______.
①函数的递减区间为,
②函数的图象可由的图象向右平移得到;
③函数的图象的一条对称轴方程为
④若,则f(x)的取值范围是
参考答案:
①④
【分析】
由求出函数的递减区间,可判断①;根据左加右减原则,可判断②;根据求出函数的对称轴,可判断③;根据三角函数的值域可判断④.
【详解】令,解得,所以函数的递减区间为,①正确;由于,所以函数的图象是由的图象向右平移得到的,②错误;令,解得,所以函数的图象的对称轴方程为,③错误;由于,所以,当时,,当时,. ④正确.
14. 函数f(x)=(x﹣x2)的单调递增区间是 .
参考答案:
[,1)
【考点】复合函数的单调性.
【分析】令 t=x﹣x2>0,求得函数的定义域为(0,1),根据复合函数的单调性,本题即求二次函数t在(0,1)上的减区间.再利用二次函数的性质可得t=x﹣x2 =﹣﹣在(0,1)上的减区间
【解答】解:令 t=x﹣x2>0,求得 0<x<1,故有函数的定义域为(0,1),且f(x)=h(t)=t,
故本题即求二次函数t在(0,1)上的减区间.
利用二次函数的性质可得t=x﹣x2 =﹣﹣在(0,1)上的减区间为[,1),
故答案为:[,1).
15. 在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a,b,c成等比数列,且,则的值为________.
参考答案:
【分析】
利用成等比数列得到,再利用余弦定理可得,而根据正弦定理和成等比数列有,从而得到所求之值.
【详解】∵成等比数列,∴.又∵,∴.
在中,由余弦定理 ,
因,∴.
由正弦定理得,
因为, 所以 ,
故.
故答案为: .
【点睛】在解三角形中,如果题设条件是关于边的二次形式,我们可以利用余弦定理化简该条件,如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式,那么我们可以利用正弦定理化简该条件,如果题设条件是边和角的混合关系式,那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.
16. 式子的值为___________。
参考答案:
略
17. 下列命题中正确的是________(填序号).
①?x∈R,x≤0;
②至少有一个整数 ,它既不是合数也不是素数;
③?x∈{x|x是无理数},x2是无理数.
参考答案:
①②③
解析:①?x∈R,x≤0,正确;②至少有一个整数 ,它既不是合数也不是素数,正确,例如数1满足条件;③?x∈{x|x是无理数},x2是无理数,正确,例如x=π.
综上可得,①②③都正确.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分10分)
设,求的值。
参考答案:
解:原式=---------------------------4分
因为
所以当时,原式==---------------6分
当时,原式=--------8分
所以原式----------------------------------------------------10分
19. (本小题满分8分)已知,计算:
(I);
(Ⅱ)。
参考答案:
20. 计算下列各式的值:
(1);
(2).
参考答案:
【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算.
【分析】利用有理数指数幂的性质、运算法则直接求解.
【解答】解:(1)
=()﹣2+[()3]﹣(lg4+lg25)+1
=16+﹣2+1
=.
(2)
=?
=.
21. (本题满分12分)已知函数+1
(1)求函数在上的单调区间;
(2)求函数在上的最小值;
参考答案:
(1)6分
(2)当时,有最小值:0 . .12分
22. 已知二次函数的两个零点为0,1,且其图象的顶点恰好在函数的图象上.
(I)求函数的解析式;
(II)求函数当时的最大值和最小值。
参考答案:
(Ⅰ)设,
顶点坐标为 …………………………………4分
顶点在函数的图象上 得
(或写成 ………………8分
(或设,由,得且 ,再利用顶点在函数的图象上得;
或由抛物线两零点0,1知顶点横坐标为,又顶点在的图象上,得顶点纵坐标为-1,结合求解析式)
(Ⅱ) 且
……………………………12分
(或不配方,直接由对称轴与区间及端点的关系判断最值)
略