2022年山东省德州市洛北中学高二数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 的展开式中项的系数是( )
A. 420 B. -420 C. 1680 D. -1680
参考答案:
A
【分析】
表示的是8个相乘,要得到,则其中有2个因式取,有两个因式取,其余4个因式都取1,然后算出即可.
【详解】表示的是8个相乘,
要得到,则其中有2个因式取,有两个因式取
其余4个因式都取1
所以展开式中 项的系数是.
故选:A
【点睛】本题考查的是二项式定理,属于典型题.
2. 已知A,B为平面内两个定点,过该平面内动点m作直线AB的垂线,垂足为N.若=λ?,其中λ为常数,则动点m的轨迹不可能是( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
参考答案:
D
【考点】轨迹方程.
【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】建立直角坐标系,设出A、B坐标,以及M坐标,通过已知条件求出M的方程,然后判断选项.
【解答】解:以AB所在直线为x轴,AB中垂线为y轴,建立坐标系,
设M(x,y),A(﹣a,0)、B(a,0);
因为=λ?,
所以y2=λ(x+a)(a﹣x),
即λx2+y2=λa2,当λ=1时,轨迹是圆.
当λ>0且λ≠1时,是椭圆的轨迹方程;
当λ<0时,是双曲线的轨迹方程.
当λ=0时,是直线的轨迹方程;
综上,方程不表示抛物线的方程.
故选D.
【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法,轨迹方程与轨迹的对应关系,考查分类讨论思想、
3. 下面给出了关于复数的三种类比推理:其中类比错误的是( )
①复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则;
②由向量的性质||2=2可以类比复数的性质|z|2=z2;
③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.
A.② B.①② C.①③ D.③
参考答案:
A
【考点】类比推理.
【分析】利用复数的加减法运算法则判断出①对;利用复数加法的几何意义判断出③对;通过举反例判断出命题②错.
【解答】解:对于复数的加减法运算法则判断出①对;
对于②向量a的性质||2=2,但|z|2是实数,但z2不一定是实数,如z=i,就不成立,故错;
对于③复数加法的几何意义判断出③对,
故选:A.
4. 已知集合A={x|x2﹣9=0},则下列式子表示正确的有( )
①3∈A;②{﹣3}∈A;③??A;④|3,﹣3|?A.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
参考答案:
A
【考点】集合的包含关系判断及应用;元素与集合关系的判断.
【分析】根据题意,分析可得集合A={﹣3,3},依次分析4个式子:对于①由元素与集合的关系可得正确;②符号使用错误;③由空集的性质可得其正确;④|由于任何集合都是其本身的子集,可得其正确;综合可得答案.
【解答】解:根据题意,集合A={x|x2﹣9=0}={﹣3,3},依次分析4个式子:
对于①3∈A、3是集合A的元素,正确;
②{3}∈A、{3}是集合,有{3}?A,错误;
③??A、空集是任何集合的子集,正确;
④|3,﹣3|?A、任何集合都是其本身的子集,正确;
共有3个正确;
故选:A.
5. 设直线x=t与函数,的图象分别交于M,N两点,则当达到最小时t的值为
A.1 B. C. D.
参考答案:
D
6. 若(1-2x)2011=a0+a1x+…+a2011x2011(x∈R),则的值为 ( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
参考答案:
B
7. 已知圆,圆,则圆C1与圆C2的位置关系是( )
A.内含 B.外离 C.相交 D.相切
参考答案:
B
【考点】圆与圆的位置关系及其判定.
【分析】求出圆的圆心与半径,利用圆心距与半径和与差的关系判断即可.
【解答】解:由于圆C1:x2+y2=1,表示以C1(0,0)为圆心,半径等于1的圆.
圆,表示以C2(3,4)为圆心,半径等于3的圆.
由于两圆的圆心距等于5,大于半径之和,故两个圆外离.
故选B.
8. 已知f(x)=?cosx,则f(π)+f′()=( )
A.0 B. C. D.﹣
参考答案:
D
【考点】导数的运算.
【分析】求出函数的导数,分别计算f(π)和f′()的值,求和即可.
【解答】解:f′(x)=﹣cosx+?(﹣sinx),
故f(π)=cosπ=﹣,
f′()=﹣cos﹣sin=﹣,
故f(π)+f′()=﹣﹣=﹣,
故选:D.
9. 若
则 ( )
A 56 B .112 C .28 D - 56
参考答案:
B
10. 集合{用区间表示出来为: ( )
A. B.( C.(0,+且 D.(0,2)
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知x>0,y>0,且x+y=1,求的最小值是________
参考答案:
4
12. 若对任意的自然数n,,则
参考答案:
13. 抛物线y=4x2的准线方程为 .
参考答案:
考点:抛物线的简单性质.
专题:计算题.
分析:先把抛物线方程整理成标准方程,进而求得p,再根据抛物线性质得出准线方程.
解答:解:整理抛物线方程得x2=y,∴p=
∵抛物线方程开口向上,
∴准线方程是y=﹣
故答案为:.
点评:本题主要考查抛物线的标准方程和简单性质.属基础题.
14. 已知是定义域为的奇函数,在区间上单调递增,当时,的图像如右图所示:若:,则的取值范围是
参考答案:
15. 函数的定义域是_________________________
参考答案:
略
16. 是方程的两实数根;,
则是的 条件。
参考答案:
充分不必要条件
略
17. 甲、乙同时炮击一架敌机,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5,敌机被击中的概率为________.
参考答案:
0.8
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知c>0,设p:函数y=lg[(1﹣c)x﹣1]在其定义域内为增函数,q:不等式x+|x﹣2c|>1的解集为R,若“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数c的范围.
参考答案:
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】若“p∨q”为真,“p∧q”为假,则p真q假或p假q真,进而可得答案.
【解答】解:若命题p为真;
即函数y=lg[(1﹣c)x﹣1]在其定义域内为增函数,
则
解得:0<c<1.
设
∴f(x)的最小值为2c.
若命题q为真,则2c>1,
∴,
∵“p或q”为真,且“p且q为假”,
∴p真q假或p假q真,
若p真q假,则c的范围是;
若p假q真,则c的范围是[1,+∞),
综上可得:c的范围是∪[1,+∞).
19. 已知动圆C过定点F(0,1),且与直线l1:y=﹣1相切,圆心C的轨迹为E.
(1)求动点C的轨迹方程;
(2)已知直线l2交轨迹E于两点P,Q,且PQ中点纵坐标为2,则|PQ|最大值为多少?
参考答案:
【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合问题;J3:轨迹方程.
【分析】(1)设C(a,b),圆半径r=b﹣(﹣1)=b+1,将a,b分别换为x,y,能求出圆心C的轨迹方程.
(2)设P(p,),Q(q,),由已知得p2+q2=16,|PQ|2=(p﹣q)2+(﹣)2= ,由此能求出|PQ|的最大值为6.
【解答】解:(1)设C(a,b),圆半径r=b﹣(﹣1)=b+1,
圆方程:(x﹣a)2+(y﹣b)2=(b+1)2
过定点F(0,1):a2+(1﹣b)2=(b+1)2
a2=4b
将a,b分别换为x,y,
得圆心C的轨迹为E:x2=4y.
(2)设P(p,),Q(q,),
PQ中点的纵坐标为2:()=2,
p2+q2=16,①
|PQ|2=(p﹣q)2+(﹣)2
=(p﹣q)2
=(p2+q2﹣2pq)
=(16﹣2pq)(2+pq)
=(8﹣pq)(16+pq)
=,
pq=﹣4时,|PQ|2最大,最大值为=36,
∴|PQ|的最大值为6.
【点评】本题考查动点C的轨迹方程的求法,考查|PQ|最大值的求法,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用.
20. 已知直线与圆相交于A,B两个点.
(1)求圆C的圆心与半径;
(2)若,求实数a的值.
参考答案:
解:
(1)圆C的圆心为(1,0),半径,
(2)令C到直线的距离为d,
则
解得:
21. (本小题10分)如图,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,点E在PD上,且PE:ED= 2: 1.
(Ⅰ)证明 PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小.
参考答案:
22. (本小题满分12分)已知盒中装有仅颜色不同的玻璃球6个,其中红球2个、黑球3个、白球1个.
(1)从中任取1个球, 求取得红球或黑球的概率;
(2)列出一次任取2个球的所有基本事件;
(3)从中取2个球,求至少有一个红球的概率.
参考答案:
(1)从6只球中任取1球得红球有2种取法,得黑球有3种取法,得红球或黑球的共有2+3=5种不同取法,任取一球有6种取法,所以任取1球得红球或黑球的概率得 .
(2)将红球编号为红1,红2,黑球编号为黑1,黑2,黑3,则一次任取2个球的所有基本事件为:
红1红2 红1黑1 红1黑2 红1黑3 红1白
红2白 红2黑1 红2黑2 红2黑3 黑1黑2
黑1黑3 黑1白 黑2黑3 黑2白 黑3白
(3)由(2)知从6只球中任取两球一共有15种取法,其中至少有一个红球的取法共有9种,所以其中至少有一个红球概率为 .