湖北省荆州市马东中学2022年高二数学文下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 两个圆C1:x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
参考答案:
B
【考点】圆的切线方程.
【分析】先求两圆的圆心和半径,判定两圆的位置关系,即可判定公切线的条数.
【解答】解:两圆的圆心分别是(﹣1,﹣1),(2,1),半径分别是2,2
两圆圆心距离:,说明两圆相交,
因而公切线只有两条.
故选B.
【点评】本题考查圆的切线方程,两圆的位置关系,是基础题.
2. 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( )
A. B. 1 C. D.
参考答案:
D
3. 已知,则
( )
A、5 B、 6 C、 -6 D、 -5
参考答案:
C
4. 已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,则log(a5+a7+a9)的值是( )
A.﹣ B.﹣5 C.5 D.
参考答案:
B
【考点】数列递推式.
【分析】数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*),可得an+1=3an>0,数列{an}是等比数列,公比q=3.又a2+a4+a6=9,a5+a7+a9=33×9,再利用对数的运算性质即可得出.
【解答】解:∵数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*),
∴an+1=3an>0,
∴数列{an}是等比数列,公比q=3.
又a2+a4+a6=9,
∴=a5+a7+a9=33×9=35,
则log(a5+a7+a9)==﹣5.
故选;B.
【点评】本题考查了对数的运算性质、等比数列的定义及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
5. 已知椭圆的右焦点为点,为椭圆上一动点,定点,则的最小值为
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
略
6. 在△ABC中,下列等式正确的是( ).
A.a∶b=∠A∶∠B B.a∶b=sin A∶sin B
C.a∶b=sin B∶sin A D.asin A=bsin B
参考答案:
B
略
7. 若,α是第三象限的角,则=( )
A. B. C.2 D.﹣2
参考答案:
A
【考点】半角的三角函数;弦切互化.
【专题】计算题.
【分析】将欲求式中的正切化成正余弦,还要注意条件中的角α与待求式中角的差别,注意消除它们之间的不同.
【解答】解:由,α是第三象限的角,
∴可得,
则,
应选A.
【点评】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力.
8. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案,则第个
图案中有白色地面砖的块数是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为,则到另一焦点距离为( )A. B. C. D.
参考答案:
D
略
10. 已知集合,则的元素个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积为 ▲ .
参考答案:
略
12.
参考答案:
略
13. 复数(i为虚数单位)的共轭复数是__________.
参考答案:
【分析】
先由复数的除法运算化简,再根据共轭复数的概念,即可得出结果.
【详解】因为,
所以,其共轭复数为.
故答案为
14. 已知直线恒过一定点,则此定点的坐标是 ▲ .
参考答案:
(0,-1)
15. 如图是CBA篮球联赛中,甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图,则平均得分高的运动员是________.
参考答案:
甲
解析 由茎叶图知平均得分高的运动员是甲,或计算得.
16. 下列命题:①若xy=1,则x,y互为倒数;②四条边相等的四边形是正方形;③平行四边形是梯形;④若ac2>bc2,则a>b.其中真命题的序号是________.
参考答案:
①④
略
17. 已知,数列的前项和为,,则的为_____.[来
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形,PA是四棱锥的高,PB与DC所成角为45°,F是PB的中点,E是BC上的动点.
(Ⅰ)证明:PE⊥AF;
(Ⅱ)若BC=2BE=2AB,求直线AP与平面PDE所成角的大小..
参考答案:
【考点】用空间向量求直线与平面的夹角;向量语言表述线线的垂直、平行关系;用空间向量求直线间的夹角、距离.
【分析】(Ⅰ)建立空间直角坐标系,求出各点的坐标,以及向量PE,AF的坐标,得到其数量积为0即可证明结论.
(Ⅱ)先根据条件求出D的坐标以及,的坐标,进而求出平面PDE的法向量的坐标,再代入向量的夹角计算公式即可得到答案.
【解答】解:(Ⅰ) 建立如图所示空间直角坐标系.设AP=AB=2,BE=a
则A(0,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1),E(a,2,0)
于是,,,
则,
所以AF⊥PE.…
(Ⅱ)若,则,,
=(2,2,﹣2),
设平面PDE的法向量为=(x,y,z),
由,得:,令x=1,则,
于是,而
设直线AP与平面PDE所成角为θ,
则sinθ==.
∴直线AP与平面PDE所成角为60°.
19. 已知函数.当时,函数取得极值.
(1)求函数的解析式;
(2)若函数有3个解,求实数k的取值范围.
参考答案:
解:(1), -----------------------------------------2分
所以,. 即, 由此可解得, ,
所以函数的解析式为 ------------------- 6分
(2),=0,
解得,-------------------------------------------8分
所以在处取得极大值,在处取得极小值, ---- 12分
要满足函数有3个解,须有 . --------------14分
略
20. (7分)某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是元,销售价是元,月平均销售1000件.通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术的含金量提高,市场分析的结果表明,如果产品的销售价提高的百分率为,那么月平均销售量减少的百分率为.设改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是(元).
(1)当销售价提高的百分率为0.1时,月利润是多少?
(2)写出与的函数关系式;
(3)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.
参考答案:
解: (1)当销售价提高的百分率为0.1时,销售价是22元
月平均销售量减少的百分率为0.01,月平均销售量为1000(1-0.01)(元)
月利润是:1000(1-0.01)(22-15)=6930元
(2)改进工艺后,每件产品的销售价为,月平均销售量为件,则月平均利润(元),
∴与的函数关系式为: ,
即
(3)由,得,(舍),
当时;时, ∴函数在取得最大值.故改进工艺后,产品的销售价为元时,旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.
略
21. (本小题满分12分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
a=2,cos B=.
(Ⅰ)若b=4,求sin A的值;
(Ⅱ)若△ABC的面积S△ABC=4,求b,c的值.
参考答案:
22. (本题满分15分)
已知直线l过点P(3,4)
(1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍,求直线l的方程.
(2)若直线l与轴,轴的正半轴分别交于点,求的面积的最小值.
参考答案:
解(1)①当直线l过原点时,符合题意,斜率k=,直线方程为,即;2分②当直线l不过原点时,因为它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍,
所以可设直线l的方程为:. …………………………………………………4分
综上所述,所求直线l方程为或……………………8分
(2)设直线l的方程为,由直线l过点P(3,4)得:……10分
略